雙穩態壓電俘能器的簇發振蕩與俘能效率分析1)

錢有華 陳婭昵

(浙江師范大學數學與計算機科學學院,浙江金華 321004)

引言

能量俘獲(energy harvesting)是通過一定的方法從環境中提取能量的過程.眾所周知,環境中存在著各種形式的振動能[1],如海上的巨浪、機器的工作、車輛的行駛、人的運動、樂器彈奏等都會產生大量振動.這些振動不會受到地域、時間等的制約,通過收集振動能可用于橋梁[2]、建筑、車輛等健康監測.

目前振動能量收集主要有三種方法: 電磁式[3]、靜電式[4]以及壓電式[5-7]等,其中運用較多的是壓電式.它的原理是將一層(單晶)或者兩層(雙晶)壓電材料附著于某種夾持結構(懸臂梁)上,外部環境激勵通過基座傳遞給懸臂梁,使梁產生彎曲變形,該形變使得壓電材料中的正負電荷分離,產生電勢差,從而進行能量收集.收集能量之后,還需要通過整流橋和濾波電容器將交變電壓轉化為整流電壓,以此進行充能.

線性壓電俘能器只在共振頻率附近能夠收集到較多能量,其有效工作的頻率帶寬很窄.為了拓寬系統的工作帶寬,人們設計了多種方案來改善線性壓電俘能器.如陣列式,多自由度等.與線性技術相比,非線性技術可以在更大的連續頻率帶寬上輸出較大電流,從而提高能量收集的效率.非線性來源主要包括結構變形、外加非線性力等.Moon 等[8]最早提出雙穩態結構是由懸臂梁及梁的自由端附近對稱放置的永磁體組成.其耦合動力學可用負剛度Duffing 方程來描述,此時系統存在兩個穩定平衡點,一個不穩定平衡點.Erturk 等[9]討論了系統處于高能軌道和混沌振動時對輸出電壓的影響.Stanton 等[10-11]研究了磁斥力雙穩態動力系統,發現磁間距能夠使得系統在單穩態、雙穩態之間變化,并且雙穩態系統中包含有單勢阱內運動、雙阱間混沌運動、雙阱間大幅周期運動等.高鳴源等[12]建立分數階阻尼模型,通過實驗揭示了多穩態電磁俘能系統的動態分岔、勢能阱逃逸、高能態軌道和混沌運動等非線性行為.田海港等[13]基于非定常氣動力模型,推導翼型顫振壓電俘能器流?固?電耦合的數學模型并制作了壓電俘能器樣機來驗證仿真結果.曹東興等[14-15]建立了一種附磁階梯變厚度壓電懸臂梁的動力學模型并分析了系統的俘能特性,研究了流致振動,設計了一種附加磁力激勵的壓電懸臂梁流致振動俘能器.張偉等[16]利用可移動鉸支座和非線性磁力設計了一種具有雙穩態特性的寬頻壓電俘能器使得其與環境相匹配.郭紀元等[17]提出一種線繩驅動、具備轉速提升功能的電磁式俘能器,實驗驗證了所能收集到的能量.陳楠等[18]總結了面向壓電振動俘能器的電能管理電路的最新研究成果.Andreas 等[19]實現了可穿戴的電子設備設計,提出了超柔性鐵電聚合物和有機二極管結合的俘能器,使得脈搏和血壓監測更加精確.

