“六環(huán)節(jié)”高效復(fù)習(xí)課堂的構(gòu)建與思考
——以八年級(jí)上學(xué)期的期中幾何復(fù)習(xí)課為例

廖莉麗

南京師范大學(xué)鹽城實(shí)驗(yàn)學(xué)校 224700

八年級(jí)上學(xué)期的期中幾何復(fù)習(xí)課時(shí)安排一般為三個(gè)課時(shí)，“六環(huán)節(jié)”高效復(fù)習(xí)課堂的構(gòu)建旨在引導(dǎo)學(xué)生查漏補(bǔ)缺，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，在探究解題策略與領(lǐng)悟思想方法的同時(shí)，提高解決問題的能力.

復(fù)習(xí)內(nèi)容與素材

（一）復(fù)習(xí)內(nèi)容

本次復(fù)習(xí)課的內(nèi)容包括“全等三角形”“軸對(duì)稱圖形”“勾股定理” 三個(gè)章節(jié).其中的知識(shí)要點(diǎn)有：全等三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定方法、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、尺規(guī)作圖、等腰三角形的性質(zhì)與判、等邊三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及其逆定理、勾股定的應(yīng)用.

（二）復(fù)習(xí)素材

如圖1所示，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E=∠F=90°，BE=CF，BE與AC相交于點(diǎn)M，與CF相交于點(diǎn)D，AB與CF相交于點(diǎn)N，且∠EAC=∠FAB.圖中有幾對(duì)全等的直角三角形？為什么？

圖1

預(yù)設(shè)答案因?yàn)椤螮AC=∠FAB，所以∠EAB=∠FAC，因?yàn)椤螮=∠F=90°，BE=CF，根據(jù)角角邊定理，得△AEB≌△AFC，所以AE=AF.因?yàn)椤螮AC=∠FAB，∠E=∠F=90°.根據(jù)角邊角公理，得△AEM≌△AFN，所以圖中有兩對(duì)全等直角三角形.

問題改編（1）圖中有幾對(duì)全等三角形？為什么？（2）除上述全等三角形的結(jié)論外，還有其他結(jié)論嗎？（3）若連接BC，AD，那么直線AD與直線BC有何位置關(guān)系？（4）當(dāng)∠CAD＝30°時(shí)，△ABC是什么形狀的三角形？為什么？（5）當(dāng)∠CAD＝45°時(shí)，線段AG與BC有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（6）已知AC=13，CF＝12，∠C＝∠NAC，如何求ME的長(zhǎng)呢？

教學(xué)過程

（一）原發(fā)式質(zhì)疑

師：圖1中有幾對(duì)全等三角形呢？為什么？

生：圖1中有4對(duì)全等三角形，分別是△AEB≌△AFC（已證），△AEM≌△AFN（已 證），△ABM ≌△ACN，△BDN≌△CDM.因?yàn)椤鰽EB≌△AFC（已證），△AEM≌△AFN（已證），所以AC=AB，AM=AN，因?yàn)椤螹AN公用，根據(jù)邊角邊公理，得△ABM≌△ACN，因?yàn)椤鰽EB≌△AFC（已證），△AEM ≌△AFN（已證），所以∠C＝∠B，AC=AB，AM=AN，所以MC=BN，因?yàn)椤螩DM=∠BDN，根據(jù)角角邊定理，得△BDN≌△CDM.

設(shè)計(jì)意圖筆者把“圖1中有幾對(duì)全等的直角三角形？為什么？”換成“圖1中有幾對(duì)全等的三角形？為什么？”，由此得到了原發(fā)性問題，課堂上再由原發(fā)性問題出發(fā)，通過筆者的啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生的思考探究與交流，鞏固了全等三角形判定方法的知識(shí).

