多目標(biāo)優(yōu)化問題在金融投資中的有效運(yùn)用分析

仉 濤 李佳林

（1.中國社會科學(xué)院研究生院，北京 100871；2.河北地質(zhì)大學(xué)，山東 濟(jì)南 250101）

一、前言

投資者一直在尋找從投資中獲得收入的途徑。近年來，人們做出了許多努力，引導(dǎo)投資者以適當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行投資，并提供了許多模式。投資組合優(yōu)化和多樣化已成為發(fā)展和理解金融市場和金融決策的工具，投資組合是為投資而持有的不同股票的組合。在金融市場上，投資者最關(guān)心的問題之一是如何選擇投資組合，使風(fēng)險(xiǎn)最小化、收益最大化。股票收益率在不同時(shí)期存在差異，不存在穩(wěn)定過程。投資是有風(fēng)險(xiǎn)的，因?yàn)楣善蔽磥硎找娴牟淮_定性，所以一般來說，風(fēng)險(xiǎn)是根據(jù)收益的方差來衡量的。選擇最優(yōu)投資組合的精確方法是低效的，因此需要考慮元啟發(fā)式算法來解決這個(gè)問題。降低投資組合風(fēng)險(xiǎn)的最重要方法之一是進(jìn)行多元化投資，并持續(xù)監(jiān)控投資組合中包括的股票和其他證券的狀態(tài)。這意味著，投資者總是檢查影響股票價(jià)格和其他類型證券的因素，并分析投資組合中的一家公司股票是否仍有未來增長的可能性，或者是否應(yīng)該出售股票并購買另一家具有更好增長機(jī)會和盈利能力的公司股票。

投資組合是投資者購買的股票或其他資產(chǎn)的正確組合。任何自然人或法人的投資組合的金錢價(jià)值為投資組合價(jià)值。對在證券交易所上市的投資公司進(jìn)行定價(jià)的最重要因素是公司的投資組合價(jià)值。投資者投資組合的目的是容忍風(fēng)險(xiǎn)，獲得最大的回報(bào)。最優(yōu)投資組合選擇（OPS）是金融科學(xué)和投資領(lǐng)域最重要的問題之一，在金融規(guī)劃和決策中有著廣泛的應(yīng)用。Harry Markowitz的投資組合選擇理論是這方面最主要也是最重要的成功。自從Markowitz提出了他的模型版本以來，人們對投資和投資組合的看法產(chǎn)生了許多變化和改進(jìn)，并被用作投資組合優(yōu)化的有效工具。馬科維茨建議投資者既要考慮風(fēng)險(xiǎn)，也要考慮收益，并在這兩個(gè)因素相互作用的基礎(chǔ)上，選擇各種投資機(jī)會之間的資本配置。然而，馬科維茨投資組合理論為資本配置提供了唯一的解決方案。在資本市場上，有數(shù)百種不同類型的資本質(zhì)量，從非常好到非常差，投資者面臨著信息涌入，因此很難選擇最好的。Markowitz模型通過使用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型進(jìn)行求解，但當(dāng)現(xiàn)實(shí)世界中的約束（如大量資產(chǎn)、股票限制等）添加到模型中時(shí)，搜索空間變得很大且不連續(xù)，使用數(shù)學(xué)模型幾乎是不可能的。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù)和優(yōu)化準(zhǔn)則，將優(yōu)化問題分為兩類，第一類包括單目標(biāo)優(yōu)化問題，第二組包括多目標(biāo)優(yōu)化問題。在第一組中，目標(biāo)是解決單個(gè)性能指標(biāo)的改進(jìn)問題，其最小值和最大值完全反映解決方案的質(zhì)量。然而，有時(shí)不能依靠一個(gè)指標(biāo)來為優(yōu)化問題的假設(shè)解決方案打分。在這種情況下，我們必須定義多個(gè)目標(biāo)函數(shù)或性能指標(biāo)，并同時(shí)對其進(jìn)行優(yōu)化。多目標(biāo)優(yōu)化是優(yōu)化問題中應(yīng)用最廣泛的研究技術(shù)之一。當(dāng)前問題的目標(biāo)是最大化回報(bào)率和最小化風(fēng)險(xiǎn)。人們提出了許多方法來解決這些問題。一般可分為經(jīng)典方法和進(jìn)化方法，第一種方法通常將多目標(biāo)問題簡化為單目標(biāo)問題，第二種方法以真正的多目標(biāo)方式解決多目標(biāo)優(yōu)化問題。