在雙穩態壓電俘能器的研究中,很多學者發現了低頻激勵下存在著簇發振蕩現象,也被稱之為跳變現象[20].簇發振蕩是一種復雜的振蕩模式,它的特征是小幅振蕩與大幅振蕩的結合.Rinzel[21]最先提出了凍結子系統的方法來解釋簇發振蕩.Izikevich[22]在他的工作中對簇發振蕩的類型進行了分類.Qian等[23-24]利用快慢分析方法對歐拉離散后的系統進行分析,發現了豐富的動力學行為.Chen 等[25]分析了具有周期激勵的耦合振蕩器,它會在靜息態與激發態之間發生簇發振蕩.Lin 等[26]研究了簡單的三元記憶電路,并在電路信號中得到了簇發振蕩.Han 等[27-29]通過快慢分析法研究了不同時間尺度下的動態響應問題,還發現了時滯周轉引起的新的簇發振蕩類型,叉式翻轉遲滯簇發振蕩以及復合叉式遲滯簇發振蕩,還分析了集中參數式俘能器的動力學簇發振蕩.Jiang 等[30-34]分析了不同類型俘能器的簇發振蕩以及復雜動力學行為.馬新東等[35]對三維非線性電機系統進行分岔分析,并得到了時滯subHopf/fold cycle簇發振蕩,焦點/焦點型對稱式叉形分岔滯后簇發振蕩等.鄭健康等[36]在三維混沌系統中引入參數激勵并分析了其簇發振蕩.

由于低激勵下壓電俘能器的理論的研究較少,因此,本文試圖從高低能軌道的角度來揭示俘能效率.先分析雙穩態壓電俘能器在較高頻率下的動力學特性,再考慮低頻環境下不同勢阱對系統簇發振蕩現象的影響,同時分析了其俘能效果.最后還考慮了環境中存在多個振動源時,系統的動力學行為和俘能效果.

1 雙穩態壓電俘能器的動力學分析

壓電俘能器通過非線性恢復力產生大變形,它可以由結構的大變形產生,也可以由外加的非線性力產生等.Ertuk 等[9]設計了磁鐵?梁結構的壓電俘能器(如圖1).這個結構中,梁具有彈性恢復力且梁的末端與兩側磁鐵之間有磁力作用,當系統受到簡諧激勵時,梁會在兩個磁鐵之間不停地擺動.

圖1 雙穩態壓電俘能器結構示意圖Fig.1 Structural diagram of bistable piezoelectric energy harvester

在以往的研究中,基于建模方法和實驗測量,俘能器的一般控制機電模型可以寫成下式[9]

其中,x(t)是相對于基座的尖端位移;M是等效質量;C等效阻尼;Cp,Rl,θ0分別是等效電容、負載電阻和等效機電耦合系數.v(t)是通過Rl的輸出電壓.Fcos(?t)為等效外激勵.Fr為等效非線性恢復力,包含線性恢復力和非線性磁力.為了使得系統出現雙穩態現象,選取Fr=?ω02x+a10x3.并將系統進行無量綱化

推導出以下無量綱模型

令 γ=fcos(?t),當 γ 變化時系統會表現出豐富的動力學行為.當c=0.65,ω2=1,a1=1,θ=0.05,f=0.8,λ=0.05,g=0.5時,可以得到系統外激勵頻率變化的分岔圖.

圖2表示當?取不同的值時,系統會出現周期運動或者混沌運動.例如?<0.8 附近時,系統呈現單極限環運動,而當0.8

圖2 當c=0.65,ω2=1,a1=1,θ=0.05,f=0.8,λ=0.05,g=0.5時系統的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of the system with c=0.65,ω2=1,a1=1,θ=0.05,f=0.8,λ=0.05,g=0.5

除此之外,當頻率一定,外激勵強度變化,會使系統處于不同的軌道上,包括阱內周期運動,阱內混沌運動,阱間周期運動,阱間混沌運動等.Paula 等[37]表示不同的軌道對系統能量收集效率的影響是顯著的.給定其他參數不變,當?=1.5,f=0.6,0.7,0.716,0.75時系統的相圖見圖3,其中橫縱坐標均為?2～ 2.

圖3 當 ?=1.5 時不同振幅下系統的相圖,紅點表Poincaré映射點Fig.3 When ?=1.5,the phase diagrams of the system with different amplitudes,and the red dots represent Poincaré maps

可以看出,當振幅比較小時,系統只在某個勢阱內作周期運動,隨著f的逐漸增大,系統開始在單勢阱內做混沌運動,到了f=0.75時,系統在兩個勢阱之間作混沌運動.隨著f的不斷變化,系統會在周期運動和混沌運動之間搖擺.Lyapunov 指數圖也可以說明系統的混沌運動,圖4 中的紅色表示0,當Lyapunov 指數大于0 時有混沌運動.

