基于BPSK-CSK的電文調制與解調算法

王環宇，袁木子，馬春江，唐小妹，歐鋼，林紅磊

(國防科技大學 電子科學學院,長沙 410073)

0 引 言

隨著無人駕駛[1]、精密農業[2]等精細化行業的發展，用戶對精密定位服務的需求提高，而實現精密定位服務需要導航信號傳輸大量校準參數等信息，對導航信號的信息傳輸速率提出了更高要求.傳統的二進制相移鍵控(BPSK)若想達到提高信息速率的目的，需要提高碼率從而導致更寬的頻譜，或降低一個碼周期的碼片數而導致擴頻碼隔離度和正交特性的損失.由于BPSK 的局限性以及應用需求，業內專家提出采用碼移鍵控(CSK)進行電文符號調制[3-4]，該方法在提高信息傳輸速率的同時，有效避地免了BPSK 的局限性，但同時由于CSK 采用不同相位的偽碼序列調制信息，通過多個相關器對采樣信號進行匹配操作，引入了占用更多相關器資源和高計算復雜度的問題[5].針對這一問題，CHAUVAT 等[6]提出在解調之前使用數字芯片匹配濾波降低單位符號內的采樣點數，從而降低CSK解調計算復雜度；王盾等提出雙極性碼移鍵控(BCSK)將解調的計算復雜度降低3 dB[7-8].

CSK 通過偽隨機序列碼相位的不同調制信息，接收端需要與碼相位個數相等的相關器組，對大量信號采樣值進行運算操作，完成解調，導致計算復雜度高的問題.二進制相移鍵控-碼移鍵控(BPSK-CSK)聯合調制方法是對BCSK 的發展，通過改變信號調制的結構，在傳統CSK 的基礎上調制子碼，使接收端由原本單純使用相關器對采樣信號進行CSK 解調，轉變為分兩步解調電文，即第一步由相關器對采樣信號進行操作，第二步對第一步所得的相關值進行操作.相比于傳統的CSK 解調，BPSK-CSK 相干解調所需相關器個數減少，減少的相關器對采樣信號的運算操作次數由對數量級遠小于信號采樣的相關值進行運算替代，從而降低接收機的計算復雜度.

后文詳細介紹BPSK-CSK 調制方法以及相干解調流程，對解調算法進行誤比特率理論分析以及仿真驗證，之后分析BPSK-CSK 相干解調的計算復雜度，并結合信道編碼進一步分析BPSK-CSK 的應用優勢.

1 電文調制

1.1 CSK 調制

CSK 是一種直接序列擴頻方法，利用偽隨機碼的自相關性能，即同一組偽隨機碼的不同碼相位之間正交的特點.該方法設置一組基礎偽隨機碼，通過循環移位得到M組不同碼相位的偽隨機碼，連續N個相同相位的偽隨機碼表示1 個CSK 符號，該符號調制U=log2(M) 比特信息，記為CSK(U,N).CSK 的基礎碼記為cd(t)，通過循環移位生成的M個CSK 符號表示為ci(t)，其中i=0,···,M-1，循環移位的數學表達式為

式中：mi為第i個符號的碼移位位數；Tc為碼片持續時長；lb為基礎碼碼長，該值不一定等于M；mod(x,y)表示y對x的模運算.以N=1，U=2 bits 為例，CSK 符號生成以及電文比特調制的示例如圖1所示[9].

圖1 CSK(2,1)符號生成示意圖

1.2 BPSK-CSK 調制

本文針對傳統CSK 解調計算復雜度高的問題提出BPSK-CSK 調制算法，采用主碼與子碼的雙層調制結構，將CSK 符號作為主碼，在主碼上根據電文極性位調制拓展的子碼得到一組碼序列，N個連續的碼序列表示1 個BPSK-CSK 符號，記為BPSK-CSK(U,K,N).其中U表示1 個BPSK-CSK 符號調制U比特電文，U比特電文由Kbits 極性位和(U-K) bits 碼相位組成，將BPSK-CSK 的基礎碼記為cd(t)，通過循環移位生成Mprime=2U-K個BPSK-CSK 主碼，這一過程與CSK 符號生成過程相同，之后在主碼上調制子碼，共Msub=2K種子碼，最終可以得到M=2U種碼序列，將得到的碼序列重復N次可得到M種BPSK-CSK符號，符號生成過程如圖2所示.