二、多目標(biāo)投資組合優(yōu)化問題

現(xiàn)實(shí)世界中的許多決策問題都有多個(gè)目標(biāo)，往往相互沖突，并且可以歸結(jié)為多目標(biāo)優(yōu)化。解決多目標(biāo)優(yōu)化問題的方法很多。在大多數(shù)情況下，目標(biāo)結(jié)果是一組帕累托最優(yōu)解。然而，通常尋找整個(gè)帕累托集的理論問題（例如，在帕累托集的連續(xù)基數(shù)的情況下）無法通過算法解決，因此該問題被重新表述為帕累托集的適當(dāng)近似的算法構(gòu)造。在過去的幾十年中，進(jìn)化算法因其處理單目標(biāo)和多目標(biāo)優(yōu)化問題（包括財(cái)務(wù)優(yōu)化問題）的內(nèi)在能力而備受關(guān)注。參考文獻(xiàn)[3]中討論了另一種稱為模擬退火的方法。禁忌搜索方法構(gòu)成了多目標(biāo)優(yōu)化問題的第三大類啟發(fā)式程序。Chang等人對用于解決單準(zhǔn)則投資組合選擇問題的不同啟發(fā)式技術(shù)的性能進(jìn)行了比較。最近提出的進(jìn)化多準(zhǔn)則算法性能的類似比較分析尚未報(bào)道。風(fēng)險(xiǎn)在現(xiàn)代金融中扮演著重要的角色，包括風(fēng)險(xiǎn)管理、資本資產(chǎn)定價(jià)和投資組合優(yōu)化。投資組合選擇的目的是找到一個(gè)在多個(gè)證券（投資）之間分配財(cái)富的最佳策略，并獲得最佳的風(fēng)險(xiǎn)收益權(quán)衡。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的選擇、決策變量的定義以及特定情況下的特定約束條件，投資組合優(yōu)化問題可以以各種方式表述。除了預(yù)期收益和收益方差外，如Markowitz投資組合模型，額外的目標(biāo)函數(shù)可以包括投資組合中的證券數(shù)量、營業(yè)額、賣空金額、股息、流動(dòng)性、超過基準(zhǔn)隨機(jī)變量的超額收益和其他。在銀行投資組合管理中，可以考慮其他標(biāo)準(zhǔn)，如最優(yōu)惠利率、處理成本、預(yù)期違約率、意外損失概率、長期和短期數(shù)量。例如，多目標(biāo)投資組合選擇問題可以包括以下目標(biāo)：（待最大化）投資組合回報(bào)、股息、銷售增長、流動(dòng)性、投資組合回報(bào)高于基準(zhǔn)，以及（待最小化）與資產(chǎn)配置百分比、投資組合中證券數(shù)量、營業(yè)額的偏差（即調(diào)整成本），最大投資比例權(quán)重，賣空金額。我們考慮了兩個(gè)多目標(biāo)投資組合問題。第一個(gè)問題基于一個(gè)簡單的兩目標(biāo)投資組合模型，包括收益率的標(biāo)準(zhǔn)差和收益率的平均值，其中收益率Ri是股票i的一個(gè)月收益率，收益率是指百分比變化in值。第二個(gè)問題包括三個(gè)目標(biāo)，其中年度股息收益率加在上述兩個(gè)目標(biāo)上。