圖4 當 c=0.65,ω2=1,a1=1,θ=0.05,f=0.8,λ=0.05,g=0.5,?=1.5時系統的Lyapunov 指數圖Fig.4 Lyapunov exponent diagram of the system with c=0.65,ω2=1, a1=1,θ=0.05,f=0.8,λ=0.05,g=0.5,?=1.5

對于雙穩態系統來說,它最大的優勢就是拓寬了系統高效收集能量的頻率帶寬,可以在一般頻率中找到高能軌道從而提高能量收集效率.選擇c=0.05,ω02=1,a1=1,θ=0.05,λ=0.05,g=0.5以及f=0.1,0.2,0.5,計算一段時間內的輸出電壓均值(圖5),這可以作為系統在不同頻率下俘能效果的一個指標.

圖5 當 c=0.05,ω02=1,a1=1,θ=0.05,λ=0.05,g=0.5 以及f=0.1,0.2,0.5時,系統輸出電壓均值圖Fig.5 When c=0.05,ω02=1,a1=1,θ=0.05,λ=0.05,g=0.5 and f=0.1,0.2,0.5,mean value diagram of system output voltage

從圖5 可以看到,當f=0.1 時,系統只在共振頻率附近有著較高的電壓輸出,而在大部分頻率下都只有低能輸出.隨著f的增大,系統在 ?∈(0.2,1) 之間的輸出電壓比f=0.1 時有著較大的提高,這可能是獲得了高能軌道導致的.隨著f繼續增大,系統的輸出電壓在整體上有了較大的提高,這是因為振幅的增大使得系統更容易獲得高能軌道.值得注意的是在 ?∈(0.01,0.1) 之間,系統的輸出電壓相比起前兩者也有了一個明顯的提高,下面會詳細解釋這一現象的原因.

2 單激勵下雙穩態壓電俘能器的高能軌道與俘能效率

在實際生活中,低頻率的振動源處處存在,例如海浪、人體運動等.在雙穩態壓電俘能器的研究中,可以發現它在低頻激勵下表現出簇發振蕩現象,而單穩態壓電俘能器卻沒有這種現象.簇發振蕩指的是系統在某一時刻突然發生極大的振蕩,此時的能量也是巨大的.下面先進行勢能分析,再考慮不同振幅的影響.

2.1 勢能分析

單穩態俘能器的特征是具有全局最小的單勢阱,此時勢阱圖上表現為結點;雙穩態俘能器的特征是具有兩個勢阱,并且這兩個勢阱被局部最大值分隔,從極小值到極大值的這段距離也稱為勢壘,此時勢阱圖上存在兩個結點,一個鞍點.圖6 給出了雙穩態系統存在的兩種運動形式,單勢阱內的低能振蕩和雙勢阱間的高能振蕩.

圖6 低能阱內振蕩和高能阱間振蕩Fig.6 Low energy well oscillation and high energy inter well oscillation

現在考慮式(4),當環境頻率很低時,也就是 ?遠小于固有頻率,此時 γ 為慢變量,系統含有兩個時間尺度.對于該系統,它的勢能函數為

2.2 相同勢阱下不同振幅的影響

取c=0.05,ω2=1,a1=0.778,θ=0.05,?=0.01,λ=1,g=1.首先考慮系統在平衡點 (0,0,0) 處的情況.

隨著 γ 的改變,當f滿足一定條件,例如f=0.5時,式(3)的平衡點個數會在三個和一個之間變化.此時系統表現出靜息態和激發態之間的躍遷.系統在短時間內可以達到很大的能量,如圖7 所示.

圖7 當 ?=0.01,f=0.5 時系統發生簇發振蕩時的轉換相圖Fig.7 Transformed phase diagram of bursting oscillation when?=0.01,f=0.5

同時這很好地展示了雙穩態現象,系統的上分支與下分支實線部分分別是兩個穩態,對應于圖6中向下的兩個阱,而虛線部分對應于圖6 中的狹窄高地.當 γ 經過兩個分岔點之間時,系統處于雙穩態現象,而一旦越過分岔點,就會發生跳變,從一種狀態躍遷到另一種狀態.

