鋼筋混凝土矩形梁正截面承載能力計(jì)算研究

鄔文祥 陳順超 陳 杰 熊竑瑞 李正垣 聶良鵬

（1.西南林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，云南 昆明 650224；2.云南通衢工程檢測(cè)有限公司，云南 昆明 650200）

0 引言

鋼筋混凝土矩形梁是結(jié)構(gòu)中最為典型的受彎構(gòu)件，在橋梁工程中應(yīng)用非常廣泛［1］。在設(shè)計(jì)時(shí)，由于混凝土的變形呈非線性［2］，為了方便計(jì)算，各國(guó)相關(guān)規(guī)范都對(duì)混凝土受壓區(qū)應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系曲線進(jìn)行了相應(yīng)的簡(jiǎn)化。我國(guó)的《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50010—2010）（2015版）通過把受壓區(qū)混凝土應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系曲線簡(jiǎn)化成矩形，從而推導(dǎo)出計(jì)算截面的抗彎承載能力Mu［3］，這種方法具有計(jì)算簡(jiǎn)便、快捷等優(yōu)點(diǎn)［4］。但在計(jì)算時(shí)將混凝土壓應(yīng)力分布曲線等效成矩形，相關(guān)材料參數(shù)取設(shè)計(jì)值進(jìn)行計(jì)算，往往忽視了材料實(shí)測(cè)強(qiáng)度、混凝土壓區(qū)應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系為曲線時(shí)對(duì)承載能力的影響。

本研究利用混凝土壓區(qū)應(yīng)力—應(yīng)變曲線、實(shí)測(cè)材料參數(shù)，推導(dǎo)出混凝土受壓區(qū)合力C 以及抗彎承載能力Ms的公式，與《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50010—2010）（2015 版）抗彎承載能力Mu、試驗(yàn)結(jié)果加之比較，從而分析實(shí)測(cè)材料參數(shù)、混凝土壓區(qū)應(yīng)力—應(yīng)變分布為曲線時(shí)對(duì)混凝土矩形梁正截面承載能力的影響。

1 極限承載能力計(jì)算

1.1 假定

基于文獻(xiàn)［5］得出如下假定：①在荷載作用下，截面變形后保持為平面；②不考慮混凝土的抗拉強(qiáng)度；③鋼筋、混凝土的應(yīng)力—應(yīng)變圖已知。

1.2 鋼筋混凝土梁極限狀態(tài)的一般規(guī)律

一是受拉區(qū)混凝土開裂，繼而退出工作，拉力由鋼筋承擔(dān)；二是受拉鋼筋先達(dá)到屈服強(qiáng)度，且應(yīng)力不變，應(yīng)變明顯增大；三是梁的受壓區(qū)邊緣混凝土在鋼筋達(dá)到屈服強(qiáng)度后，逐漸達(dá)到極限壓應(yīng)變，隨著荷載增大梁隨之破壞［6］。

1.3 按規(guī)范計(jì)算——規(guī)范法

《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50010—2010）（2015 版）和《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理》［7］對(duì)鋼筋混凝土矩形梁正截面承載能力的計(jì)算做出了詳細(xì)規(guī)定（見圖1）。其基本思想是：先根據(jù)實(shí)際情況預(yù)先求出設(shè)計(jì)截面抗彎承載能力Md；再利用相應(yīng)規(guī)范，選用材料設(shè)計(jì)強(qiáng)度計(jì)算出截面極限抗彎承載力Mu。若鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值fsd、混凝土軸心抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值fcd、截面尺寸b、縱向受拉區(qū)全部鋼筋截面面積As已知，則可根據(jù)式（1）求出受壓區(qū)名義高度x。

圖1 按規(guī)范計(jì)算圖示

從而根據(jù)式（2）求出計(jì)算截面的抗彎極限承載力Mu。

式中：β 為混凝土名義壓區(qū)高度與實(shí)際壓區(qū)高度換算系數(shù)；γ 為等效矩形混凝土抗壓強(qiáng)度換算系數(shù)；γ0為結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)；?0為截面有效高度。

1.4 基于曲線積分法計(jì)算——積分法

若按規(guī)范所述方法進(jìn)行計(jì)算，由于材料設(shè)計(jì)值與實(shí)測(cè)值相差較大，現(xiàn)嘗試?yán)貌牧蠈?shí)測(cè)強(qiáng)度直接對(duì)應(yīng)力—應(yīng)變曲線進(jìn)行積分，進(jìn)而得到基于實(shí)測(cè)材料參數(shù)的鋼筋混凝土矩形梁極限承載力Ms。具體計(jì)算過程如下，受壓區(qū)截面應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系見圖2。

圖2 積分法計(jì)算圖示

①基于平截面假定，假定受壓區(qū)分布服從相似規(guī)律可以得到，離中和軸的距離x 對(duì)應(yīng)的混凝土應(yīng)變關(guān)系表達(dá)如式（3）。