三、算法選擇的正當(dāng)性

1.FastPGA

FastPGA 是Eskandari和Geiger提出的名為快速帕累托遺傳算法的框架，該框架為多目標(biāo)優(yōu)化問題引入了一種新的適應(yīng)度分配和解決方案排序策略，其中每個(gè)解決方案的評估在計(jì)算上相對昂貴。新的排名策略基于根據(jù)優(yōu)勢度將解決方案分為兩個(gè)不同的類別。第一級非支配解的適應(yīng)度是通過將每個(gè)非支配解相互比較并指定使用擁擠距離計(jì)算的適應(yīng)度值來計(jì)算的。考慮到支配解和支配解的數(shù)量，為第二秩中的每個(gè)支配解分配一個(gè)適應(yīng)值。引入了新的搜索算子，提高了算法的收斂性，減少了計(jì)算量。引入種群調(diào)節(jié)算子，根據(jù)需要?jiǎng)討B(tài)調(diào)整種群大小，直到用戶指定的最大種群大小，即非支配解集的大小。FastPGA能夠在搜索的早期保存大量的解決方案評估，并在以后的幾代中以更有效的方式利用這些評估。特點(diǎn)：FastPGA中采用的調(diào)節(jié)算子提高了其快速收斂、接近帕累托最優(yōu)前沿和解決方案多樣性維護(hù)的性能。MOCeLL-Nebro等人提出了MOCeLL，這是一種基于GAs細(xì)胞模型的多目標(biāo)算法，其中大量使用了小鄰域的概念，即種群成員只能在繁殖循環(huán)中與其鄰近的鄰域進(jìn)行交互。MOCell使用一個(gè)外部存檔來存儲在算法執(zhí)行期間發(fā)現(xiàn)的非支配解，然而，MOCell的主要特征是，許多解從存檔移回種群，替換隨機(jī)選擇的現(xiàn)有種群成員。這樣做的目的是希望利用搜索經(jīng)驗(yàn)，找到具有良好收斂性和擴(kuò)展性的帕累托前沿。MOCell首先創(chuàng)建一個(gè)空的帕累托前沿。帕累托前沿只是一個(gè)額外的群體（外部檔案），由許多非主導(dǎo)的解決方案組成。種群成員被安排在一個(gè)二維環(huán)形網(wǎng)格中，遺傳算子被依次應(yīng)用于它們，直到滿足終止條件。因此，對于每個(gè)種群成員，該算法包括從其鄰域中選擇兩個(gè)雙親，重組它們以獲得后代，對其進(jìn)行變異，評估產(chǎn)生的種群成員，并將其插入輔助種群（如果它不受當(dāng)前種群成員支配）和帕累托前沿。最后，在每一代之后，舊的種群將被輔助種群替換，并調(diào)用一個(gè)反饋過程，用存檔中的解決方案替換固定數(shù)量的隨機(jī)選擇的種群成員。為了管理帕累托前沿的解插入，以獲得不同的集合，使用了基于擁擠距離的密度估計(jì)器。此措施還用于在解決方案已滿時(shí)從存檔中刪除解決方案。特征：該算法使用外部存檔來存儲搜索過程中發(fā)現(xiàn)的非支配群體成員；與其他多目標(biāo)優(yōu)化的細(xì)胞方法相比，MOCeLL最顯著的特點(diǎn)是成員從檔案到群體的反饋。

