Morison 方程在進水塔動水壓力計算中的應(yīng)用

黨康寧，劉云賀，陶 磊，張靜宜，張 希

（1.陜西省引漢濟渭工程建設(shè)有限公司，陜西 西安 710011； 2.西安理工大學(xué)，陜西 西安 710048；3.中陜核工業(yè)集團監(jiān)理咨詢有限公司，陜西 西安 710060）

進水塔是水利水電樞紐工程的重要組成部分，隨著工程建設(shè)規(guī)模日益擴大，進水塔作為工程咽喉對樞紐抗震安全的影響更為突出［1］。 地震時動水壓力對進水塔的影響不可忽略［2-4］。 采用塔體與水體動力耦合的數(shù)值方法求解動水壓力無疑是最準(zhǔn)確的，但數(shù)值耦合法通常非常復(fù)雜，計算工作量極大，不便于推廣使用。

解析算法具有便于對問題機理理解和計算相對簡單等特點。 目前解析算法主要分為解析法和半解析方法，其中解析法以基于勢流體的輻射波浪法應(yīng)用較多，而1950年美國加利福尼亞伯克利大學(xué)的Morison 等提出的著名Morison 動水壓力公式［5］被稱為是研究流固耦合問題最具代表性的成果，是一種半解析半理論方法。

深水橋墩與進水塔有著非常類似的狀況：結(jié)構(gòu)大部分浸沒于水中，底部嵌于地基之中，一般為實心或空心圓柱、橢圓柱，也有截面為矩形的橋墩，并且高度都很大，近年來，有眾多研究者采用Morison 解析方法對深水橋墩進行了動水壓力方面的研究［6-9］，取得較多成果。 因此，對于與橋墩形狀和邊界類似的進水塔結(jié)構(gòu)，在一定假設(shè)基礎(chǔ)上可通過解析算法進行定性分析，這在初步設(shè)計階段對結(jié)構(gòu)分析、調(diào)整極為有益。

本文嘗試將Morison 方程用于內(nèi)外均有水的矩形截面進水塔結(jié)構(gòu)動水壓力計算，通過對Morison 方程進行擴展，得到進水塔內(nèi)部和外部的附加質(zhì)量。 對比本文方法、附加質(zhì)量公式和流固耦合求解得到的動水壓力分布情況，并進行了適用性評價。

1 Morison 方程原理

Morison 方程主要用于求解與波長相比尺寸較小的細長柱體的波浪力，是以繞流理論為基礎(chǔ)的半理論半經(jīng)驗公式。 該理論假定柱體的存在對波浪運動無顯著影響，認為波浪對柱體的作用主要是黏滯效應(yīng)和附加質(zhì)量效應(yīng)。

對于直徑為d的細長圓柱，其表達式為［10］

式中：F為波浪力；X為波浪水平運動方向坐標(biāo)；Z為柱體高度方向坐標(biāo)分別為結(jié)構(gòu)運動速度、地面運動速度、結(jié)構(gòu)運動加速度和地面運動加速度；CM、CD分別為等效慣性力系數(shù)、阻尼力系數(shù)；ρ為水體密度；t為時間。

對于矩形柱體地震動水壓力的解答，需要將附加質(zhì)量按截面等效關(guān)系進行修正，修正后的CM公式為［10］

式中：D為垂直于運動方向的柱體寬度；B為平行于運動方向的柱體寬度。

通過計算得到常見矩形墩的附加質(zhì)量修正系數(shù)，見表1。

2 基于Morison 方程的進水塔附加質(zhì)量計算

對于進水塔需要同時考慮塔內(nèi)、塔外水體的動水壓力影響（見圖1），因此需要對Morison 方程進行擴展。

圖1 波浪作用下進水塔受波浪力示意

假設(shè)塔體內(nèi)部水體質(zhì)點i速度為、加速度為，進水塔迎水面寬度為D、高度為H，根據(jù)Morison 方程原理，動水壓力由兩部分組成，即慣性力部分和阻尼力部分。 其中，阻尼力部分FD表達式為

慣性力由流體部分產(chǎn)生的慣性力F11和進水塔引起的慣性力F12兩部分組成，分別為

進水塔內(nèi)部空腔尺寸一般小于10 m，仍可用Morison 方程推導(dǎo)。 在地震作用時，可認為塔內(nèi)水體與外部水體獨立，形成一個封閉水域，隨著進水塔一起運動。 此時，塔內(nèi)水體附加慣性力F11i為

