半導(dǎo)體設(shè)備承載板的模態(tài)分析及拓撲優(yōu)化

李龍飛，李樹彥，侯得鋒，楊 師，梅 陽

(中國電子科技集團公司第四十五研究所，北京 100176)

對于半導(dǎo)體專用設(shè)備，運行過程中的動態(tài)性能要求極高，因此其動力學(xué)性能參數(shù)需要嚴格地要求。承載板是其中的主要結(jié)構(gòu)件，該零件的模態(tài)頻率和質(zhì)量有嚴格的指標要求，以確保整機動力學(xué)性能。對于特定的材質(zhì)，為滿足承載板較高的模態(tài)頻率和輕量化的要求，需要對承載板進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，一般包括拓撲優(yōu)化、形貌優(yōu)化、形狀優(yōu)化等。通過三維建模軟件創(chuàng)建承載板的幾何模型，利用通用有限元軟件進行模態(tài)分析，基于模態(tài)分析結(jié)果完成對該結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化。針對拓撲優(yōu)化后的結(jié)果，進行幾何重構(gòu)，使其模態(tài)頻率和質(zhì)量滿足設(shè)計要求，而并且具有較好的加工適用性易于制造較好。

1 模態(tài)及拓撲優(yōu)化基礎(chǔ)理論

1.1 模態(tài)基礎(chǔ)理論

模態(tài)是結(jié)構(gòu)的固有屬性，特定的模態(tài)振型對應(yīng)特定的模態(tài)頻率。在動力學(xué)系統(tǒng)中，模態(tài)計算可以通過經(jīng)典動力學(xué)方程[1]：

式(1)中，M、C、K、F分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、載荷矩陣；x''、x'、x分別為加速度向量、速度向量、位移向量。

考慮到模態(tài)與外部載荷無關(guān)，且受阻尼影響很小，因此模態(tài)的求解方程可以簡化為：

求解矩陣方程(2)，得到的特征值Wj和特征向量?j分別對應(yīng)模態(tài)頻率和模態(tài)振型。

1.2 拓撲優(yōu)化基礎(chǔ)理論

模態(tài)拓撲優(yōu)化通常以某階模態(tài)頻率，如一階頻率最大化為目標[2]，設(shè)計變量為單元的偽密度，同時約束材料的用量，結(jié)合式(1)可以將問題表述為[3]：

式(3)中要求將第j階頻率最大化，其中xi為設(shè)計變量，即拓撲優(yōu)化中定義的單元偽密度，用0和1分別表述單元的去除和存在；單元的材料體積為Vi；材料體積的上限為V0。

2 承載板的模態(tài)分析

2.1 承載板的初始模型

依據(jù)承載板的設(shè)計空間創(chuàng)建幾何模型，作為初始模型，如圖1所示，承載板由設(shè)計區(qū)域和非設(shè)計區(qū)域組成。初始模型中，兩個區(qū)域均為實心模型。該零件由結(jié)構(gòu)鋼制成，分析計算中，采用的材料參數(shù)如表1所示。

圖1 承載板初始模型

表1 承載板的材料參數(shù)

2.2 承載板模態(tài)分析的邊界條件

根據(jù)承載板的初始模型，創(chuàng)建有限元網(wǎng)格模型，如圖2所示。

圖2 承載板有限元網(wǎng)格模型

工作狀態(tài)下，承載板上表面周邊的3個短邊通過其它結(jié)構(gòu)固定，以防止抑制承載板運動，因此，承載板周邊的3個短邊限抑制六自由度運動。承載板上表面中間的三處圓形區(qū)域支撐工作臺。有限元建模后，工作臺簡化為等效質(zhì)量點，同時耦合在承載板的三處圓形區(qū)域，如圖3所示。在有限元分析中，選擇通用的模態(tài)分析，求解承載板負載條件下的垂向振型及模態(tài)頻率。