2.AbYSS

Nebro等人引入了AbYSS，它基于分散搜索，使用一個(gè)稱為參考集的小群體，將其群體成員組合起來構(gòu)造新的解決方案。此外，可以通過應(yīng)用局部搜索方法來改進(jìn)這些新的群體成員。對于局部搜索，使用一種簡單的（1+1）進(jìn)化策略，該策略基于變異算子和帕累托優(yōu)勢檢驗(yàn)。參考集由分散解組成的初始總體初始化，并通過考慮局部搜索改進(jìn)產(chǎn)生的解進(jìn)行更新。深淵結(jié)合了三種最先進(jìn)的進(jìn)化算法的思想，用于多目標(biāo)優(yōu)化。一方面，按照帕累托存檔進(jìn)化策略（PAES）采用的方案，使用外部存檔來存儲搜索期間發(fā)現(xiàn)的非支配解決方案，但使用NSGA-II的擁擠距離作為小生境度量，而不是PAES使用的自適應(yīng)網(wǎng)格；另一方面，從初始集選擇解決方案以構(gòu)建參考集時(shí)，采用了強(qiáng)度帕累托進(jìn)化算法2（SPEA2）。使用的密度估計(jì)。特點(diǎn)：它使用外部檔案存儲搜索期間發(fā)現(xiàn)的非支配群體成員；深淵的顯著特征是，在分散搜索的重新啟動(dòng)階段，人口成員從檔案中反饋到初始集，以及在搜索的不同部分組合兩種不同的密度估計(jì)器。

3.NSGA-II

將累積距離定義為適應(yīng)度共享等方法的替代功能，使用二進(jìn)制競賽選擇運(yùn)算保存和歸檔在前面的算法步驟（elitism）中獲得的非支配解NSGA-II的組件如下：（1）創(chuàng)建初始總體并根據(jù)控制條件對其進(jìn)行排序；（2）計(jì)算適應(yīng)度標(biāo)準(zhǔn)；（3）計(jì)算群距離；（4）進(jìn)行交叉和變異以產(chǎn)生新的子代；（5）將初始種群交叉和變異，得到的種群相結(jié)合。即首先用前一步組合的群體中的最佳成員替換父群體，低階成員替換先前的父群體，然后根據(jù)群距離對其進(jìn)行排序。對初始總體和結(jié)果總體進(jìn)行排序。然后刪除總體的較低階部分。在下一步中，將根據(jù)群距離對剩余種群進(jìn)行排序。在這里，排序是在立面內(nèi)執(zhí)行的。迭代所有這些步驟，直到獲得所需的生成（或最佳條件）。NSGAⅡ算法的偽代碼本文提出的算法基本指令是對金融投資的各種不同項(xiàng)目進(jìn)行選擇，以洪水般的資本作為投資者投資于不同類型的資本。投資組合提供多樣化的風(fēng)險(xiǎn)敞口，以最小化風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)最大限度地提高效率。許多方法可以用來解決投資組合優(yōu)化問題。其中一種方法是將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題。該方法可分為兩個(gè)子類型。第一種方法選擇最重要的準(zhǔn)則之一作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，而其余的函數(shù)定義為狹義條件。第二種方法僅根據(jù)多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)創(chuàng)建一個(gè)評估函數(shù)。第一種方法由Markowitz定義，稱為標(biāo)準(zhǔn)均值-方差模型。在這個(gè)模型中，被定義為目標(biāo)函數(shù)和平均資本收益的組合風(fēng)險(xiǎn)的大小被認(rèn)為是可以制定如下的約束條件。

