考慮貢獻的最小二乘解及在共同配送聯盟利潤分配中的應用

程鵬斐， 鐘子涵， 羅妍， 劉家財

(福建農林大學交通與土木工程學院， 福州 350002)

隨著中國消費水平的升級，城市物流行業高速發展，涉及商超、零售、生鮮、快遞、同城貨運等多個領域。截至2020年底，城市物流市場規模已達上萬億。龐大的市場規模下，對城市物流時效性、服務質量、資源利用效率的要求日益增高，第三方城市物流企業正面臨巨大的挑戰。為應對市場變化，提高自身競爭力，部分城市已逐步推進第三方城市物流企業構建共同配送聯盟，通過物流資源共享、信息共享，促進城市物流行業健康穩定發展。

城市物流具有小批量多批次的特點，運輸過程往往存在空載率高、車輛利用率低等問題。針對該問題，陸華等[1]提出共同配送模式能夠實現城市物流降本增效，促進城市物流發展。曾艾婧等[2]構建了基于數字孿生的物流調度模型，有效地提高了多配送中心情況下的物流資源利用效率，為共同配送模式提供了一定的理論支撐。此外，針對共同配送流程優化問題，中外學者在共同配送路徑優化[3-4]、聯盟結構優化[5-6]等方面進行了大量研究。然而，推進共同配送模式正面臨著利潤分配易產生分歧的問題。

在理論上，利潤分配問題可以視為可轉移效用(transferable utilities, TU)博弈問題，是合作博弈領域研究的重點，常見的分配策略包括Shapley值、Banzhaf值、最小二乘解、均分剩余值等。對于共同配送利潤分配問題，許茂增等[7]分析了低密度區域快遞配送行業的現狀，提出通過共同配送可以有效增加快遞配送收入，并將改進Shapley值應用于共同配送利潤分配中；徐光燦等[8]綜合考慮了成品油運輸企業投資額、承擔風險量及業務能力，建立了加權Shapley值模型，將其運用于共同配送利潤分配問題；趙文健[9]針對市場存在不確定性的情況，采用三角模糊數描述最小二乘解，并將應用于解決快遞共同配送利潤分配問題；Liu等[10]使用最小二乘貢獻值替代Shapley值邊際貢獻，并將其用于農村電商物流利潤分配中。從上述研究可知，現有的共同配送利潤分配策略主要采用加權Shapley值及最小二乘解。Shapley值根據局中人對隨機聯盟的期望邊際貢獻進行利潤分配，其滿足有效性、可加性等優良性質，被廣泛應用于多領域的利潤分配問題中[11-13]。但Shapley值把研究的重心放在局中人的效益或貢獻上，并未重視子聯盟對利潤分配策略的影響。與Shapley值不同，最小二乘解根據子聯盟效益進行利潤分配，其同樣滿足有效性、可加性等優良特性[14]。由于最小二乘解具有良好的適應性，中外學者進一步通過調整最小二乘解中的效益及貢獻超額，構建了考慮局中人效益與貢獻等方面的利潤分配策略[15-16]。Borkotokey等[17]提出大聯盟中存在子聯盟時，利潤分配需要考慮子聯盟整體影響而不是單個局中人的影響。共同配送聯盟中往往存在緊密合作的中小型第三方城市物流企業，它們通常可視為子聯盟，因此在其利潤分配的問題上，可以采用考慮子聯盟影響的利潤分配策略。

傳統的最小二乘解考慮了子聯盟效益對利潤分配策略造成的影響，但其分配結果可能會偏袒強勢子聯盟中的局中人。針對該問題，現試圖構建考慮子聯盟貢獻的利潤分配策略。受最小二乘解[14]和考慮局中人貢獻的最小二乘解[16]的啟發，用子聯盟貢獻超額表示聯盟整體的不滿意度，構建使聯盟整體不滿意度最小的利潤分配模型，拓展最小二乘解的適用范圍，為城市共同配送聯盟利潤分配提供理論支撐。主要內容如下：首先，介紹了可轉移效用(TU)博弈的基本概念；其次，基于子聯盟貢獻超額構建二次規劃模型并進行求解，證明了所得最小二解的性質；最后，對城市物流企業進行成本及收益核算，通過數值分析驗證該模型合理性。

1 考慮子聯盟貢獻的利潤分配策略

1.1 基本概念

可轉移效用(TU)博弈是指用特征函數表示n人合作博弈策略，通常由有序對G=(N,v)表示，其中N表示全體局中人的集合,N={1,2,…,n}，v表示聯盟特征值。對于所有聯盟S(S?N)，其特征值記為v(S)，表示該聯盟所有局中人獲得的聯盟效益總和。s表示聯盟S中局中人的個數。當聯盟為空集時，其特征值為0，記為v(?)=0。對于所有局中人i(i∈N)，其特征值記為v(i)，表示局中人i單干時的效益。n個局中人參與的合作策略ν的集合記為Gn。

