激發合理猜想，成就數學學習的翅膀

卜英俊

江蘇省常熟市海虞中學 215519

猜想在數學學習過程中是一種重要的探索手段，在數學發展史上很多偉大的定理都是通過猜想發現的，當然也有一些猜想被驗證是不正確的.無論成功與失敗，都表明猜想是學習數學的一種重要的能力.學生具備了猜想的能力，就為數學學習插上了想象的翅膀，學會了提出問題并解決問題，使自身的思維得到進一步的鍛煉.

關于數學猜想的含義

數學猜想不同于想象，它是以數學知識為基礎，在已有規律的基礎上，通過數學方法進行推斷或者推測.猜想的過程是運用數學知識進行分析和判斷的過程，因此提出猜想本身就包含著創造性的勞動.正是因為有很多偉大的猜想，推動著數學理論不斷發展，甚至在論證一些猜想的過程中還能發現其他的數學定理.因此培養學生的猜想能力，對于促進學生敢于質疑、敢于提出問題、敢于創新具有非常重要的意義.

如何培養學生的猜想能力

數學猜想能力的培養體現在課堂的每一個環節、每一個設計當中，教師只有深知教學活動與學生思維之間的關系，才能在活動中訓練學生的思維，讓課堂充滿活力.

（一）動手實踐，激發猜想興趣

思維的鍛煉與實踐密切相關，學習過程中如果都是間接經驗，學生不會有深刻的體會.而通過直接的動手操作，可以讓學生在獲得直接經驗的過程中，激發猜想的興趣.

案例1三角形中位線定理

師：同學們已經學習了三角形中位線的概念，那么三角形的中位線有哪些性質和特征呢？同學們不妨來自己動手畫一畫，看一看，想一想.

同學們應注意任何線與線的關系都有兩種，一種為位置的關系，一種為數量之間的關系.同學們可以大膽地猜想一下.

生：我根據剛才畫的幾條中位線發現，三角形的中位線與三角形的第三邊平行而且長度等于第三邊的一半.

師：好的，同學們既然有了猜想，那我們要試著去論證一下這個猜想是否正確.大家可以試著動手做一下.大家做一個如圖1的三角形，沿著三角形的中位線把△ADE剪下來，試著把△ADE和四邊形BDEC拼接成一個平行四邊形（如圖2）.

圖1

圖2

圖3

師：看來同學們都拼接成功了，其實我們發現拼接的過程就相當于將DE延長，使E成為DF的中點，那么如何證明剛才你們的猜想呢？

生：通過三角形相似原理，BD∥CF，DF∥BC，也就證明了四邊形BDFC是平行四邊形，那么BC和DF相等，而E成為DF的中點，因此DE是BC的一半.

本例中教師并沒有將定理直接告知學生，而是引導學生通過自己的作圖和觀察進行猜想，繼而又通過剪拼發現了證明猜想的辦法，這一系列的思維活動通過發現問題到證明問題，最終使學生獲得成功的喜悅，激發了探究的興趣.學生有了興趣的驅使，學習就變得輕松愉快，自然愿意投入更多的時間和精力，愿意發揮自己的主觀能動性去積極的探索和學習，讓學習真正成為一種自覺.

教學中教師要積極創設活動，讓學生主動參與，動手實踐，大膽猜想，運用自己所學的知識大膽設疑、充分證明，激發自身學習的積極主動性.

（二）掌握方法，培養猜想能力

數學猜想是在已有數學知識的基礎上，采用數學方法進行的推理，因此掌握數學方法是猜想需要的前提.猜想過程中普遍需要用到歸納和類比轉化的思想，在教學中教師要不斷培養學生歸納和類比的數學推理方法.

1.學會歸納方法

歸納是學生提高學習效果的重要方法.簡而言之，歸納是由零散到整體的總結，是由特殊的例子推而廣之成為普遍的定理.

案例2凸多面體中面、棱和頂點的關系

探究這其中的關系較難，凸多面體也無法窮盡，所以可以采用舉例研究特殊圖形來找到規律.教師引導學生通過列表格進行分類整理（如表1），在整理的過程中發現面、頂點和棱雖然增長的數量不一致，但是都有著同樣的增加或者減少的趨勢.再仔細研究學生就會發現面與頂點的和等于棱的數量加上2.