四、多目標(biāo)優(yōu)化問題在金融投資中的有效運(yùn)用

現(xiàn)代投資組合理論是一種完善的投資組合管理方法，它提供了如何選擇具有最優(yōu)可行預(yù)期收益的投資組合。均值-方差模型是現(xiàn)代投資組合理論的基石，其中風(fēng)險(xiǎn)定義為預(yù)期投資組合收益的可能變化。然后，在此模型基礎(chǔ)上提出了絕對偏差投資組合優(yōu)化模型，半絕對偏差投資組合優(yōu)化模型，均值-var模型，均值-cvar模型，多期半方差模型和非線性期貨套期保值模型。在庫存和增加資產(chǎn)方面，建立了基于庫存和增量貸款總組合風(fēng)險(xiǎn)最小化的貸款優(yōu)化決策模型。以庫存組合和增量組合的總收益最大化為目標(biāo)，構(gòu)建了貸款決策優(yōu)化模型。建立了基于最大收益概率的增量投資組合最優(yōu)決策模型，通過建立銀行凈值變化、增量資產(chǎn)負(fù)債和股票資產(chǎn)負(fù)債期限之間的函數(shù)關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)所有資產(chǎn)負(fù)債組合風(fēng)險(xiǎn)免疫利率管理的最佳條件。而構(gòu)建了動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度的一般模型，并將該模型應(yīng)用于優(yōu)化調(diào)度。為了解決投資組合優(yōu)化問題，提出并可以使用各種工具和算法，包括經(jīng)典優(yōu)化算法和智能優(yōu)化算法（元啟發(fā)式）。近幾十年來，股票投資組合問題一直是工業(yè)工程、計(jì)算機(jī)、金融、運(yùn)籌學(xué)領(lǐng)域的許多研究人員關(guān)注的問題，并且?guī)缀跏峭ㄟ^met啟發(fā)式算法解決的經(jīng)典問題，如遺傳、粒子群、蜂群、蟻群和模因?qū)W。此外，投資組合優(yōu)化的元啟發(fā)式方法，其中遺傳算法使用不同的股票投資組合，其風(fēng)險(xiǎn)以不同的方式計(jì)算。目標(biāo)函數(shù)是多函數(shù)的，約束是非線性的，與遺傳算法和粒子群算法相比，該算法具有更好的解。此外，在使用TOPSIS應(yīng)用方法解決了相同的問題。問題設(shè)計(jì)投資組合優(yōu)化就是選擇一種金融資產(chǎn)組合，使風(fēng)險(xiǎn)最小化，使投資收益最大化。

風(fēng)險(xiǎn)成分和資本收益是最優(yōu)投資組合中的兩個(gè)重要問題。最佳資本的選擇通常是通過風(fēng)險(xiǎn)和回報(bào)之間的交換來完成的，如果資本的風(fēng)險(xiǎn)更大，投資者將期望更高的回報(bào)。投資組合中出現(xiàn)的問題涉及到形成有利可圖的投資組合的各種因素。投資者為了避免利潤中的風(fēng)險(xiǎn)，主要建議在投資組合中使用幾股而不是一股，因?yàn)樵谶@種情況下，可以通過另一股的利潤來降低風(fēng)險(xiǎn)并彌補(bǔ)一股的損失。選擇投資組合應(yīng)考慮多種因素，但還有其他重要因素：投資目標(biāo)和投資條件。這意味著投資者在形成每個(gè)投資組合之前必須確定風(fēng)險(xiǎn)偏好的程度。這個(gè)程度可以改變股票的命運(yùn)。同時(shí)，投資者的目的和投入資金的數(shù)量也非常重要。投資組合選擇是將投資者的資本最優(yōu)地分配給若干候選證券，傳統(tǒng)上，通過Markowitz均值-方差模型，該問題被公式化為一個(gè)優(yōu)化問題。在這個(gè)模型中，平均值被用來衡量投資回報(bào)，方差被用來衡量風(fēng)險(xiǎn)。一旦給出了每種證券的預(yù)期單位收益及其協(xié)方差矩陣，如果平均值和風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)重給定，則投資組合選擇問題可以表述為一個(gè)受線性約束的二次優(yōu)化問題。因此，在建立方差模型之前，需要估計(jì)輸入?yún)?shù)，包括每個(gè)證券的預(yù)期單位收益和協(xié)方差矩陣；確定均值和方差的權(quán)重。在實(shí)踐中，輸入?yún)?shù)通常通過經(jīng)驗(yàn)觀察或主觀研究進(jìn)行估計(jì)。然而，輸入?yún)?shù)的小擾動(dòng)可能會導(dǎo)致所選投資組合績效的大偏差。

此外，如何確定均值和方差的權(quán)重也是一個(gè)挑戰(zhàn)。將該問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)組合優(yōu)化問題，并提出了一種遺傳算法來求解該問題。使用基數(shù)約束進(jìn)一步討論了最小交易批次，其中基數(shù)約束是約束要選擇的投資組合數(shù)量。該問題也被表述為一個(gè)混合整數(shù)優(yōu)化問題，并引入了一個(gè)定制的遺傳算法來解決該問題。