圖2 BPSK-CSK 符號生成示意圖

圖2中lb表示基礎碼碼長，該值為K的整數倍，子碼拓展是指將Kbits 子碼的每一比特重復lb/K次的過程，從而得到長度為lb的拓展子碼.當信息速率為Rb，基礎碼碼率為Rc時，一個BPSK-CSK 符號的持續時長，即接收端進行U比特電文解調的相干時長為Tcoh，表示為

則U與Tcoh的關系為

以BPSK-CSK(4,2,2)為例，為簡化說明過程省略信號采樣.設lb=8 bits，Rc=16 000 碼片每秒(chips/s)，Rb=4 Kbps基礎碼，以 (1,0,0,1,0,1,1,0) 為例，則M=16，子碼Msub=22=4，主碼Mprime=22=4，全部BPSKCSK 符號生成過程如下：

1) 表1將基礎碼通過循環移位生成4 個主碼；

表1 BPSK-CSK(4,2,2)主碼列表

2) 表2將4 bits 電文中極性位進行子碼拓展；

表2 BPSK-CSK(4,2,2)拓展子碼的生成

3) 表3將主碼與拓展子碼按位異或得到碼序列，并將該序列重復2 次得到所有BPSK-CSK 符號.

表3 BPSK-CSK(4,2,2)符號列表

2 電文相干解調

接收端對信號進行下變頻混頻和模數轉換后得到的信號時域數學模型為

本文假設接收信號由導頻分量spilot(n) 和數據分量sdata(n) 組成，兩分量相互正交，數據分量采用BPSK-CSK 或CSK 方法進行電文調制.Ci(n) 為第i個CSK 或BPSK-CSK 符號，該符號的選擇在電文調制時，由分組后的各組電文決定.導頻分量采用BPSK，不調制電文，只用于導航信號的捕獲與跟蹤.Cpilot(n)為導頻分量的擴頻碼，其中Ps為信號功率；fc為載波中頻頻率；φ0為初始載波相位；ns(n) 為高斯白噪聲；信號載噪比N0為噪聲功率頻譜密度.

接收機利用spilot(n) 進行導航信號的捕獲與跟蹤，之后載波數字振蕩器(NCO)根據跟蹤得到的載波相位和載波頻率生成正弦波和余弦波對數據分量進行載波剝離得到

式中，i=0,···,M-1.

假設接收機導頻段準確捕獲與跟蹤，即接收載波頻率與搜索載波頻率之間的差異fe≈0，兩載波之間的相位差異φe≈0，則I(n)和Q(n) 可以化簡為

式(4)中，nI和nQ為在同相支路I支路和正交支路Q支路上均值為零且互不相關的正態噪聲.在完成載波剝離后進行電文相干解調，正交支路不計入判決.

2.1 CSK 相干解調

如圖3所示，電文解調模塊根據跟蹤階段所得碼相位的值定位CSK 電文調制部分的起始點，設向量r表示I(n) 在起始點對齊后1 個CSK 符號周期內的信號采樣向量，ci(i=0,···,M-1) 為本地生成的M個CSK 符號向量.傳統CSK 解調模塊采用M個相關器進行CSK 符號匹配，通過相關求和，得到判決向量R，Ri(i=0,···,M-1) 為R中的元素，R中最大元素對應的CSK 符號及該符號對應的電文為電文解調結果.