（二）關(guān)聯(lián)性追問

師：觀察圖1顯示的圖形，你還能得到什么結(jié)論呢？

生：相等的線段包括：AE=AF，AM=AN，AC=AB，MC=BN，BE=FC，EM=FN，DM=DN，BD=CD，BM＝CN，DE=DF；相等的角包括：∠EAM=∠FAN，∠EAN=∠FAM，∠E=∠F，∠EMA=∠FNA ＝∠CMD=∠BND，∠CME=∠BNF=∠DMA=∠DNA，∠CDM=∠BDN，∠CDB=∠MDN，∠C＝∠B.因?yàn)镈E=DF，AE=AF，所以AD是線段EF的垂直平分線，所以AD平分∠EDF，平分∠MAN，平分∠EAF.

筆者重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注為什么AD平分∠EDF，為什么到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上，要限制在角的內(nèi)部？學(xué)生通過小組討論發(fā)現(xiàn)，如圖2所示，在角的外部也存在到角兩邊相等的點(diǎn)，但這個(gè)點(diǎn)不在這個(gè)角的平分線上.由此，筆者幫學(xué)生梳理了角平分線性質(zhì)定理及逆定理，明確了這兩個(gè)定理的內(nèi)涵與外延.

圖2

師：如圖3 所示，連接BC，觀察圖形，直線AD與線段BC有何位置關(guān)系？試證明你的猜想，并說明證明依據(jù).

圖3

生：直線AD垂直平分線段BC，因?yàn)锳C=AB，所以△ABC是等腰三角形，因?yàn)锳D平分∠CAB，根據(jù)等腰三角形三線合一，得AD垂直平分線段BC.

生：直線AD垂直平分線段BC，也可以這樣證明，因?yàn)镃D=BD，AC=AB，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理，得點(diǎn)A，D在線段BC的垂直平分線上，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，得直線AD是線段BC的垂直平分線.

兩名學(xué)生從兩個(gè)不同的角度證明了同一個(gè)結(jié)論，筆者借此復(fù)習(xí)了等腰三角形三線合一的性質(zhì)、等邊對(duì)等角的性質(zhì)、線段垂直平分線的性定理及逆定理.

設(shè)計(jì)意圖本環(huán)節(jié)通過解決兩個(gè)關(guān)聯(lián)性問題，發(fā)展了學(xué)生的觀察聯(lián)想能力、合情推理能力.在學(xué)生說明證明依據(jù)的過程中，復(fù)習(xí)了基本定理，通過一道試題兩種證明方法，開闊了學(xué)生的思路.在定理的辨析過程中，學(xué)生明晰了定理的外延與內(nèi)涵，經(jīng)歷了問題的分析與解決的過程，感受到解決問題的基本路徑是歸本溯源.

（三）拓展式延伸

師：（1）當(dāng)∠CAD＝30°時(shí)，△ABC是什么形狀的三角形？為什么？（2）當(dāng)∠CAD＝45°時(shí)，線段AG與BC有何數(shù)量關(guān)系？為什么？

生：……

設(shè)計(jì)意圖本環(huán)節(jié)的兩個(gè)問題通過強(qiáng)化條件“∠CAD＝30°”，得到了△ABC是等邊三角形，復(fù)習(xí)回顧等邊三角形的性質(zhì)與判定；通過強(qiáng)化條件 “∠CAD＝45°”，得到了等腰直角三角形，復(fù)習(xí)回顧直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想.

（四）深耕式拓展

師：如圖1所示，已知AC=13，CF＝12，∠C＝∠NAC，如何求ME的長(zhǎng)呢？

生：在Rt△ACF中，因?yàn)锳C=13，CF＝12，由勾股定理，得AF＝=5，因?yàn)椤螩＝∠NAC，由等角對(duì)等邊，得CN=AN，設(shè)NF＝x，則CN=AN=12－x，在Rt△ANF中，由勾股定理，得AN2=NF2+AF2，即（12-x）2＝x2+25，解得：x＝因?yàn)椤鰽EM≌△AFN，所以ME=NF＝

設(shè)計(jì)意圖本環(huán)節(jié)一方面復(fù)習(xí)了勾股定理，另一方面重點(diǎn)關(guān)注解題策略與數(shù)學(xué)思想.在解題思路方面，求線段的長(zhǎng)，常用方法就是利用勾股定理.在數(shù)學(xué)思想方面，滲透了方程思想與轉(zhuǎn)化的思想.

