基于伯格斯模型的巖石非線性蠕變損傷模型研究

李忠君 盛冬發(fā) 張容國

（西南林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，云南 昆明 650224）

0 引言

巖石蠕變特征是指巖石在外部因素影響下其應(yīng)變隨時間變化的過程，它是巖石流變力學(xué)的重要組成部分。大量巖石工程表明，蠕變特征是影響巖石工程長期穩(wěn)定性和安全性的主要因素，建立表征巖石蠕變?nèi)^程的蠕變模型一直是研究的熱點和難點［1］。傳統(tǒng)蠕變模型由理論線性元件組合而成，例如伯格斯模型、西原模型等蠕變模型能很好地表征巖石瞬時變形、減速和等速蠕變階段。而巖石蠕變是典型非線性問題，傳統(tǒng)蠕變模型難以描述巖石非線性蠕變特征。因此，為保證巖石工程在服役期間的安全性，巖石非線性蠕變模型研究顯得尤為重要。

巖石在蠕變過程中，其內(nèi)部微孔洞和微裂隙不斷發(fā)展和貫通，巖石有效承載面積逐漸減小，最終使得巖石失穩(wěn)破壞，該現(xiàn)象主要受巖石損傷影響，發(fā)生在巖石加速蠕變變形過程［2］。近年來，一些學(xué)者通過損傷理論和提出新的非線性體表征巖石非線性蠕變特征。如宋勇軍等［3］將分?jǐn)?shù)階微積分軟體元件、冪函數(shù)黏塑性體和彈性元件串聯(lián)，得到能夠描述巖石蠕變?nèi)^程的非線性黏彈塑性流變模型。張亮亮等［4］基于Kachanov 損傷理論建立了損傷變量與時間的函數(shù)關(guān)系，將其引入黏彈塑性體，得到了非線性損傷蠕變模型，采用Levenberg-Marquardt 算法對該模型進行參數(shù)辨識，并基于三維壓縮蠕變試驗數(shù)據(jù)驗證了該模型的合理性和可行性。部分學(xué)者提出的非線性蠕變模型還不能較好地描述巖石非線性蠕變特征，模型參數(shù)較多且不易辨識。鑒于此，本研究在伯格斯模型基礎(chǔ)上串聯(lián)一個黏塑性損傷體，得到了非線性蠕變損傷模型，該模型參數(shù)較少且易辨識，并結(jié)合相關(guān)文獻壓縮蠕變試驗數(shù)據(jù)驗證了模型的合理性和適用性。

1 巖石非線性蠕變損傷模型

1.1 蠕變損傷模型的建立

圖1為伯格斯模型蠕變曲線。由圖1可知，伯格斯模型是由彈性體、黏彈性體和黏性體組成的四元件組合模型。圖1中，σ為應(yīng)力，MPa；E1為彈性體的彈性模量，MPa；η1為黏性體的黏性系數(shù)，MPa ?h；E2、η2分別為黏彈性體的彈性模量和黏性系數(shù)，MPa、MPa·h；ε1、ε3、ε2分別為彈性體、黏彈性體、黏性體的應(yīng)變。

圖1 伯格斯模型蠕變曲線

由圖1 可知，當(dāng)巖石所受應(yīng)力水平小于長期強度時，在加載瞬間將產(chǎn)生彈性變形，用彈性體予以描述。當(dāng)瞬時彈性變形完成后，隨著時間的增加，巖石將發(fā)生蠕變變形。在巖石蠕變變形過程中，蠕變率隨時間增加而逐漸減小，并最后趨于一個定值ε?= σ η1。該蠕變變形過程分為減速和等速蠕變階段，可用黏彈性體和黏性體分別描述減速和等速蠕變階段。而伯格斯模型由線性元件串并聯(lián)組合而成，能較好地描述巖石瞬時彈性應(yīng)變、減速和等速蠕變階段，難以描述巖石加速蠕變特征。