圖3 CSK 解調模塊

2.2 BPSK-CSK 相干解調

與CSK 解調模塊類似，BPSK-CSK 電文解調模塊依賴于跟蹤結果得到BPSK-CSK 符號起始點.如圖4所示，設向量r為I(n) 在起始點對齊后1 個BPSK-CSK 符號周期內的采樣向量，并將r平均分為NK段得到行向量rs1到rsNK，NK分段之間相互獨立，接收機本地將Mprime個主碼分別分為NK段，得到行向量sj,1到sj,NK(j=0,···,Mprime-1)，將r與不同主碼的各分段分別進行相關求和運算，將每個主碼對應的NK個求和結果以K個求和結果為單位分為N組，每組對應位置相加求和，最終得到維度為Mprime×K的相干矩陣Rprime，表示為

圖4 BPSK-CSK 解調模塊

進行相關求和后，由于rs1到rsNK長度相等，Rprime中各隨機變量噪聲功率(即方差) σ2n相等，表示為

Tcoh表示一個BPSK-CSK 符號持續時長即相干時長，由式(8)可知，Tcoh越大相干矩陣中各隨機變量的噪聲功率越小，信號功率保持不變時，信噪比越大.

將相干矩陣Rprime與維度為K×Msub子碼矩陣Cs相乘求得維度為Mprime×Msub的判決矩陣R，求得該矩陣的表達式為

判決矩陣R的第i行對應第i個BPSK-CSK 主碼，第j列對應第j個BPSK-CSK 的子碼，則判決矩陣R的元素Ri,j為r與該主碼和子碼對應的BPSKCSK 符號的相關值，則R中最大值對應的BPSKCSK 符號對應的U比特電文為解調結果，該過程表示為

對比圖3～4 可知，與傳統CSK 解調模塊相比，BPSK-CSK 解調算法所需相關器個數減少了(MMprime)個，并使用矩陣乘法替代這部分對采樣信號的運算操作.分步進行的相干解調是由BPSK-CSK 調制結構決定的，是降低計算復雜度的關鍵.

3 性能分析

3.1 相干解調算法的誤比特率

判決矩陣R中包含M=Mprime×Msub個元素，通過檢測最大相關值對應的主碼和子碼編號確定比特電文.檢測統計量為Ri,j，由于同一主碼對應的子碼匹配過程是針對同一組相關值進行的，因此判決矩陣R中同一行內的Msub個元素相互不獨立，由于BPSK-CSK主碼的生成與CSK 一致，不同主碼對應的行之間相互獨立.在誤比特性能的分析過程中，依據是否與BPSK-CSK 主碼匹配將矩陣R分為兩部分，下文中分別稱為主碼匹配行和未匹配行，分別計算誤比特率.

對于未匹配行，假設BPSK-CSK 主碼為性能理想的隨機碼，相互正交，不考慮互相關干擾，即各分段都服從均值為0，方差為 σ2n/2 的高斯分布，概率密度表示為g(x)，分布函數表示為G(x)，基于這一假設，可知未匹配行的 (M-Msub) 個元素被判為最大值的概率相等.

則主碼匹配行中，與子碼匹配kbits 的元素有k分段服從(K-k)分段服從σ2n/2)，由于同一行的相關值相互不獨立，當且僅當每一分段的相關值取值大于0 時，對應的相關值被判為該行的最大值，此時各分段服從截斷高斯分布，f1(x)和f2(x) 的截斷高斯分布的概率密度函數分別表示為

Ri,j表示K段相關值與編號為j的子碼相乘后求和的結果，這K個隨機變量相互獨立，因此主碼匹配行中，將與子碼匹配kbits 的元素判定為主碼匹配行的最大值，這種情況的概率密度表示為

式中：k個f1′(x)；(K-k)個f2′(x)；*表示卷積運算；兩個相互獨立的變量X和Y，概率密度函數分別表示為fX(x)和fY(x)，則變量Z=X+Y的概率密度函數fZ(z)表示為

同理，非匹配行中最大值元素的概率密度函數gmax(x)的表達式為

則主碼匹配成功的概率為

非匹配行的誤比特率表示為

主碼匹配行的誤比特率表示為

因此，信號載噪比為RCN0時，BPSK-CSK(U,K,N)電文解調的誤比特率表示為

值得注意的是，當K=0 時，BPSK-CSK 調制與CSK 調制等價，誤比特率的表達式為[10]

式中，f(x) 表示均值為0，方差為 σ2=的高斯分布.