式中：xc為混凝土實(shí)際受壓區(qū)高度；εu為混凝土的極限壓應(yīng)變；ε0為混凝土峰值應(yīng)力時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)變。

②眾多學(xué)者對(duì)混凝土單向受壓變形特征做了大量試驗(yàn)，其中CEB/FIB 模型［8］，考慮到混凝土初始彈性模量、峰值應(yīng)力處彈性模量對(duì)曲線的影響，因而在上升段能較好地滿足混凝土經(jīng)典曲線［9］，清華大學(xué)用αd表示不同材料和強(qiáng)度的混凝土對(duì)下降段曲線的影響，能相對(duì)較好地反映混凝土受壓區(qū)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系［10］。所以本研究中混凝土受壓區(qū)應(yīng)力—應(yīng)變曲線上升段取CEB/FIB 模型，下降段取清華大學(xué)模型［11］，進(jìn)而推導(dǎo)出截面抗彎承載能力Ms的公式。

混凝土受壓區(qū)應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系模型如式（4）。

式中：fc為混凝土峰值應(yīng)力；ES為混凝土割線模量；E0為混凝土彈性模量；αd為不同材料和強(qiáng)度的混凝土對(duì)下降段曲線的影響系數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)［11］得αd為0.4。

其中混凝土的割線模量與原點(diǎn)彈性模量的關(guān)系為式（5）。

式中：λ 為彈性特征系數(shù)即 λ = εce/εK，當(dāng)σ(?) ≤0.5f c 時(shí)，λ ≈ 0.9，εce 為彈性應(yīng)變，εK 為割線模量時(shí)混凝土應(yīng)變，本研究λ取0.9。

根據(jù)中和軸距離x 與其對(duì)應(yīng)的混凝土應(yīng)變關(guān)系式ε(x )和式（5）可以得到任意受壓區(qū)高度x 對(duì)應(yīng)的壓應(yīng)力σ（見圖3）如式（6）。

圖3 受壓區(qū)高度與應(yīng)力關(guān)系

利用式（6）對(duì)σ(x ) 進(jìn)行積分求得合力C如式（7）。

根據(jù)我國(guó)規(guī)范 εcu取 0.003 3，ε0取 0.002，將式（6）代入式（7），令t = x/x0，N = E0/Es，得式（8）。

式中：b為截面寬度。對(duì)式（8）積分得式（9）。

③假定梁處于適筋破壞，受拉區(qū)鋼筋則剛好可以達(dá)到屈服強(qiáng)度，即鋼筋的拉應(yīng)力與混凝土壓應(yīng)力合力C 滿足如下關(guān)系式，即可求得混凝土實(shí)際受壓區(qū)高度xc，如式（10）。

式中：As為受拉鋼筋截面面積之和；fs為鋼筋實(shí)測(cè)屈服強(qiáng)度。

④利用上式可求得合力C 的作用點(diǎn)到截面受壓邊緣的距離 xs［12］，如式（11）。

化簡(jiǎn)得式（12）。

⑤根據(jù)截面力學(xué)平衡條件建立如式（13）等式，分別求得截面抗彎承載能力Ms。

綜上所述，可以得到混凝土實(shí)際受壓區(qū)高度對(duì)應(yīng)的抗彎承載能力。

1.5 取實(shí)測(cè)值計(jì)算

實(shí)測(cè)立方體抗壓強(qiáng)度f(wàn)c= 40.9 MPa，鋼筋實(shí)測(cè)強(qiáng)度f(wàn)s1= 480 MPa、fs2= 540 MPa，混凝土受壓區(qū)截面寬度b = 120 mm，截面高度? = 160 mm、as=30 mm，鋼筋公稱直徑r1= 8 mm、12 mm。

按規(guī)范所述計(jì)算方法具體的計(jì)算步驟在規(guī)范中已詳細(xì)給出，不再贅述，其計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 按規(guī)范計(jì)算抗彎承載力

將以上取值分別代入式（9）、式（10）、式（12）、式（13），求得受壓區(qū)合力C。假定梁處于適筋范圍，由鋼筋的拉應(yīng)力合力與混凝土壓應(yīng)力合力C 滿足式（10），可分別求得實(shí)際受壓區(qū)高度xc。根據(jù)式（12）求得合力作用點(diǎn)C 到截面受壓區(qū)邊緣的距離為xs。將xs、C、?0分別代入式（13）可以得到截面抗彎承載能力。以上計(jì)算過程的計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 積分法取實(shí)測(cè)值計(jì)算結(jié)果

2 試驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)材料以及試驗(yàn)梁的基本參數(shù)

