奇異元個數對線性群PSL(2，p)的刻畫①

嚴德鈺， 沈如林

湖北民族大學 數學與統計學院，湖北 恩施 445000

有限群的結構可以由群的一些特殊數量關系反映出來，例如： 同階交換子群的個數、 與最高階元素有關的數量條件以及特征標維數等都可以刻畫群的結構[1-3]． 因此，通過群的數量特征來研究群的結構有著重要意義．

定理1設G是有限群，p是素數． 若μ(G)=μ(PSL(2，p))， 則G?PSL(2，p)．

證設|G|r表示|G|的r-部分，|G|r′表示|G|的r′-部分． 由于方程x|G|r′=1的解的個數為r-正則元的個數，根據Frobenius定理[9-10]知方程解的個數是|G|r′的倍數，則G中r-正則元的個數Rr(G)為k|G|r′， 其中k為一正整數． 同樣記G中r-奇異元的個數為Sr(G)， 則

下證m與r互素， 只需證r-正則元的個數與r互素． 設G的Sylowr-子群R共軛作用在G中的r-正則元Ωr上，并設軌道為O1，O2，…，Ok． 注意到Oi={xi}當且僅當CR(xi)=R， 因此G中r-正則元的個數為

其中x∈Ωr-CΩr(R)根據Schur-Zassenhaus定理知CG(R)=Z(R)×H，其中H的階與r互素，則

CΩr(R)=Ωr∩CG(R)=H

從而Rr(G)=|H| (modr)． 故r-正則元的個數與r互素．

注1根據引理1知，若μ(G)=μ(H)， 顯然有|G|=|H|．

這里Rr(CG(xi))是CG(xi)中r-正則元的個數，故

引理3設p為奇素數，且r∈π(PSL(2，p))，則

以下分情況討論μr(PSL(2，p))的值：

故

故

設G是有限群，定義G的素圖Γ(G)：Γ(G)的頂點集為π(G)， 兩個不同的頂點p，r有邊相連當且僅當G中有一pr階元，t(G)表示Γ(G)的連通分支數，πi(i=1，2，…)表示Γ(G)的連通分支所含頂點之集． 如果2||G|， 則總設2∈π1．

首先給出Frobenius群和2-Frobenius群的結構：

引理4[12](i) 設G是偶階Frobenius群，H是Frobenius核，K是Frobenius補，則t(G)=2，Γ(G)={π(H)，π(K)}；

(ii) 2-Frobenius群可解．

以下是由Williams給出的具有非連通素圖的群的結構：

引理5[13-14]設G是有限群，G的素圖非連通，則G有如下3種結構：

(i) Frobenius群；

(ii) 2-Frobenius群；

(iii)G有一正規(guī)列1?_H?_K?_G， 使得K/H是非交換單群，H和G/K是π1-群，H是冪零群且|G/K|||Out(K/H)|．

另外，對于非連通素圖的單群的分類可參見文獻[14]的表Ib-Ie，IIa-IIc、 文獻[15]的表Ia，Ib，II，III以及文獻[16]．

定理1的證明

步驟1G是完全群，即G′=G．

這與μr(G)=μr(PSL(2，p))矛盾．

因此

即有p=r=3， 這與我們假設的p≥5矛盾．

綜上所述，G/N是非交換單群，G是完全群．

步驟2頂點p是G的素圖的孤立點，且G中的Sylowp-子群不正規(guī)．

證明頂點p是G的素圖的孤立點等價于證明對任意素數r(≠p)，G中無pr階元．

由于

3)基本頂組成及運動特點。由于工作面存在明顯的頂板周期來壓顯現，因此基本頂的周期性斷裂是其主要運動特征。工作面基本頂主體巖層為粗砂巖，厚度8 m，周期斷裂步距約20 m。

則G的Sylowp-子群P同構于Zp． 設G的Sylowp-子群的個數為np，G中p-奇異元的個數為Sp(G)． 由Sylow定理知np≡1(modp)， 則G中p-奇異元的個數Sp(G)≥(p-1)np， 由引理3知Sp(G)=p2-1， 從而np=p+1，1．

首先假設np=p+1， 則G中的p階元的個數為(p+1)(p-1)． 而Sp(G)=p2-1， 故G中p階元的個數等于p-奇異元的個數，即G中無pr階元．

首先假設p階元只有一個共軛類． 設x1為p階元共軛類的代表，CG(x1)中p-奇異元的個數為Sp(CG(x1))． 由引理2和引理3知

而(p-1)|Sp(CG(x1))， 我們有(p-1)|(p-2)或(p-1)|(p+1)， 即p只能為2， 這與p≥5矛盾．

以下假設p階元有兩個共軛類． 設x2，x3為p階元共軛類的代表． 同樣由引理2和引理3知

即

(1)

由于p階元有兩個共軛類，則p階元的兩個共軛類長的和為

|G∶CG(x2)|+|G∶CG(x3)|=p-1

從而

結合(1)式得

通過放縮有

從而

即

Sp(CG(x2))+Sp(CG(x3))≥2(p+1)(p-1)

如果Sp(CG(x2))>(p+1)(p-1)或Sp(CG(x3))>(p+1)(p-1)， 則與Sp(G)=p2-1矛盾． 如果Sp(CG(x2))=Sp(CG(x3))=(p+1)(p-1)， 則由(1)式得|CG(x2)|=|CG(x3)|=p(p+1)． 由于np=1， 則P?G． 由N/C定理知

(2)