當K=U時，BPSK-CSK 調制與BPSK 調制等價，誤比特率的表達式為[11]

式中，Q(·) 表示標準正態分布的右尾函數.

為驗證理論推導的正確性，本文進行了BPSKCSK 相干解調仿真.本仿真在信號生成階段，隨機生成相應長度的擴頻碼，信息層隨機生成電文比特，不進行信道編碼，設碼率為Rc=2.046 MHz，電文速率為Rb=1 Kbps，進行BPSK-CSK(U,K,1)電文調制，根據式(4)生成不同載噪比條件下的衛星導航信號；在信號接收階段，假設低動態衛星導航接收機準確跟蹤信號，具備電文相干解調條件，以U比特電文為一個單位，進行106次蒙特卡洛仿真，得到誤比特率的仿真結果.

仿真以BPSK-CSK(6,4,1)為例，根據式(3)可得1 個BPSK-CSK 符號時長為Tcoh=6 ms，仿真過程中信號載噪比不變，單個BPSK-CSK 符號時長Tcoh決定了電文解調的相干累加時長，從而導致信噪比的變化，相干累加時長越長，用于電文解調的信號信噪比越大.圖5是該調制方法誤比特性能的仿真與理論曲線圖，由圖5可知，誤比特性能的仿真結果與理論分析一致.

圖5 BPSK-CSK(6,4,1)在1 Kbps 電文速率下的仿真與理論曲線圖

圖6是在相同電文速率Rb=1 Kbps 條件下，當K∈{0,1,2,3,4,5,6}時，BPSK-CSK(6,K,1)在不同信噪比條件下的誤比特性能曲線圖，經計算CSK(6,1)的誤比特率與BPSK-CSK(6,0,1)相等，BPSK 誤比特率與BPSK-CSK(6,6,1)相等，因此圖中K=0 bits 和K=6 bits 的曲線直接標注為CSK(6,1)和BPSK.

圖6 當K∈{0,1,2,3,4,5,6}時BPSK-CSK(6,K,1)在不同信噪比條件下的誤比特率曲線

由圖6可得到以下結論：

1) 當K∈{0,1,2} 時，BPSK-CSK(6,K,1)調制的誤比特性能基本保持不變，與CSK(6,1)的誤比特性能相等.

2) 當K＞2 時，BPSK-CSK 的誤比特性能位于BPSK 和CSK 之間，隨著K的增大，誤比特曲線更靠近BPSK，電文解調門限逐漸增大.

3) 高信噪比是CSK 相對于BPSK 降低電文解調門限的前提.如圖6所示，曲線交點約為7.7 dB，當信噪比低于7.7 dB 時，BPSK 調制的誤比特性能更好，此時，將低于7.7 dB 的信號視為低信噪比信號，使用BPSK 調制更有優勢.需要注意的是，這里的低信噪比是相對于圖中曲線交點而言.

3.2 計算復雜度

本節對BPSK-CSK(U,K,1)和CSK(U,1)的相干解調算法的計算復雜度進行分析，由于接收機使用相關器組通過相關求和的方法進行電文解調，兩種解調方法的計算復雜度量級是相等的，因此通過詳細對比乘法操作的次數分析BPSK-CSK 相較于CSK 計算復雜度的降低程度.

在相等電文信息速率、相等擴頻碼碼率、碼周期以及采樣頻率的條件下，CSK 和BPSK-CSK 以1 個符號為單位進行電文符號解調，設1 個CSK 符號或BPSK-CSK 符號持續時間相等且采樣點數為L，則CSK 解調每個符號進行的乘法運算次數O1表示為

BPSK-CSK(U,K,1)解調每個符號進行的乘法運算次數O2表示為

則對于單個符號相干解調的計算復雜度，BPSKCSK 的計算復雜度與CSK 計算復雜度的比表示為

由式(24)可知，BPSK-CSK(U,K,1)相干解調計算復雜度和CSK(U,1)計算復雜度的比值與1 個符號攜帶的電文比特數U無關，而與極性位比特數K有關.如圖7所示，假設U足夠大，隨著K值的增大，BPSK-CSK 對CSK的計算復雜度削弱程度先呈指數上升，削弱程度到最大時呈線性緩慢下降，當K約為13 時，BPSK-CSK 相對于同等量級CSK 的計算復雜度削減程度最高.