以計(jì)算取值為例，試驗(yàn)采用強(qiáng)度等級(jí)為32.5 R的普通硅酸鹽水泥，強(qiáng)度為C45 的混凝土。制作4組試件按照標(biāo)準(zhǔn)［13］養(yǎng)護(hù)28 d后，實(shí)測(cè)平均力學(xué)參數(shù)如表3 所示。鋼筋選用牌號(hào)為HRB400，HRB500，實(shí)測(cè)平均抗拉強(qiáng)度如表4 所示。制作4 根尺寸為1 280 mm×160 mm×120 mm、計(jì)算跨徑為1 080 mm的鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁（見圖4）。其他參數(shù)如表5所示。

圖4 混凝土簡(jiǎn)支梁截面圖（單位：mm）

表3 混凝土實(shí)測(cè)力學(xué)性能

表4 鋼筋實(shí)測(cè)力學(xué)性能

表5 梁其他參數(shù)

2.2 加載

如圖5 所示的裝置，采用三等分加載，間距為3 mm×360 mm。在豎向千斤頂之間配置壓力傳感器，根據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》（GB/T 50152—2012）［14］進(jìn)行加載。試驗(yàn)所得梁的極限荷載見表6。

表6 梁試驗(yàn)數(shù)據(jù)表

圖5 裝置加載圖

3 對(duì)比分析

將抗彎承載能力進(jìn)行比較，如表7、圖6 所示，發(fā)現(xiàn)兩種計(jì)算方法計(jì)算出的抗彎承載能力結(jié)果差別較大，配筋率越高誤差越大，兩者相對(duì)誤差保持在24.27%~32.96%，按規(guī)范計(jì)算出的承載力和試驗(yàn)測(cè)得承載力誤差較大，兩者誤差為29.93%~33.00%，說(shuō)明按照規(guī)范計(jì)算出的承載能力結(jié)果偏于保守。用積分法計(jì)算出的抗彎承載力和試驗(yàn)測(cè)得抗彎承載力差別較小，兩者誤差僅為0.06%~7.47%。分析其原因，在兩種方法計(jì)算過程中，規(guī)范計(jì)算取用材料強(qiáng)度設(shè)計(jì)值fsd、fcd，而積分計(jì)算法則是取用通過試驗(yàn)得到實(shí)測(cè)材料強(qiáng)度f(wàn)s1= 540 MPa、fs2= 480 MPa，顯然實(shí)測(cè)值與設(shè)計(jì)值誤差較大。

表7 兩種計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

圖6 兩種計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)對(duì)比

將規(guī)范計(jì)算抗彎承載力中的鋼筋屈服強(qiáng)度、混凝土軸心抗壓強(qiáng)度均取用實(shí)測(cè)值，進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果如表8、圖7所示。

由表8、圖7 可知，在材料強(qiáng)度取實(shí)測(cè)值之后，規(guī)范法和積分法計(jì)算出的結(jié)果誤差較小，誤差僅為0.82%~2.77%，吻合程度較高。此外，積分法與試驗(yàn)測(cè)得承載力誤差較小，保持在0.06%~7.47%，規(guī)范法計(jì)算承載能力與試驗(yàn)測(cè)得承載力，保持在0.42%~6.71%。顯然，不同的混凝土受壓區(qū)應(yīng)力—應(yīng)變曲線，對(duì)混凝土矩形梁截面承載能力大小有影響。

圖7 材料實(shí)測(cè)參數(shù)用規(guī)范法計(jì)算結(jié)果對(duì)照

表8 取材料實(shí)測(cè)值參數(shù)用規(guī)范法計(jì)算結(jié)果對(duì)照

4 結(jié)論

①針對(duì)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》和《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理》中關(guān)于鋼筋混凝土梁正截面承載能力部分，對(duì)設(shè)計(jì)值與材料參數(shù)實(shí)測(cè)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)用設(shè)計(jì)值計(jì)算出的結(jié)果強(qiáng)度儲(chǔ)備高且誤差較大。

②在結(jié)構(gòu)滿足平截面假定的基礎(chǔ)上，介紹了基于曲線積分，給出針對(duì)不同混凝土應(yīng)力—應(yīng)變模型計(jì)算鋼筋混凝土矩形梁抗彎承載能力的公式。

③材料強(qiáng)度選用實(shí)測(cè)參數(shù)時(shí)，將規(guī)范法和積分法計(jì)算的結(jié)果與試驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行了比較分析，發(fā)現(xiàn)2 種計(jì)算方法的相對(duì)誤差較小，誤差最高為2.77%，說(shuō)明積分法能較為準(zhǔn)確地適用正截面承載能力計(jì)算。

④因積分法和規(guī)范法均可用于鋼筋混凝土矩形梁極限承載能力計(jì)算，若在設(shè)計(jì)時(shí)將兩種方法計(jì)算的結(jié)果應(yīng)用在實(shí)際工程中，可為實(shí)際工程設(shè)計(jì)提供一定的參考依據(jù)。