從轉換相圖上來看,系統一個周期內的運動先后經過了兩次尖峰振蕩.尖峰振蕩在開始時表現出巨大的能量,然后慢慢減弱直至進入靜息態,接著進入負半周期,在負半周期里也發生了類似的過程.事實上,系統大幅振蕩的原因是因為碰到了分岔點.開始時系統在上分支沿著左側移動,到達FB1后,突然從上分支跳躍到下分支,并進入尖峰振蕩,隨著系統繼續左移,尖峰振蕩減弱,在到達?0.5 后,系統開始向右運動,直至進入弛豫振蕩,一直到系統再次碰到分岔點FB2,系統從下分支跳躍到上分支,重新進入尖峰振蕩,類似上半周期,這樣就完成了一整個周期的運動.

但是,若f=0.4,系統不會出現簇發振蕩現象,而只是簡單的作周期運動.如圖8.

圖8 當 ?=0.01,f=0.4,系統發生周期振蕩時的相圖,紅點表示Poincaré映射點Fig.8 Phase diagram of periodic oscillation when ?=0.01,f=0.4,red dot represents Poincaré point

將兩者進行對比,可以看到系統周期振蕩時極限環非常小,縱坐標大約在 ±0.01 內.這也就暗示著系統在f=0.4下產生的能量遠小于f=0.5.可以理解為: 當f=0.4 時,系統不能實現上下分支之間的跳躍,只能局限在上分支或者下分支上,此時它只能在單個勢阱中做低能阱內運動.而f=0.5 卻使得它實現了上下分支之間的躍遷,此時它獲得了高能阱間振蕩軌道.圖9 可以很好地表示系統在不同振幅下的軌道分布.

圖9 不同振幅下系統的軌道分布,黑色表示勢能函數,藍色圓圈表示 f=0.4,紅點表示 f=0.5Fig.9 The orbit distribution of the system under different amplitudes.Black represents potential energy function,blue circle represents f=0.4 and red point represents f=0.5

下面探究繼續增大f,是否會獲得更高的能量.圖10 給出了不同f下輸出電壓的時間歷程圖.

圖10 當 ?=0.01 時不同振幅下俘能器輸出電壓的時間歷程圖Fig.10 Time history diagram of output voltage of energy harvester under different amplitude with ?=0.01

在圖10(a)f=0.5 時輸出電壓大約在 ± 1 間,而低能軌道上的輸出電壓近乎為一條直線,圖10(b)是局部放大圖,雖然也有振蕩,但是此時振蕩的振幅非常小,大約在 ± 0.02 上下,能量收集效率低下.而圖10(c)給出了當f=1 時系統的輸出電壓,與圖10(a)進行對比發現兩者輸出電壓的時間歷程圖非常相似,最高輸出電壓也近乎一樣,接近于1.這就說明了增大系統的振幅并不能收集到更高的能量.事實上,在這種情況下,系統處于同一條高能軌道,對于同一條高能軌道而言,輸出電壓的上限也大致相同,振幅的改變能夠使得系統獲得這個高能軌道,而不能改變輸出電壓的上限.

2.3 勢阱深淺對輸出電壓的影響

再分析勢阱的深淺是否會對能量收集產生影響.選擇第二組數據a1=1.667,ω2=1 以及第三組數據a1=0.778,ω2=1.4,其他參數保持不變.與第一組數據相比,分別改變了 ω2和a1,改變這兩者都可以實現勢阱深度的變化(圖11).

圖11 不同勢阱對比圖.紅色表示 a1=1.667,ω2=1,藍色表示a1=0.778,ω2=1,黑色表示 a1=0.778,ω2=1.4Fig.11 Contrast diagram of different potential wells.Red represents a1=1.667,ω2=1,blue represents a1=0.778,ω2=1 and black represents a1=0.778,ω2=1.4

選擇f=1,選擇較大的振幅是為了確保這三組情況下的系統都能產生簇發振蕩.對比v(t) 的時間歷程圖,可以發現較深的勢阱確實會影響輸出電壓,見圖12.