（五）開放式拓展

師：欲有結(jié)論AD平分∠CAB，原題中的∠E=∠F＝90°還可以換成其他條件嗎？

學(xué)生在充分考慮與小組討論的基礎(chǔ)上，提出以下結(jié)論，如：∠E=∠F，或∠C=∠B，或者AC=AB，或者M(jìn)E=NF等.

（六）結(jié)構(gòu)式歸納

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們復(fù)習(xí)了哪些知識(shí)？結(jié)合你的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，請(qǐng)分享其中的思想方法.

學(xué)生歸納后，教師板書，這一環(huán)節(jié)進(jìn)一步幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，提煉解題策略.

階段性幾何復(fù)習(xí)的思考

（一）如何設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)的問題

設(shè)計(jì)的原發(fā)性問題要具有基礎(chǔ)性、典型性、生成性［1］.原發(fā)性問題要源于教材，難度小，能在5分鐘之內(nèi)完成.設(shè)計(jì)的問題要能覆蓋復(fù)習(xí)章節(jié)的相關(guān)知識(shí)，把學(xué)生的疑點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)都暴露出來.所謂生成性是指以原發(fā)性問題為基礎(chǔ)，拓展延伸出新的問題.新問題可以是質(zhì)疑原問題、追問原問題，也可以是變式、延伸與拓展類問題.本節(jié)課以一道典型題為題根，復(fù)習(xí)了全等三角形的判定方法，梳理了角平分線性質(zhì)定理、線段垂直平分線性質(zhì)定理、特殊三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，一連串的問題，關(guān)聯(lián)了教材內(nèi)容，聯(lián)系了思想方法，把原發(fā)性問題添加條件生成新問題，體現(xiàn)了問題設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)性、典型性與生成性.

（二）如何選擇復(fù)習(xí)路徑

幾何的階段性復(fù)習(xí)可分為六個(gè)環(huán)節(jié)，分別是原發(fā)式質(zhì)疑、關(guān)聯(lián)性追問、拓展式延伸、深耕式拓展、開放式拓展、結(jié)構(gòu)式歸納［2］.環(huán)節(jié)一是復(fù)習(xí)的源頭，通過原發(fā)式問題的解決，學(xué)生弄清了問題的解決方法、解決問題的依據(jù)以及用到的知識(shí).環(huán)節(jié)二側(cè)重于知識(shí)的重構(gòu)，進(jìn)一步明確知識(shí)間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生提出自己的疑問，解決關(guān)聯(lián)性問題.環(huán)節(jié)三與環(huán)節(jié)四通過強(qiáng)化題根或弱化題根，解決深層性問題，讓學(xué)生在一題多解與一題多變中體驗(yàn)證法的多樣性.環(huán)節(jié)五以強(qiáng)化學(xué)習(xí)為重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，提升學(xué)生的思維品質(zhì).環(huán)節(jié)六是復(fù)習(xí)課的點(diǎn)睛之筆，學(xué)生回顧本節(jié)的知識(shí)、方法與策略，將這三個(gè)方面的收獲結(jié)構(gòu)化，從而培養(yǎng)自身的歸納概括能力.

（三）如何讓復(fù)習(xí)課堂有生成

要想讓復(fù)習(xí)課堂有生成需要從四個(gè)變化著手：一是問題的設(shè)置從追問到質(zhì)疑，從教師提出問題到學(xué)生質(zhì)疑，引發(fā)學(xué)生討論，解決學(xué)生的疑惑；二是思維從封閉到開放，所謂開放包含三個(gè)方面：條件開放、結(jié)論開放和方法開放；三是方式從單向到雙向；四是學(xué)習(xí)路徑從固化到靈活.