圖7 BPSK-CSK(U,K,1)與CSK(U,1)相干解調乘法運算次數比曲線圖

此外，當K值不變時，1 個符號內采樣點數L越大，BPSK-CSK 對于同等量級CSK 的計算復雜度削減程度越高.

3.3 應用示例

上文對誤比特性能與計算復雜度的分析未考慮糾錯編碼，在K＞2 時，BPSK-CSK 以誤比特性能為代價換取計算復雜度的降低，本節針對這種情況列舉一種BPSK-CSK 的應用示例.假設BPSK-CSK 調制的電文符號經過糾錯編碼，接收端在相干解調后需進行信道譯碼，權衡譯碼引入的計算復雜度和編碼增益(編碼增益指給定輸出誤碼率下編碼與非編碼序列輸入信噪比的差值)，與相等計算復雜度的CSK 對比誤比特性能.

根據文獻[12]對信道編碼的研究以及上文的理論分析，當系統的誤碼指標為10-5且接收端采用硬判決譯碼時，BCH(15,7)糾錯編碼的編碼增益約為4 dB.

BCH(15,7)糾錯編碼將電文以7 bits 為單位分組，糾錯編碼之后得到碼長為15 bits 的碼字，因此電文調制過程以15 bits 為單位采用BPSK-CSK(15,3,1)算法.設信息速率為Rb=1 Kbps，碼率為Rc=2.046 MHz，采樣頻率取5 MHz，根據式(3)求得此時BPSK-CSK符號持續時長為15 ms，則有效信息速率約為467 bps.根據式(22)～(23)，求得CSK(12,1)在上述條件下與BPSK-CSK(15,3,1)解調等量的有效信息所需計算復雜度近似相等，此時一個CSK(12,1)符號持續時長約為25 ms.根據式(19)～(20)，在未進行糾錯編碼時，BPSK-CSK(15,3,1)的電文解調門限約為16.95 dB，CSK(12,1)的電文解調門限約為15.05 dB.由于BCH硬判決譯碼的計算復雜度遠小于電文符號解調的計算復雜度，對接收機整體的計算復雜度影響較小，因此在計算復雜度近似相等、有效信息速率近似相等的條件下，編碼后的BPSK-CSK(15,3,1)解調門限為12.95 dB，低于CSK(12,1)的解調門限2.1 dB.

當接收端解調相等的有效信息時，假設計算復雜度相等(O1=O2)、有效信息速率相等、信號采樣率與碼率相等，計算可得BPSK-CSK(U,K,N)對應的CSK調制參數，可知BPSK-CSK 調制信號的總信息速率更高，即該方法在相等的傳輸時間內傳輸的信息量更大，除有效信息外可用于糾錯編碼的冗余比特數更多.存在一種糾錯編碼方法，其編碼增益隨冗余糾錯碼位數的增多而提高，從而有效彌補了K＞2 時BPSKCSK 相對于CSK 誤比特性能的損失，甚至提高誤比特性能.本節分析了一種極端情況，即BPSK-CSK 采用糾錯編碼而CSK 未采用糾錯編碼，驗證了上述情況下本文所提方法的優勢.需要注意的是，對于不同的信道編碼方法，需要權衡信道譯碼引入的計算量與帶來的編碼增益.

4 結 論

針對CSK 解調計算復雜度高的問題，本文提出BPSK-CSK 調制方法，經過理論推導和仿真驗證，證明了所提方法可有效降低傳統CSK 電文解調復雜度.在信息傳輸速率相等的條件下，當極性比特為1 或2 時，計算復雜度降低為原來的50%或25%，此時電文解調誤比特率與傳統CSK 相比，其損耗可以忽略不計.當極性位數大于2 時，所提方法以解調性能為代價降低計算復雜度，但此時若結合信道編碼，BPSK-CSK 仍可實現等計算復雜度下的誤比特率降低，具有應用優勢.