表1

本案例是典型地采用了歸納推理的方法.研究一種較難的數學定理或者猜想時，不要妄想一步登天，可以從最簡單的部分著手，為了更加清楚直觀，可以盡量采用列表、舉例的方法，多舉一些簡單的例子進行觀察，從變化當中發現不變的規律，自然可以發現其中的定理.在教學中教師要逐步引導學生通過特殊到一般的推理，有效簡化推理的過程，論證猜想.

2.學會類比思想

類比思想是根據同類事物進行猜想和推理，在數學問題的解決過程中，類比思想應用非常廣泛，很多重要的數學定理的論證就是通過類比思想完成的.

案例3多邊形內切圓半徑

問題1：如圖4，已知三角形ABC的周長為l，三角形內部有一個內切圓O，其半徑為r，以O為頂點劃分成三個三角形.經過證明可知三角形ABC的面積等于三角形周長乘以內切圓半徑的一半.由此得出猜想1：若四邊形ABCD有一個面積為s的內切圓，四邊形各邊長分別為a，b，c，d，求推導出內切圓的半徑.

圖4

問題2：如圖5，圓O為四邊形ABCD的內切圓，OA，OB，OC，OD 將四邊形ABCD 分割成四個三角形，△OCD，△OCB，△ODA，△OAB的高都是圓的半徑，因此r=.據此可得出猜想2：若一個n邊形存在內切圓，且已知圓的面積為s，邊長分別為a，b，c，d…n，根據以上的猜想可以得到這個內切圓的半徑為r=

圖5

本題通過典型的類比思想，先從三角形推理到四邊形，進而再推廣到n邊形，使一個復雜的問題得以推理論證.類比思想就是對相似的性質、過程或者結構等進行聯想和推理，教師在進行定理的講解、習題的練習時都可以潛移默化地滲透這種思想，使學生利用知識之間的聯系和類比，進行合理的猜想和推理.

加強變式練習，提高猜想能力

變式訓練是有效拓展學生思維的方法，教師只有進行大膽的思維訓練，才能讓學生大膽質疑和猜想，提高猜想能力.

案例4

原題：如圖6，以△ABC的兩條邊AB和AC為邊，向外作正三角形ABD和ACE.請證明BE=DC.

圖6

本題是一道并不困難的證明題，如果只是講解這道題，并沒有很好地發揮它的作用，可以改變已知條件，也可以改變結論，還可以將圖形與函數相結合，讓這道題真正發揮出它的潛在價值——一題多變.

變式1：在已知條件不變的情況下，增加求答問題.

以△ABC的兩條邊AB和AC為邊，向外作正三角形ABD和正三角形ACE.（1）證明BE=DC.（2）猜想直線CD與直線BE的夾角有什么特征？

變式2：增加新的結論，逆向推導已知條件.

如圖7，以△ABC的三條邊AB，AC，BC為邊，在BC邊的一側作等邊三角形BCF、等邊三角形ACE和等邊三角形ABD，請證明四邊形DAEF是平行四邊形.

圖7

猜想：當△ABC在什么情況下，四邊形DAEF是矩形？當△ABC在什么情況下，四邊形DAEF是菱形？當△ABC在什么情況下，四邊形DAEF不存在.

通過改變已知條件，將試題變成一道幾何綜合題，增加了題目的難度，也需要學生運用綜合思維能力以及分析和邏輯推理能力，在變式練習的過程中，學生的猜想能力得到了提高.猜想是思維的綜合運用，在教學中教師需要鼓勵學生大膽思考，對學生的想法要多鼓勵和表揚，不能直接否定，可以通過引導分析，讓學生逐漸找到思路.只有在不斷的訓練過程中，學生的猜想能力才能得到提高.

總之，猜想可以使學生鍛煉思維，學會類比轉化思想，進行更加綜合的思考，讓知識更加深刻；猜想還能增加學生的自信，培養學生的創新意識.猜想是興趣使然，反過來又能激發學生的學習興趣，所以教師要充分利用好猜想，讓它為學生的學習插上飛翔的翅膀，讓學生飛得更高、更遠.