當(dāng)巖石所受應(yīng)力水平大于長期強度時，巖石將很快進入加速蠕變階段，蠕變曲線呈現(xiàn)明顯非線性特征。巖石內(nèi)部新生微缺陷不斷發(fā)展并融合貫通，其力學(xué)性能不斷劣化，該力學(xué)行為稱作巖石損傷演化過程。利用損傷變量與時間呈現(xiàn)負指數(shù)函數(shù)關(guān)系描述巖石在加速蠕變階段的損傷演化過程［5］，則損傷演化方程如式（1）。

式中：D 為損傷變量，Δt 為單位時間，h；λ 為巖石損傷程度影響系數(shù)。當(dāng)t →0 時，D = 0；當(dāng)t → ∞時，D = 1，符合損傷演化規(guī)律。

將損傷變量引入黏性元件并與應(yīng)力觸發(fā)元件并聯(lián)，得到黏塑性損傷體。根據(jù)Lemaitre 應(yīng)變等效原理，則黏塑性損傷體的應(yīng)變?nèi)缡剑?）。

式中：ε4和η3分為黏塑性損傷體的應(yīng)變和黏性系數(shù)，MPa ?h；σs為長期強度，MPa。

巖石蠕變過程存在彈性、黏性、黏彈性和黏塑性等多種變形。因此，將黏塑性損傷體與伯格斯模型串聯(lián)，得到非線性蠕變損傷模型，如圖2 所示。該模型能較好地描述巖石蠕變?nèi)^程，彌補了伯格斯模型難以描述巖石加速蠕變的不足。圖2 中，σ1、σ2、σ3、σ4分別為彈性體、黏性體、黏彈性體、黏塑性損傷體的應(yīng)力，MPa。

圖2 非線性蠕變損傷模型

1.2 蠕變損傷模型的一維和三維蠕變方程

令總應(yīng)力為σ，應(yīng)變?yōu)棣牛鶕?jù)蠕變模型串并聯(lián)性質(zhì)，非線性蠕變損傷模型應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系如式（3）。

該模型各部分本構(gòu)關(guān)系如式（4）。

將式（4）代入式（3），根據(jù)疊加原理可得非線性蠕變損傷模型在一維應(yīng)力狀態(tài)下的本構(gòu)方程和蠕變方程，有以下兩種情況。

①當(dāng)σ < σs時，非線性蠕變損傷模型退化為伯格斯模型，巖石出現(xiàn)瞬時彈性、黏彈性和黏性蠕變，其本構(gòu)方程和蠕變方程分別為式（5）、式（6）。

②當(dāng)σ ≥σs時，巖石出現(xiàn)瞬時彈性、黏彈性、黏性和黏塑性蠕變，非線性蠕變損傷模型的本構(gòu)方程和蠕變方程分別為式（7）、式（8）。

在實際巖石變化過程中，巖石通常處于更復(fù)雜的三維應(yīng)力狀態(tài)，則一維應(yīng)力狀態(tài)下的蠕變方程將不再適用。建立巖石在三維應(yīng)力狀態(tài)下的蠕變方程更加符合實際工程。為建立合理的三維蠕變方程，假定巖石為各項同性材料，且在減速和等速蠕變階段未產(chǎn)生新?lián)p傷，只有加速蠕變階段才有新?lián)p傷出現(xiàn)。

巖石應(yīng)力張量σij和應(yīng)變張量εij分別由球應(yīng)力張量 σmδij、偏應(yīng)力張量 Sij和球應(yīng)變張量 εmδij、偏應(yīng)變張量eij組成，即式（9）。

在三維應(yīng)力作用下，根據(jù)疊加原理，非線性蠕變損傷模型的總應(yīng)變張量εij( )t 如式（10）。

假定巖石在球應(yīng)力張量作用下只有彈性的體積變形，而蠕變特征主要受偏應(yīng)力張量控制。因此，彈性體的三維本構(gòu)關(guān)系如式（11）。

