通過“做數學”進行單元教學的嘗試
——以滬教版“圓和扇形”教學為例

王宗信

“做數學”是一種動手動腦相結合的數學活動，是教師根據學生的最近發展區，引導學生在給定的問題情境中，借助一定工具，以“做”為支架，經歷操作、觀察、實驗、歸納、類比、交流，調動多種感官參與學習過程，學思結合，手腦并用，獲得數學概念，發現數學規律和應用數學知識的一種學習方式。通過“做數學”進行單元教學，既可以培養學生的關鍵能力，又可以讓學生用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界，發展其數學學科核心素養，達到學科育人的目的。

筆者于2021 年9 月從江蘇調到上海從事初中數學教學與研究工作。經過一段時間的工作，筆者發現上海初中預備年級上冊（六年級上冊，上海為五四學制）由4 章組成：第一章“數的整除”、第二章“分數”、第三章“比和比例”、第四章“圓和扇形”。這四章密切關聯，可以進行結構化教學。其中，“圓和扇形”探究圓的周長和弧長、圓的面積和扇形的面積，這些概念都是整體和部分的關系，整個教材的幾何部分也與蘇科版教材有相似之處，都注重“做中學”。

一、單元教學目標及課時安排

在領悟了教材的編寫意圖后，筆者確定了以下單元教學目標：（1）通過點的運動認識圓的特征，理解圓、圓弧、扇形等概念；（2）通過操作實驗，對圓的周長和面積、弧長與扇形等面積公式進行驗證；（3）通過實驗掌握圓的周長和面積、弧長與扇形的面積等公式，并進行簡單度量問題的計算；（4）通過近似與精確的數學思想，經歷數學實驗的研究方法；（5）通過操作實驗，感悟教材知識滲透的“化曲為直”和“無限逼近”的數學思想。

基于對目標和教學內容的理解和認識，筆者對本章單元課時進行統籌考慮，課時安排為圓的周長1 課時、弧長1 課時、圓的面積2 課時、扇形的面積2 課時、思維導圖1 課時、自習1 課時。同時，筆者設計了4 次數學實驗，幫助學生將核心知識結構化。下面是本次單元教學實施的嘗試與思考。

二、單元教學流程

第1 課時，學生和教師一起用圓規畫圓，得出圓的定義和弧、圓心角、扇形等基本概念。接著，筆者安排了第一個“做數學”的學習內容。

1.圓的周長實驗

（1）“化曲為直”實物測量實驗——測量圓的周長

實驗過程：準備5角硬幣、1元硬幣、瓶蓋或其他圓形物體、細繩、直尺或卷尺，安排學生分組報出測量結果并填表計算。測量5角、1元和圓形瓶蓋的周長C和直徑d，并求出C與d的比值（得數保留兩位小數），把測得的數據填在表中。

物品5角硬幣1圓硬幣瓶蓋（或其他圓形物體）直徑d 周長C C與d的比值

圓的周長是曲線，學生沒學過測量曲線的長度的方法。由于學生在科學課上做過測量硬幣周長的實驗，筆者便借助此方法，引導學生用細線纏在硬幣的圓周，做好標記，然后展平為直線（線段），測量這條線段的長度，化曲為直測量出圓的周長，并計算圓的周長與直徑的比值。由此把比式寫成等式，得到圓的周長公式。

（2）利用計算機軟件推導圓的周長公式實驗

由于實物測量有誤差，為了更好地檢驗結論的正確性，可以用幾何畫板軟件進行繪制、測量、計算。

實驗過程：請同學們用幾何畫板軟件畫一條線段，以該條線段為直徑畫圓，利用幾何畫板軟件的度量功能度量圓的直徑和周長，計算出圓的周長C和直徑d的比值。改變直徑的長度，觀察圓的周長與直徑的比值，把比式寫成等式。（見圖1）

（圖1）

這兩個實驗從真實情境引出測量和計算圓的周長的方法，引導學生探索科學實驗探究的方法，培養其科學精神，體會近似與精確的數學思想；將實物測量與計算機軟件運用相結合，培養學生的求真意識；測量硬幣等圓形物體的周長，讓學生感受“化曲為直”的思想方法。嘗試用不同的方法解決問題，既提高了學生解決問題的能力，也可以讓學生感受到學科之間是相通的，在潛移默化中實現學科融合。這樣的教學使學生經歷知識的生成過程，也為后續弧長公式的推出做了很好的鋪墊。

2.圓的面積實驗

考慮單元教學的需要，筆者將圓的面積前置至第2 課時。這樣安排教學課時是因為弧和圓心角可以組成扇形，由周長和圓的面積分別推出弧長公式和扇形面積是從整體到部分的運用，可以更好地將本章知識系統化、結構化。