圖3 承載板邊界條件示意

2.3 初始承載板的模態(tài)分析結(jié)果

經(jīng)計算承載板的質(zhì)量為95.7 kg，模態(tài)分析結(jié)果顯示，垂向振動的模態(tài)頻率為197.9 Hz，如圖4所示。

圖4 初始承載板垂向模態(tài)振型與頻率

為滿足整機動力學(xué)性能指標，該零件的垂向模態(tài)頻率需不小于150 Hz，同時整體質(zhì)量不大于60 kg。結(jié)果顯示初始承載板垂向模態(tài)頻率滿足需求，但質(zhì)量超過需求近40%，因此需要對承載板進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，以滿足指標需求。

3 承載板結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化

3.1 承載板的拓撲優(yōu)化

拓撲優(yōu)化是一種結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，用于尋求特定條件下，結(jié)構(gòu)的最優(yōu)解[4]。拓撲優(yōu)化通常采用變密度法，在滿足特定條件的情況下，求解特定區(qū)域內(nèi)材料的密度分布，密度大的區(qū)域即為需要保留的結(jié)構(gòu)。

對于承載板的有限元模型，仍保留模態(tài)分析的邊界條件，同時增加拓撲優(yōu)化的條件限制和求解目標。承載板的指標要求中包括垂向模態(tài)頻率和質(zhì)量，因此對于承載板的設(shè)計區(qū)域，拓撲優(yōu)化的限制條件為一階垂向模態(tài)頻率150 Hz，求解目標為質(zhì)量最小化條件下的最優(yōu)結(jié)構(gòu)。

3.2 拓撲優(yōu)化結(jié)果

承載板的拓撲結(jié)果顯示，設(shè)計區(qū)域中密度大的區(qū)域分布在承載板下表面及上下表面之間的特定區(qū)域。材料密度分布如圖5所示，隱藏底部面板之后的截面俯視密度分布如圖6所示，實體表示需要保留的區(qū)域，空腔表示需要去除材料的區(qū)域。

圖5 材料密度側(cè)視分布

圖6 隱藏底部面板之后的截面俯視密度分布

根據(jù)承載板的拓撲結(jié)果，同時考慮加工工藝，對承載板進行設(shè)計方案的幾何重構(gòu)，如圖7所示。

圖7 拓撲重構(gòu)之后的幾何形貌

3.3 優(yōu)化結(jié)果的計算驗證

對拓撲重構(gòu)之后的承載板重新進行求解計算，其模態(tài)分析的邊界條件同上所述。結(jié)果顯示，拓撲重構(gòu)之后的承載板質(zhì)量為56.9 kg，垂向模態(tài)頻率為155.8 Hz，如圖8所示。滿足整機動力學(xué)指標。相較初始承載板的垂向模態(tài)頻率197.9 Hz，降低了21.3%，質(zhì)量95.7 kg，減輕了40.5%。優(yōu)化前后，承載板垂向模態(tài)頻率與質(zhì)量的對比，如表2所示。

圖8 拓撲重構(gòu)前后的承載板模態(tài)對比

表2 初始承載板與拓撲重構(gòu)后承載板的性能對比

4 結(jié)束語

本文以某半導(dǎo)體設(shè)備中的承載板為研究對象，采用拓撲優(yōu)化的方法對其結(jié)構(gòu)進行正向設(shè)計。拓撲重構(gòu)之后，承載板質(zhì)量為56.9 kg，垂向模態(tài)頻率為155.8 Hz。相較于初始承載板的質(zhì)量95.7 kg、垂向模態(tài)頻率197.9 Hz分別減小了40.5%和21.3%，滿足整機動力學(xué)指標的要求。拓撲重構(gòu)的承載板結(jié)構(gòu)，為承載板的詳細結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了方向優(yōu)化解決方案。拓撲優(yōu)化的方法也可以為設(shè)備中整機其它結(jié)構(gòu)件的正向設(shè)計提供參考。