行階梯形矩陣與行最簡階梯形矩陣的相關應用

◇宿遷學院 朱晨晨 俞佳莉 李梓萱 呂雨

行階梯形矩陣經過初等行變換之后可得一類特殊的矩陣，稱之為行最簡階梯形矩陣，這凸顯了矩陣的核心性質。行最簡階梯形矩陣不僅在矩陣的化簡中被廣泛使用，而且借助它，可以更好的解決其余有關向量的問題。

1 學情分析

在進行矩陣化簡時，根據定義進行初等行變換。因其化簡行階梯形矩陣的步驟較為繁冗，為后續(xù)進行逆矩陣、線性方程組的求解造成障礙。本研究將深入剖析行階梯形矩陣與行最簡階梯形矩陣，使其化簡步驟驟減，激發(fā)學習熱情，加深學生對矩陣定義的理解和對兩種矩陣應用的掌握，增強學習效果。

對于行階梯形矩陣來說，矩陣的秩比較好求，因此不難看出行階梯形矩陣的非零行的第一個非零數所在的行與列所構成的子式就是該矩陣的最高階非零子式。將行階梯形矩陣經過若干次初等行變換，化簡為行最簡階梯形矩陣，其秩沒有發(fā)生改變，即矩陣的秩為行最簡階梯形矩陣中非零行數。矩陣的秩是矩陣的一個重要特征，對線性方程組的求解與向量的線性相關性等方面都起著重要的應用。

2 研究過程

2.1 矩陣相關定義

（1）零行（如果存在的話）位于非零行的下方；

（2）從上至下，非零行的首位非零元的列標依次嚴格遞增；

（3）首位非零元的下方皆為0。

（1）為行階梯型矩陣；

（2）首位非零元為1；

（3）首位非零元所在列的其余元素皆為0。

2.2 初等行變換

通過初等行變換求出行階梯形矩陣與行最簡階梯形矩陣，一般是把每一行的首非零元下面的元素全部化成零即由下到上把矩陣“逐列化零”，零行放在非零行的下方，此時就得到行階梯形矩陣，在此基礎上繼續(xù)進行初等行變換，得到行最簡階梯形矩陣。因此任意矩陣進行有限次初等行變換都可以化為行階梯形矩陣和最簡行階梯形矩陣，二者的區(qū)別是，行最簡階梯形矩陣唯一，而行階梯形矩陣不唯一。

三種初等行變換包括：

換行：對調任意兩行；

需要注意的是，將矩陣化簡為行階梯形矩陣和行最簡階梯形矩陣時不能使用矩陣的初等列變換，因為化簡得到的矩陣雖然具有行階梯形矩陣和行最簡階梯形矩陣的特點，但不是原矩陣的行階梯形矩陣和行最簡階梯形矩陣。同理，將矩陣化簡為矩陣的列階梯形矩陣和列最簡階梯形矩陣時也不能使用矩陣的初等行變換。通過研究，具體了行階梯形矩陣與行最簡階梯形矩陣的有關應用，通過矩陣的相關定義及初等行變化等相關知識點，講明原理，說清方法，使得在求解矩陣的過程中能夠更好的掌握其核心知識，進而能夠更快、更準確的進行變換。在解決行階梯形矩陣及行最簡階梯形矩陣的相關問題中，能更加得心應手，提高了解決實際問題的能力。

2.3 逆矩陣

2.4 矩陣的秩

2.5 研究思路

3 總結行階梯形與行最簡階梯形矩陣的相關應用

3.1 求解矩陣的秩

3.2 求解矩陣的逆

3.3 求解線性方程組的解

4 結束語