式中：G1和K1分別為彈性體的剪切模量和體積模量，MPa、MPa。

黏性體的三維本構(gòu)關(guān)系如式（12）。

式中：η1為黏性系數(shù)，MPa ?h。

黏彈性體的三維本構(gòu)關(guān)系如式（13）。

式中：G2、η2分別為黏彈性體的剪切模量和黏性系數(shù)，MPa、MPa·h。

根據(jù)Perzyna黏塑性理論［6］，黏塑性損傷體的三維本構(gòu)關(guān)系如式（14）。

函數(shù)，n 為冪指數(shù)，通常取為1；F 為巖石屈服函數(shù)；F0為巖石屈服函數(shù)初始值，為了便于計算通常取1；Q 為塑性勢能函數(shù)；η3為黏塑性損傷體的黏性系數(shù)，MPa·h。

由于巖石蠕變特征主要受偏應(yīng)力張量控制，受球應(yīng)力張量影響較小，故屈服函數(shù)F如式（15）。

式中：J2為偏應(yīng)力張量第二不變量，MPa，即

對常規(guī)三維壓縮蠕變試驗有 σ1> σ2= σ3，其中σ1為軸壓，σ2和σ3為圍壓，則有式（16）。

聯(lián)立式（9）至式（16），結(jié)合疊加原理，三維應(yīng)力狀態(tài)下非線性蠕變損傷模型的蠕變方程如式（17）、式（18）。

2 非線性蠕變損傷模型驗證

為了得到合理的蠕變模型參數(shù)，本研究引入向家壩擠壓帶巖石三軸壓縮蠕變試驗數(shù)據(jù)［7］，采用Levenberg-Marquardt算法并結(jié)合Origin數(shù)值分析軟件，對非線性黏彈塑性損傷模型進行擬合，可反演得到模型參數(shù)。為了便于非線性蠕變損傷模型與三軸壓縮蠕變試驗數(shù)據(jù)的擬合，將式（18）做系數(shù)簡化，簡化結(jié)果如式（19）。

表1 為三軸壓縮蠕變模型參數(shù)。由表1 可知，不同應(yīng)力水平下非線性黏彈塑性損傷模型的擬合相關(guān)系數(shù)R2均大于0.971，驗證了模型的合理性。圖3 為圍壓在2.0 MPa 狀態(tài)下三軸壓縮蠕變試驗結(jié)果與擬合結(jié)果對比。

表1 三軸壓縮蠕變模型參數(shù)

圖3 三軸壓縮蠕變試驗結(jié)果與擬合結(jié)果對比

由圖3 可知，試驗數(shù)據(jù)均勻分布在擬合曲線兩側(cè)，尤其在巖石加速蠕變階段，非線性蠕變損傷模型擬合結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)基本一致，表明該模型彌補了伯格斯模型難以描述加速蠕變階段的不足，證明了本研究建立的非線性蠕變損傷模型用于描述不同應(yīng)力水平下的蠕變特征較為合理。

3 結(jié)論

①通過對伯格斯模型蠕變特征分析，結(jié)果表明伯格斯模型能較好地描述巖石瞬時彈性變形、減速和等速蠕變階段，難以描述加速蠕變階段。根據(jù)損傷演化規(guī)律建立了黏塑性損傷體并給出了損傷演化方程，用以描述由于損傷積累引起的加速蠕變特征。將黏塑性損傷體引入伯格斯模型，得到非線性蠕變損傷模型。

②采用不同應(yīng)力水平下三軸壓縮蠕變試驗數(shù)據(jù)對非線性蠕變損傷模型的合理性和適用性進行驗證。結(jié)果表明，非線性蠕變損傷模型能較好地描述巖石蠕變?nèi)^程，彌補了伯格斯模型難以描述加速蠕變階段的不足。