式中：D1、L1為進水塔腔內(nèi)迎水面和順?biāo)鎸挾取?/p>

于是，進水塔的Morison 方程可表示為

其中CD＝2。

進水塔處于庫水中，可認為水體靜止，進水塔對庫水影響可以忽略，塔外和塔內(nèi)水體加速度均為0，式（6）可變?yōu)?/p>

式中：MW1、MW2分別為進水塔外、塔內(nèi)附加質(zhì)量，MW1＝

研究表明，Morison 方程中非線性阻尼項對結(jié)構(gòu)影響很小，為簡化計算，一般可忽略［11］。 于是，式（7）簡化為

無水進水塔結(jié)構(gòu)在地震作用下的微分方程為

式中：M、C、K分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

在進水塔內(nèi)外有水時：

可采用有限元法進行求解，將塔內(nèi)外水的附加質(zhì)量添加進質(zhì)量矩陣，進而得到進水塔的地震響應(yīng)。

3 附加質(zhì)量比較

水工抗震標(biāo)準(zhǔn)［2］中進水塔附加質(zhì)量法處理方式與上述方法大致相同，僅計算附加質(zhì)量的公式有區(qū)別。為分析本文方法求附加質(zhì)量的可行性，以某實際工程進水塔為例，分別采用水工抗震標(biāo)準(zhǔn)進水塔附加質(zhì)量法和本文方法計算進水塔附加質(zhì)量。 進水塔各特征參數(shù)如下：進水塔高度81 m，塔體橫截面內(nèi)部尺寸4.68 m×7.00 m、外部尺寸13.56 m×14.00 m；塔體材料彈性模量28 GPa，塔體密度 2 500 kg／m3。 塔內(nèi)外水深相同，均為75 m，水的密度為1 000 kg／m3。

圖2 為本文方法和進水塔附加質(zhì)量法求得的附加質(zhì)量。

圖2 兩種方法附加質(zhì)量比較

由圖2 可知：對于塔體內(nèi)部，相對水位變化時本文方法和附加質(zhì)量法求得的附加質(zhì)量都不變，但本文方法所得的值較附加質(zhì)量法的小；對于塔體外部，本文方法所得的附加質(zhì)量與附加質(zhì)量法在40 m 以下相對水位對應(yīng)的值較為接近。

4 動水壓力計算分析

進水塔模型尺寸和材料參數(shù)與前節(jié)相同，建立有限元模型，分別采用本文方法、附加質(zhì)量法與流固耦合方法對動水壓力進行計算，以便對比分析。

無水的孤塔模型見圖3（a），進水塔塔體采用三維實體單元，分別使用水工抗震標(biāo)準(zhǔn)中進水塔附加質(zhì)量公式和Morison 方程附加質(zhì)量公式計算節(jié)點質(zhì)量，通過在塔體內(nèi)外水面以下節(jié)點上添加質(zhì)量單元實現(xiàn)。

進水塔和水體耦合模型見圖3（b），進水塔塔體采用三維實體單元，水體采用三維勢流體單元，水的體積彈性模量取2.1 GPa，進水塔四側(cè)水體模擬范圍為1 倍塔高。 進水塔底部完全固結(jié)，塔內(nèi)外水體表面均設(shè)為不考慮重力作用的自由表面。

圖3 進水塔有限元模型

對模型施加順流向（有限元模型中X方向）地震荷載進行時程分析。 對于孤塔模型，提取進水塔高度方向的絕對加速度分布，進而可以根據(jù)節(jié)點所附加的質(zhì)量和分?jǐn)偯娣e求得動水壓力曲線。 對于流固耦合模型，提取進水塔沿著高度方向的動水壓力包絡(luò)值，得到動水壓力曲線。

附加質(zhì)量法、Morison 方程和流固耦合方法動水壓力曲線見圖4。

圖4 3 種方法動水壓力曲線比較

由圖4 可知：在相對水位0 ～60 m 范圍內(nèi)，本文方法結(jié)果與流固耦合方法的非常接近，但由于Morison方程計算的附加質(zhì)量與相對水位沒有關(guān)系，因此在相對水位大于60 m 時動水壓力呈現(xiàn)增大趨勢，這與實際不符；附加質(zhì)量法得到的塔體內(nèi)部動水壓力變化趨勢與本文方法的相似，值整體大于本文方法的；附加質(zhì)量法計算的塔體外部動水壓力變化趨勢與流固耦合方法的相似，但值略小于流固耦合方法的；在一定相對水位范圍內(nèi)本文方法計算結(jié)果與流固耦合方法的比較接近。

5 結(jié) 論

將求解水中細長柔性柱體的Morison 方程進行擴展，得到計算矩形截面進水塔內(nèi)部和外部附加質(zhì)量的公式。 推導(dǎo)過程表明，附加質(zhì)量與塔體截面形狀有直接關(guān)系，與相對水位無關(guān)。 動水壓力計算分析表明，在一定范圍內(nèi)本文方法計算結(jié)果與流固耦合方法的比較接近，本文方法公式簡單，計算簡便，當(dāng)僅需簡單考慮進水塔動水壓力作用時，本文擴展的進水塔Morison方程可為進水塔動力響應(yīng)分析提供一種新思路。