例析數(shù)形結(jié)合思想指導下的數(shù)學教學實踐

李 敏

江蘇省泰州市口岸實驗小學 225321

“形使數(shù)更直觀，數(shù)使形更入微”，這是數(shù)學家華羅庚對數(shù)形結(jié)合進行的精辟詮釋。數(shù)形結(jié)合作為一種應(yīng)用廣泛的重要思想方法，利于學生求知欲望的激發(fā)，利于學生思維空間的拓展，利于創(chuàng)新意識的孕育。在我國的數(shù)學教學中，歷來就有重視數(shù)形結(jié)合的傳統(tǒng)，尤其是對于小學數(shù)學教學而言，在教學的過程中重視數(shù)形結(jié)合，不僅能夠讓數(shù)學學習的過程更好地契合小學生的認知特點（小學生的思維方式以形象思維為主，足夠的圖形才能促進學生的認知），同時也能夠讓學生的認知得到發(fā)展——數(shù)形結(jié)合的過程，一定程度上就是將學生的思維從形象引向抽象的過程。基于此，將數(shù)形結(jié)合思想融入數(shù)學課堂教學之中，可培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，打造適應(yīng)現(xiàn)代化建設(shè)的新型人才。在之前的優(yōu)課評比中，筆者有幸觀摩了一節(jié)關(guān)于“數(shù)與形”的公開課，執(zhí)教者將數(shù)形結(jié)合作為一個專題落實在具體的教學實踐中，獲得了較好的教學效果，現(xiàn)將自身的分析與思考做一梳理，以此就教于同行。

一、學具的合理配備讓數(shù)與形完美融合

數(shù)形結(jié)合因其獨具的直觀、形象和簡潔等特征，易被學生理解與接收。小學生數(shù)形結(jié)合思想的自然形成首先是從學具的運用開始的，它可以為抽象的數(shù)學知識提供“形”的支撐，因此，學具的合理配備非常關(guān)鍵。當然，要想讓學生通過“形”的輔助去體驗數(shù)學探究方法，絕不能以教師的“操作”去啟發(fā)認同，而是應(yīng)放手讓學生進行再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，從而有效突破教學重難點，深化理解知識，同時讓學生探究意識和創(chuàng)新意識的形成自然而流暢。

片段1探索“奇數(shù)列求和”

背景分析：課本例題的背景是奇數(shù)列求和，也就是1+3+5+7+…+（2n-1）=n2。在傳統(tǒng)教學中，教師以圖1 的形式呈現(xiàn)其直觀模型。這里的操作都是由教師一手包辦的，而沒有放權(quán)給學生創(chuàng)造，主要是因為教師對學生能否想到“下一個奇數(shù)的形狀，進而得出‘口’形”不夠自信。當然，探究中教師不約而同地選擇利用小圓片來表示數(shù)也并非“無跡可尋”，可以追溯的是歷史問題，源于古希臘人利用“小石子”的操作完成對數(shù)的研究，有了“小石子”的代替品“小圓片”。

圖1

優(yōu)化設(shè)計：公開課上，在這個環(huán)節(jié)中，執(zhí)教者棄用慣用學具“小圓片”，而采用“小正方形”的紙片讓學生去擺“1+3”，同時，該問題的探究全程只有學生的自主操作，而沒有教師的任何示范，卻也得到了圖2 所示的兩種擺法。難道僅僅是因為公開課中學生思維獨創(chuàng)嗎？

圖2

事實上，該環(huán)節(jié)的設(shè)計產(chǎn)生效果的原因主要源于教師的“小步子”策略，當教師擺出1 時，學生接下去擺“1+3”，有學生想到正方形也不足為奇，如此一來，后添的3 個正方形自然而然地形成了“口”形。事實上，學生可以很容易地想到擺正方形，很大程度上是由于“小正方形”紙片的參與，為有效思維的落地提供了很好的幫助。由此可見，預設(shè)中過于擔心學生無法形成“口”形的拼法是毫無依據(jù)的，只要學具的配備和教學策略的設(shè)計合理而適切，就可讓數(shù)與形完美融合，讓學生進行更本質(zhì)的思考，從而有效突破學生自主構(gòu)造奇數(shù)列求和的難點。

二、圖形的直觀性可以助力規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和解釋

“形”的直觀利于“數(shù)”的規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，這一點是毋庸置疑的，但如何合理加以應(yīng)用且取得有效的結(jié)果卻是值得教師深思熟慮的。同時，在具體的教學中，一些教師認為規(guī)律的解釋需要思維與算理的參與，這里“形”的直觀無法提供幫助。果真如此嗎？事實上，通過具體的實踐，我們可以發(fā)現(xiàn)，圖形的直觀性不僅可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還可以解釋規(guī)律，只要運用得當，可以幫助學生快速而準確地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決數(shù)學問題。

片段2以配合例1 的“做一做”第2 題為例（如圖3）

圖3

背景分析：本題中，如果只是觀察數(shù)列，學生可以很快發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，這里無須直觀的參與；倘若只是觀察圖形，其中的白色小正方形的規(guī)律一目了然，而藍色小正方形的規(guī)律卻有些難度。因此，在解決本題時，大部分學生是根據(jù)數(shù)列遞推而得的，還有一小部分學生也是依據(jù)數(shù)列列出算式8+（6-1）×2=18，8+（10-1）×2=26。可見，數(shù)列的規(guī)律從數(shù)列的排列角度著手研究遠比觀察圖形更快捷。既然如此，此處的數(shù)形結(jié)合又有何意義？不過，當需要闡述其中的道理時，算式和數(shù)似乎無法實現(xiàn)了。那么，此處的教學該如何設(shè)計呢？