（1）等分圓實驗

實驗地點：計算機教室

實驗準備：在教學的前一天布置家庭作業，安排學生自行在紙上畫一個半徑為3 厘米的圓形，第一組學生將其4 等分并裁下，標上相應的圓心角度數；第二組學生將其8 等分并裁下，標上相應的圓心角度數；第三組學生將其12 等分并裁下，標上相應的圓心角度數；第4 組學生將其16 等分并裁下，標上相應的圓心角度數。第二天課上，各組將裁下的扇形帶到數學課堂進行拼圖實驗。

拼圖實驗：各組按照圖2 所示剪圖、拼圖，觀察所拼成圖形的整體形狀。

（圖2）

想象：如果把一個圓形紙片60 等分然后按照上面的拼圖方式拼出來的圖形整體形狀會是怎么樣的？180等分、360等分、3600等分、無限等分呢？

思考：把圓等分的份數越多，拼成的圖形是不是就越接近于一個長方形？這個長方形的長和寬分別是什么？能否由此推出圓的面積公式？

實驗結論：半徑為r、面積為S的圓可以拼成一個長為半個圓的周長、寬為半徑的長方形。（見圖3）

（圖3）

（2）圓的面積驗證實驗

實驗過程：打開幾何畫板軟件，畫一條線段，以這條線段為半徑畫圓，利用幾何畫板軟件的度量功能度量半徑的長度和圓的面積，計算圓的面積S和半徑的平方r2的比值。改變半徑的長度，觀察圓的面積S和半徑的平方r2比值的變化。類比圓的周長公式的推導過程，寫出圓的面積S和半徑的平方r2的關系式。（見圖4）

（圖4）

等分圓實驗再次鞏固了化曲為直的思想方法，也使學生體驗了無限逼近以及把未知問題轉化為已知問題的思想方法。再次使用幾何畫板軟件進行畫圖、度量和計算，定量地驗證圓的面積公式的正確性，也讓學生學會用計算機軟件進行模擬實驗，有利于學生發展數學學科核心素養、培養關鍵能力。

3.弧長、扇形面積實驗

基于扇形與圓、弧長與圓的周長都是部分與整體的關系，筆者設計了以下教學實驗。

弧長公式實驗：打開幾何畫板軟件，畫一個圓O，設弧AB，計算弧AB的長度與圓的周長的比值、圓心角∠AOB與圓周角的比值。改變圓心角的度數，觀察比值，求得弧長公式。（見圖5）

（圖5）

扇形面積實驗：打開幾何畫板軟件，畫一個圓O，設扇形AOB，計算扇形AOB的面積與圓的面積的比值、圓心角∠AOB與圓周角的比值。改變圓心角的度數，觀察比值，得出扇形面積公式。（見圖6）

（圖6）

總結推導：推導扇形面積與弧長公式之間的關系，思考問題“把一個圓盡可能多等分，所得的每一個扇形是否為腰為半徑的等腰三角形”。再次用化曲為直的思想，得到S扇形＝lr；進而把圓看作扇形，推導出S圓形＝×2πr×r＝πr2。

本教學環節中，筆者設計了探究弧長隨著圓心角度數的變化而變化的實驗，以動態幾何的觀點，由特殊到一般，引導學生根據部分與整體的關系歸納得出圓心角為n°的弧長公式和扇形面積公式，形成知識團。

4.單元思維導圖實驗

實驗過程：安排學生分組討論半徑、圓心角、周長、弧長、圓的面積、扇形的面積之間的關系，將本單元知識系統化、結構化。（見圖7）

（圖7）

三、教學思考

首先，單元向上承接課程目標，向下統領單元內課時目標、內容、活動、作業、評價、資源等。教師在教學時，要注意傳遞性、結構性的問題，要對教材進行二次開發與重組。所以，單元教學要站在教材的高度去思考和設計，注重知識的結構化。教師、備課組要做好對教材的二次開發，調整教學內容，把碎片化的知識點結構化、體系化、系統化，形成知識團，使教學內容符合學生的最近發展區、符合學生的認知特點與能力。

其次，當知識與經驗、實踐、應用相結合的時候才會被激活。數學實驗通過動手動腦“做數學”，變“聽數學”為“做數學”，變“看演示”為“動手操作”，變“機械接受”為“主動探究”，學生在數學實驗中作為參與者建構知識，有利于培養其創新精神和創新能力。例如，筆者在教授本單元時，把未知問題圓的面積轉化成矩形的面積，把圓的周長轉化為線段長，實驗中的無限逼近、操作過程中的力求精確有助于學生形成求真的價值觀。

“做中學”通過創設恰當的數學實驗情境，激發學生參與實驗的興趣，增強學生的動手能力，幫助學生積累基本的數學活動經驗。這樣的教學可以擴展學生獲取知識的空間，改變學生數學學習的方式，促進學生數學思維的發展，提高學生的數學素養，加強學生的主體參與意識，提高學生的創新意識，從而實現初中數學教與學方式的變革，促進數學教學模式的創新。