1.2 最小二乘解的概念

一般情況下，將聯盟S(S≠?)的效益與其所獲分配值的差值的平方稱為聯盟S在分配向量x上的平方超額，即e(S,x)=[v(S)-x(S)]2，用來表示局中人對利潤分配策略的不滿意度，稱基于平方超額的合作策略解為最小二乘解。

2 考慮子聯盟貢獻的利潤分配模型構建

2.1 考慮子聯盟貢獻的最小二乘模型

(1)

(2)

對于任意的子聯盟S(S?N,S≠?)，有基于子聯盟貢獻的平方超額eC(S,x)，可將其簡寫為

(3)

將其視為子聯盟S對分配值的不滿意度，eC(S,x)值越大，子聯盟S的不滿意度就越高，設x為滿足有效性的分配向量，易證得

=2n-1v(N)

(4)

則有

(5)

將其表示聯盟整體的不滿意度，該值越小，聯盟的整體滿意度越高。

設聯盟有n個局中人，則可形成2n-1個子聯盟，超額的期望為

(6)

為使聯盟不滿意度降到最低，令平方超額的方差最小，可得模型:

(7)

根據式(3)、式(5)～式(7) 可表示為

(8)

式(8)即為考慮子聯盟貢獻的最小二乘模型，其通過最小化子聯盟超額貢獻的方差獲取最優的分配向量。

2.2 考慮子聯盟貢獻的最小二乘模型求解及性質證明

設損失函數為方程L(x)，根據模型[式(8)]可得

(9)

(10)

由式(10)解得為基于貢獻值的最小二乘解

(11)

i∈N

(12)

接下來，探討基于貢獻值的最小二乘解的性質，并對其進行驗證。

證明根據式(12)可知

=v(N)

(13)

證明根據式(12)可得

(14)

至此，定理3證畢。

證明對于局中人i和局中人l(i∈N,l∈N,i≠l)，由式(12)可得

(15)

3 考慮子聯盟貢獻的利潤分配策略在共同配送聯盟中的應用

3.1 案例背景

福州市有主要從事城市內B2B物流業務的城市物流企業A、B、C，其服務對象包括零售店、超市、快遞站點等。三家企業均具有客戶需求穩定、具有零散訂單、企業間有相鄰的需求點且單獨配送時物流成本較高的特點。聯盟前三家企業每日均需獨自為分散在不同地點的門店提供物流服務。由于各需求點地理位置較分散，其面臨空載率高，物流資源浪費等問題，三家企業的物流成本均居高不下，利潤十分微薄。為應對挑戰，三家企業簽訂合作協議，建立共同配送聯盟，共建物流分撥中心，通過物流資源的整合，實現配送過程降本增效。

現以三家企業的部分需求點為例，深入剖析城市物流運輸過程，并在此基礎上對城市物流企業進行成本及收益的核算。已知企業A需要為需求點1、2、3供貨，企業B需要為需求點4、5、6供貨，企業C需要為需求點7、8、9供貨，三家企業均從物流分撥中心0出發，并在配送完畢后返回。各需求點的貨物需求量、物流報價及距分撥中心里程如表1所示，各需求點間距離如表2所示。

表1 需求點信息Table 1 Demand point information

表2 需求點間距離Table 2 Distance between demand points

3.2 配送路徑選擇

為保證合作后能夠最大化地利用聯盟的物流資源，使用遺傳算法選取聯盟前后的最優配送路徑，其中目標函數設定為車輛行駛里程最小，約束條件則設定為4.2 m貨車的最大載重2.5 t。通過計算，易得聯盟前后的物流運輸情況，進而更精確的核算運輸成本。

分析表3數據可知，三家企業派出一輛車均無法滿足其各自的物流需求，因此不得不再派出一輛車進行配送，這大大提高了車輛空載率，增加了許多非必要路程，造成了物流資源的浪費及成本的增加。當兩家企業聯盟時，AB合作或AC合作均可有效提高物流效率，而BC合作時由于線路重合度低及載貨量不匹配的原因造成了空載率的大幅提高，因此后續利潤分配過程中需充分考慮其聯盟貢獻。三家企業結成大聯盟后使用車輛的總數小于三家企業獨立運營或兩兩結成聯盟時的數量總和，提高了車輛利用率，且空載總里程及空載率顯著降低，大幅提高了物流效率，實現了運輸過程降本增效。