優(yōu)化設(shè)計：執(zhí)教者在本節(jié)課的設(shè)計中沒有出示本例，而是深鉆教材，設(shè)計了一道低起點、高立意的數(shù)學文化色彩濃郁的實際問題“長桌宴”（如圖4）。在解決問題的策略上，兩道題有著異曲同工之妙，但因為有了生活情境的支撐，其中的道理似乎更加容易凸顯。課堂中，教師提出問題：“為什么每增加1 張桌子，椅子就增加了2 把？”學生通過看圖，很快能給出答案：“左右兩邊椅子數(shù)量不變，每增加一張桌子，就需要上下兩張椅子將其包圍住。”進一步地，很快得出數(shù)量關(guān)系“椅子數(shù)＝桌子數(shù)×2＋2，桌子數(shù)＝（椅子數(shù)－2）÷2”。

圖4

以上不管是問題的回答還是數(shù)量關(guān)系的生成都是通過看圖、識圖而得的。從教學效果來看，正是由于圖形的直觀性，達到了解釋規(guī)律和說明算法的雙重功效，很好地詮釋了幾何直觀，這樣的數(shù)形結(jié)合的教學設(shè)計果然是具有深意的，對學生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)意義重大。

三、在拓展延伸中盡顯數(shù)形結(jié)合之魅力

圖形的直觀可以讓學具的使用更加數(shù)形結(jié)合，那它的魅力的展現(xiàn)僅限于此嗎？數(shù)形結(jié)合對于數(shù)學解題方面而言價值非常突出，圖形解法不僅可以讓學生更加清楚地看到題目中的各個要素，較好地把握要素間的聯(lián)系，更重要的是可以讓學生不受邏輯的束縛完成解題，這一點對邏輯思維較為欠缺的小學生是十分有利的。因此，教師在拓展延伸中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，有利于學生形象思維的激發(fā)，進而使學生從數(shù)與形兩個方面去思考與解決問題，拓展解題思路，提升解題效率，盡顯數(shù)形結(jié)合之魅力。

片段3以拓展延伸環(huán)節(jié)的練習設(shè)計為例

練習（1）：請研究從2 開始的連續(xù)偶數(shù)的和。

2=（ ）

2+4=（ ）

2+4+6=（ ）

2.下面每個圖中有多少個白色小正方形和多少個藍色小正方形？

2+4+6+8=（ ）

……

練習（2）：用小正方形擺一擺，有何發(fā)現(xiàn)？

練習（3）：觀察圖形，你覺得從2 開始的連續(xù)偶數(shù)之和與從1 開始的連續(xù)奇數(shù)之和有何關(guān)聯(lián)？請試著說一說。

練習（4）：按照圖5 所示的將完全一樣的梯形桌拼擺成長桌。

圖5

①由50 張?zhí)菪巫榔磾[而成的長桌可以安排多少人就座？

②現(xiàn)在要就座100 人，需要多少張這樣的梯形桌？

通過練習驅(qū)動，讓學生獲得對新知的真正理解，能運用好新知去解決具體的問題；學生主動參與到拓展延伸環(huán)節(jié)的練習解決中去，探究問題的欲望強烈，自主自發(fā)地溝通好數(shù)與形來解決問題，充分體驗到發(fā)現(xiàn)奧秘和成功解題的喜悅；在解題中，學生可以充分體驗到數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用價值，感嘆數(shù)形結(jié)合的韻味，體驗數(shù)學的簡約美，理性精神與創(chuàng)新意識均得到了很好的發(fā)展［1］。這個環(huán)節(jié)中學生的學習狀態(tài)良好，能充分地參與和創(chuàng)新，較好地體現(xiàn)了“優(yōu)效教學”的價值追求。

綜上，由于數(shù)形結(jié)合思想與小學生的認知規(guī)律相符，是提升數(shù)學學習興趣的良好方法，指向數(shù)形結(jié)合的小學數(shù)學教學中具備著許多滲透點［2］。因此，教師應(yīng)精心研讀教材和新課標的要求，合理而有效地運用好“數(shù)形結(jié)合”，指導學生學好數(shù)學。在運用數(shù)形結(jié)合思想的時候，教師要注意協(xié)調(diào)好外在形式與內(nèi)在本質(zhì)之間的關(guān)系，從外在形式的角度來看，數(shù)形結(jié)合強調(diào)給學生提供豐富的圖形，以供學生思維架空，強調(diào)用精準的數(shù)學知識去引導學生思考，并描述自己所研究的形的結(jié)果；從內(nèi)在本質(zhì)的角度來看，數(shù)所描述的是形中蘊含的規(guī)律，這應(yīng)當成為數(shù)形結(jié)合的重點。基于這樣的思路，要將數(shù)形結(jié)合落實在具體的教學中，教師可以從學生的具體實際和教學需求出發(fā)，進行適切的引申和拓展，給足學生時間與空間，引導學生深度思考，鼓勵學生溝通好數(shù)與形，以問題的決策者的身份去發(fā)現(xiàn)和解決問題，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)。