線性正則小波卷積及其性質①

趙彥博， 馮強

延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000

線性正則變換[1-3]是一種比較新穎的、 功能強大的信號處理工具，因其有3個自由參數，使得線性正則變換具有更多的靈活性． 傅里葉變換[4]、 分數階傅里葉變換[5]、 菲涅耳變換[6]都是線性正則變換的特殊情形． 近年來，線性正則變換在解決光學系統、 濾波器設計、 時頻分析等方面都有重要的應用[7-10]．

小波變換在信號處理領域是重要的時頻分析工具，在時頻域分析、 表征圖像邊緣檢測、 圖像處理、 全聚焦圖像生成等方面有廣泛的應用[11-13]． 近年來，小波變換在信號處理中的理論與應用也逐漸引起國內外學者的重視． 文獻[14]推導出了小波變換的卷積和相關定理，表明其在時頻上具有相似性，并且證明了卷積定理對加噪信號恢復的有效性． 文獻[15]利用一種新型卷積，給出了均勻采樣和低通重構公式． 文獻[16]提出了廣義小波變換的卷積定理． 文獻[17]提出了分數階小波變換的卷積和相關定理． 文獻[18]研究了小波的希爾伯特變換，得到了更高的消失矩． 由于線性正則小波變換是分數階傅里葉小波變換的進一步拓展，可以實現對信號在時間線性正則域的多分辨率分析，因此在信號處理中有著非常重要的作用．

本文在線性正則變換與小波變換的基礎上，首先給出了線性正則小波函數的容許性條件與正則性條件，其次研究了一類新型線性正則小波卷積與相關定理，最后利用所得定理，研究了線性正則小波域的濾波設計．

1 預備知識

定義1[3]函數f(x)的線性正則變換定義為

其中，核函數為

M=(A，B，C，D)為參數矩陣，A，B，C，D∈R，且滿足AD-BC=1．

線性正則變換的逆變換表示為

其中，參數矩陣M-1=(D，-B，-C，A)．

當參數矩陣M=(0，1，-1，0)時，線性正則變換退化為經典的傅里葉變換

性質1(疊加性)L(A2，B2，C2，D2)(L(A1，B1，C1，D1)(f(x)))=L(E，F，G，H)(f(x))．

性質2(可逆性)L(D，-B，-C，A)(L(A，B，C，D)(f(x)))=f(x)．

定義2設f∈L2(R)，小波函數ψ∈L2(R)，且滿足可容許性條件

(1)

則f的小波變換定義為

其中，小波基函數定義為

a∈R+，b∈R分別代表尺度和平移參數． 小波變換的逆變換為

定義3[16]線性正則小波變換定義為

這里的ψM，a，b(x)為核函數，滿足

它的逆變換定義為

當M=(cosθ，sinθ，-sinθ，cosθ)時，線性正則小波變換退化為分數階小波變換

定義4[19]線性正則變換的卷積運算定義為

當參數矩陣M=(0，1，-1，0)時，線性正則卷積運算退化為經典的卷積運算

基于傳統的卷積算子，新的卷積運算可以由經典卷積運算表示為

定義5[14]設f和g是定義在R2上的復值函數，則僅有一個變量的卷積運算分別定義為

定義6[19]線性正則變換的相關運算定義為

當參數矩陣M=(0，1，-1，0)時，線性正則變換的相關運算退化為

定義7[14]如果f和g是定義在R2上的復值函數，僅有一個變量的相關形式分別為

定義8[14]給定函數f∈L2(R)，h∈L2(R2)，它們的廣義卷積定義為

定義9[14]設ψ∈L2(R)為容許性小波，且有0≤ρ

引理5[14]設ψf∈L2(R)和ψh∈L1(R)∩L2(R)是兩個具有N1和N2階消失矩的容許性小波，令ψp=(ψf*ψh)和ψq=(ψf⊙ψh)，則ψp，ψq也是可容許性小波并且具有Nf+Nh階消失矩．

2 主要研究內容

證由于ψf∈L2(R)，ψh∈L1(R)∩L2(R)，可知ψp，ψq∈L2(R)，且有

因為ψf和ψh是容許性小波，根據(1)式知道0<ψf，ψh<∞，根據線性正則變換的性質，得到

則可以得到

因此，我們得出

下面考慮ψp的ρ階矩

由定義4可得

其中

則有

證g(x)的線性正則小波可以寫為

其中

則有

證g(x)的線性正則小波可以寫為

其中

令α=τ-x，β=τ-b-ay，γ=τx-b2+2b，且滿足

a2(β2+bβ-τα-γ)-(α-β)(τ-(β+b))=0

注1定理1與定理3表明， 線性正則小波卷積運算與相關運算在每個尺度上是獨立的，結合線性正則小波變換可以在時頻域聯合表征信號特性，我們可以對給定的信號的不同尺度構造相應的空變濾波．

注2這些定理表明，兩個信號卷積的聯合時頻表征可以表示為兩個信號在每個固定頻率上的聯合時頻表征在時間變量或空間變量上的卷積．

由于聯合時頻表征的空變濾波不同于傅里葉域的時不變濾波，因此我們可以通過以下步驟實現時變或者空變濾波：

空變濾波的實現如圖1所示：

圖1 空變濾波的實現

下面我們給出具體分析：

(2)

對(2)式做逆線性正則小波變換，可得

令

則可得線性正則小波變換域空變濾波

3 結論

本文在線性正則變換與小波變換卷積的基礎上，研究了一類新型線性正則小波變換的卷積定理與相關定理． 首先給出了線性正則小波卷積和相關的容許性條件與正則條件；其次推導出線性正則小波變換的卷積定理；最后，利用所得卷積及其卷積定理，研究了線性正則小波變換域的濾波設計，給出了線性正則小波域的空變濾波的設計方法．