表3 聯盟前后配送路徑Table 3 Distribution routes before and after alliance

3.3 城市物流企業成本核算

通過物流成本的核算，可以清晰地了解到物流企業的運作情況，分析出各企業為共同配送投入了多少資源，據此量化其對大聯盟的貢獻。城市物流企業的固定成本主要包括司機薪水、車輛維護費、車輛保險費等，變動成本主要有燃油費、輪胎磨損費等。為更清晰的展示每趟運輸過程中產生的各項費用，將固定成本按日計并分攤至每趟運輸過程，變動成本則由實際行駛里程決定，一些相關的變量如表4所示。

表4 主要變量及其解釋Table 4 The main variables and their explanations

為更貼合實際的反映運輸過程中真實的燃油成本，分別考慮了百公里油耗及空載油耗，設企業在一次運輸任務中派出了n輛車，則燃油費計算公式為

(16)

根據運輸過程中的變動及固定成本核算，可得出物流總成本，表達式為

(17)

根據貨物的物流報價及付出的物流成本可得企業在該線路的利潤，表達式為

V=P-C

(18)

分析表5可知，由于物流成本居高不下，三家企業在單獨運營時的利潤均十分微薄，企業B甚至出現了虧損的情況。因此，三家企業亟需結成合作聯盟共同應對市場挑戰。三家企業結盟前后該線路整體物流成本及盈利情況如表6所示。

表5 三家企業獨立運營利潤表Table 5 The three enterprises independently operate profit statements

表6 三家企業聯盟利潤表Table 6 Profit statement of alliance of three enterprises

分析表6可知，三家企業與互相結盟后利潤總量均有一定的提高，企業B與其他企業結盟后總利潤實現了扭虧為盈。為進一步比較聯盟前后成本及效益的變化，將所有可能形成的聯盟情況進行對比，包括企業ABC各自獨立運營、AB聯盟與獨立運營的企業C、AC聯盟與獨立運營的企業B、BC聯盟與獨立運營的企業A、ABC結成大聯盟五種情況，如圖1所示。

保障聯盟穩定性的關鍵是合作后是否能有效提高聯盟競爭力，為各聯盟成員帶來額外的效益。分析圖1可知，三家企業聯盟前整體盈利水平為負，聯盟后物流成本顯著下降，聯盟整體實現扭虧為盈，其中三家企業結成大聯盟后利潤大幅提升，因此三家企業均有聯盟的意愿。聯盟利潤分配策略涉及到各聯盟企業的利益，三家企業均希望聯盟后分配得到的利潤大于自己單干時的利潤，因此如何公平合理的分配聯盟產生的利潤，是聯盟能否穩定發展的關鍵，也是接下來要討論的問題。

圖1 聯盟前后成本及總利潤對比Fig.1 Comparison of cost and total profit before and after alliance

3.4 基于貢獻值的最小二乘解利潤分配計算

分析可知，企業C及其與企業A、B合作的貢獻值均較高，其中A、C合作時的貢獻值最高，可見企業A與企業C能夠有效地相互促進，而該策略在利潤分配中充分考慮了這些因素，因此企業C獲得了最高的分配值。同理，企業B及其與企業A、C合作后的貢獻較低，因此獲得了最低的分配值。此外，聯盟利潤被完全分配，企業B實現了扭虧為盈，企業A、C獲得了多于單獨運營時的利潤。綜上所述，該解在計算的過程中充分考慮了子聯盟的貢獻，且相應的貢獻越多，得到的分配值越高，激發了各城市物流企業構建聯盟的積極性，提高了聯盟的凝聚力，證明了該模型的合理性。

4 結論

(1)針對大聯盟中存在子聯盟的情況，提出了考慮子聯盟貢獻的最小二乘解，拓展了最小二乘解的適用范圍，該解不僅計算簡單且滿足唯一性、有效性、對稱性、可加性等良好性質，能夠清晰地反映公平和有效性原則。

(2)分析共同配送聯盟案例后可知，聯盟后各企業均獲得了大于獨立運營時的利潤，且該策略充分考慮了各城市物流企業及其參與的子聯盟對大聯盟的貢獻，貢獻越多的企業能獲得更高的分配值，這將激勵各企業為聯盟多做貢獻從而獲得更高額的報酬。經驗證，本文提出的利潤分配策略公正合理，可增強聯盟的凝聚力，為共同配送聯盟利潤分配提供參考。

本文研究了清晰環境下的基于子聯盟貢獻的利潤分配策略，將基于子聯盟貢獻的利潤分配策略拓展到模糊領域將是下一步研究的重點。