圖12 當 f=1 時不同勢阱下俘能器輸出電壓的時間歷程圖Fig.12 Time history diagram of output voltage of energy harvester under different potential wells with f=1

將圖12 與圖10(a)進行比較,注意兩者坐標軸的不同.圖12 的縱坐標都在 ± 1.5 間,而圖10(a)的坐標在 ± 1 間.且圖12(a)對應紅色勢阱,勢阱深度最小,它的輸出電壓的最高值接近0.7;圖10(a)對應藍色勢阱,它的輸出電壓最高接近1;而圖12(b)對應黑色勢阱,此時勢阱深度最大,它的輸出電壓最高可達1.2.可以看出勢阱越深,能夠達到的最高輸出電壓就會越大,但同時,隨著勢阱加深,系統所需要的外激勵振幅也要相應地增大才可以獲得阱間高能軌道.對于紅色勢阱來說,它的勢阱最淺,因此只需在振幅達到f=0.3 就可以獲得高能軌道;對于藍色勢阱來說,它要在振幅達到f=0.44 時才可以獲得高能軌道;而黑色勢阱由于其勢阱的深度,它的振幅至少要達到f=0.73 才可以獲得高能軌道.

由此看來,在某些低頻環境里若振幅普遍較大,那么可以通過設計含有深勢阱的壓電俘能器來獲得更高的能量,但是若在某些環境中,振幅普遍較小,設計含有淺勢阱的雙穩態壓電俘能器是一種非常好的選擇,它可以通過簇發振蕩直接實現輸出電壓量級上的提升且對振幅要求很低.

2.4 俘能效果分析

俘能效果受到磁鐵間距、懸臂梁的結構阻尼比以及負載電阻等的影響.在懸臂梁結構參數、磁鐵物理參數等確定的情況下,ω2,a1的影響磁鐵距已在2.3 中進行了分析.這一部分主要探究懸臂梁的結構阻尼,負載電阻對俘能效果的影響.為了更好地對俘能效果進行評價,選擇一段時間內的平均功率作為衡量指標.

2.4.1 等效阻尼比對俘能效果的影響

懸臂梁等效阻尼比c的大小主要與懸臂梁的材料和固定端夾持條件有關.若懸臂梁的材料阻尼系數比較大,或者夾持段預緊力太大,會限制懸臂梁實現阱間大幅振蕩;若懸臂梁的材料阻尼系數或夾持段預緊力太小,懸臂梁在高頻或者高激勵下振動容易失穩損壞.

保持 ?=0.01,ω2=1,a1=0.778,θ=0.05,f=0.5,λ=1,g=1 不變,分別選擇c=0.01,0.05,0.3 進行對比.c=0.01,0.3 輸出電壓的時間歷程圖為圖13.

將圖13 與圖10(a)進行比較,縱坐標都為 ± 1,可以看到阻尼比越小,系統的輸出電壓越密集,隨著阻尼比的增大,盡管系統的簇發振蕩行為還在,但其激發態的時間明顯縮短,而靜息態的時間越來越長,而希望的能量收集大多集中在激發態,因此這并不利于收集能量.當c=0.3 時,系統大部分時間都處于靜息態,此時的能量收集效率是非常低的.

圖13 當 ?=0.01,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f=0.5,λ=1,g=1時不同阻尼比下俘能器輸出電壓的時間歷程圖Fig.13 Time history diagram of output voltage of energy harvester under different damping ratio with ?=0.01,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f=0.5,λ=1,g=1

從圖14 中也可以看出,隨著阻尼比的變化,俘能器的輸出電壓逐漸降低,并且開始時輸出電壓的下降速度最快,而后慢慢趨于平穩.在阻尼比較大時,俘能器的輸出電壓低于0.02.比較三者阻尼比之間的輸出電壓關系,可以得到當c=0.01 時,系統輸出電壓接近0.134 9;當c=0.05 時,系統的輸出電壓接近0.056 3;當c=0.3 時,系統的輸出電壓只有0.011 4,此時的輸出功率接近于0.由此可以發現在c∈(0,0.05)時,俘能器的能量收集效率較為理想.隨著阻尼的增大,系統收集效率越來越低.同樣地,輸出功率與阻尼的關系也會表現出類似的變化規律.