步驟3G既不是Frobenius群也不是2-Frobenius群．

首先假設G是Frobenius群且G是偶階． 設H是Frobenius核，K是Frobenius補，由引理4知t(G)=2且Γ(G)={π(H)，π(K)}． 由步驟2知G中頂點p是孤立點，則Γ(G)={p，π(K)}或Γ(G)={p，π(H)}．

若Γ(G)={p，π(K)}， 則P是Frobenius核，從而P在G中正規(guī)， 矛盾．

假設G是2-Frobenius群且G是偶階． 由引理4知2-Frobenius群可解，這與G是完全群矛盾．

步驟4G?PSL(2，p)．

下面證明G/H?PSL(2，p)， 顯然由|G|=|PSL(2，p)|就證明了G?PSL(2，p)． 以下s為奇素數，q為素數冪，單群的階參見文獻[17]． 我們根據素圖分支的個數進行討論．

G/H的素圖為兩個連通分支：

情形1G/H?As-1(q)，其中s≥2，q為奇素數冪，或q為2的冪且(s，q)≠(3，2)，(3，4)．

(qs-1)=p(q-1)gcd(s，q-1)

(3)

(4)

將(3)式代入(4)式，得

q3-1=p(q-1)gcd(3，q-1)

得

G/H?A2(2)?PSL(2，7)

情形2G/H?As(q)， 其中(q-1)|(s+1)且s≥1．

根據qs-1=p(q-1)得

從而由整除關系易知

情形3G/H?B2m(q)， 其中m≥2且q為奇素數冪．

顯然有(q22m，ql+1)=1， (q22m，ql-1)=1，q22m|/(ql+3)， 這與整除關系矛盾．

假設G/H?C2m(q)， 其中m≥1，且q為奇素數冪；G/H?C2m(q)， 其中q為2的冪． 由于|C2m(q)|=|B2m(q)|， 則證明與G/H?B2m(q)一致．

情形4G/H?Bs(3)， 其中s≥2．

假設G/H?Cs(3)， 其中s≥2． 由于|Bs(3)|=|Cs(3)|， 則證明與G/H?Bs(3)一致．

情形5G/H?2As-1(q2)， 其中s≥3．

qs+1=p(q+1)·(s，q+1)

根據qs+1=p(q+1)·(s，q+1)得

情形6G/H?2As(q2)， 其中(q+1)|(s+1)且s≥2．

(5)

由(5)式左邊得

由(5)式右邊得

情形7G/H?2D2n(q2)，其中n≥1且q為奇素數冪．

顯然有q2n+1(2n-1)|/(ql-1)，q2n+1(2n-1)|/(ql+1)， 因此q2n+1(2n-1)|(ql+3)， 則q=3且2n+1(2n-1)=1． 這與2n+1(2n-1)≥4矛盾．

情形8G/H?2Ds(32)， 其中s≥5且s≠2n+1．

9s(s-1)(9s+1)(92-1)(94-1)…(92(s-1)-1)|p(p+1)(p-1)

顯然有9s(s+1)|/(3s+1)， 9s(s+1)|/(3s+5)． 因此9s(s+1)|(3s-3)， 即2s(s-1)只可能為1． 這與2s(s-1)≥40矛盾． 同理可證G/H?2Dl(32)， 其中l(wèi)=2n+1且l≠s．

假設G/H同構于單群S， 根據Atlas定理[17，9]知群S的階，則S取以下群之一：

①Ds(2)， 其中s≥3， |Ds(2)|=2s(s-1)(2s-1)(22-1)(24-1)…(22(s-1)-1)；

②Ds+1(2)， 其中s≥2， |Ds+1(2)|=2s(s+1)(2s+1-1)(22-1)(24-1)…(22s-1)；

⑥3D4(q3)， 其中q為奇素數冪， |3D4(q3)|=q36(q24+q12+1)(q18-1)(q6-1)；

⑨G2(q)， 其中q≡±1(mod 3)且q為奇素數冪， |G2(q)|=q6(q6-1)(q2-1)；

G/H的素圖為3個連通分支：

情形1G/H?Alt(n)， 其中n=5，6．

情形2G/H?A1(q)， 其中q≡1(mod 4)且q為奇素數冪．

假設G/H?A1(q)， 其中q≡-1(mod 4)且q為奇素數冪．

假設G/H?A1(q)， 其中q為2的冪． 由于A1(q)的孤立點為q-1或q+1，G/H的孤立點為p， 則q-1=p或q+1=p． 又由于

情形3G/H?A2(2)．

由于A2(2)的孤立點為3或7，G/H的孤立點為p， 則3=p或 7=p，又由于

情形4G/H?2G2(32m+1)， 其中q=32m+1且m≥1．

假設G/H同構于單群S， 根據Atlas定理[17，9]知群S的階，則S取以下群之一：

②E7(2)， |E7(2)|=263×(218-1)(214-1)(212-1)(210-1)(28-1)(26-1)(22-1)；

③2F4(q)， 其中q為2的冪， |2F4(q)| =q12(q6+1)(q4-1)(q3+1)(q-1)；

④F4(q)， 其中q為2的冪， |F4(q)|=q24(q12-1)(q8-1)(q6-1)(q2-1)；

⑥G2(q)， 其中q≡0(mod 3)且q為奇素數冪， |G2(q)|=q6(q6-1)(q2-1)；

⑦2A5(22)， |2A5(22)|=415(42-1)(43+1)(44-1)(45+1)(46-1)；

G/H的素圖為4或5個連通分支：

綜上所述G/H?PSL(2，p)， 從而G?PSL(2，p)．