圖14 當 ?=0.01,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f=0.5,λ=1,g=1時不同阻尼比下俘能器輸出電壓均方根變化圖Fig.14 When ?=0.01,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f=0.5,λ=1,g=1,the output voltage diagram.of energy harvester with different damping ratio

2.4.2 負載電阻對俘能效果的影響

在C p不變的情況下,若Rl逐漸增大,會導致 λ 減小,對于式(3)這個系統來說,λ 的減小會使得輸出電壓增大,而輸出功率又受到輸出電壓與負載電阻的共同影響.下面給出輸出功率隨負載電阻的變化圖(圖15).

圖15 當 ?=0.01,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f=0.5,g=1 時俘能器的輸出功率隨負載電阻變化圖Fig.15 When ?=0.01,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f=0.5,g=1,the output power diagram.of energy harvester with different load resistance

當c=0.01,0.05 時,隨著負載電阻Rl的不斷增大,俘能器的輸出功率均呈現出先上升后下降的特點.并且,當c=0.01 時系統輸出功率是波動下降的.從圖15 中可以看到,當c=0.01 時,系統的輸出功率最高能達到約0.018,而當c=0.05 時,系統的輸出功率最高不超過0.004.這驗證了之前的猜測.

同時,為了使系統的輸出功率達到最大,還需要匹配最優電阻,此時最優電阻應該在1000～ 2000之間.

3 多頻激勵下雙穩態壓電俘能器的簇發振蕩

實際環境中往往會出現多個振動源的情況.這些振動源可能有著不一樣的頻率,此時系統受到多頻激勵的作用,如果它們的頻率比接近整數倍而振幅又滿足一定的關系時,會出現多條高能軌道.文章中考慮的振動是相互獨立的.

3.1 動力學分析

假設兩種頻率的比例接近2.系統可將兩個慢變量轉化為只包含一個慢變量.

重新將 γ 記作 γ=cos(?t).取 ?=0.01,ω2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2,λ=1,g=1,c=0.05,分 別取f2=0.4,0.6,0.7.此時輸出電壓的時間歷程圖如下.

紅色方框表示的是一個周期內的運動,可以看到當f2=0.4 時,系統的輸出電壓在?0.004～0.004間近乎為0.而圖16(b,c)縱坐標都在?1～1 之間.當f2=0.6時,系統只進行了一次簇發振蕩,簇發振蕩后面緊跟著的是普通周期振蕩,由于振幅極小,看上去像是一條直線.不一樣的是當f2=0.7 時,系統的簇發振蕩驟然增多,紅色方框內的運動實際包含了兩次簇發振蕩,盡管這兩次簇發振蕩看上去很接近,但是左側的兩支連接的略微緊密,而右側的兩支進入靜息態的時間似乎更長.

圖16 當 ?=0.01,c=0.05,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2,λ=1,g=1 時,不同 f2 下俘能器輸出電壓的時間歷程圖Fig.16 When ?=0.01,c=0.05,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2,λ=1,g=1,time history diagram of output voltage of energy harvester under different f2

圖17 中給出了分岔圖以及它的運動軌線,藍色實線表示穩定,黑色虛線表示不穩定,并且此時分岔圖中存在四個分岔點F B1,F B2,F B3,F B4.假設系統在右上分支運動,它沿著分岔曲線向左移動,在遇到F B3后,突然從上分支跳躍到下分支,并開始大幅振蕩.系統沿著下分支逐漸左移,振蕩開始減弱,接著進入弛豫振蕩狀態,直到到達分岔點F B2,它突然從下分支跳躍到上分支,又一次開始大幅振蕩,繼續向左移動,直到?1 后反向向右移動,遇到F B1又重新進入大幅振蕩,繼續向右移動,振蕩減弱,再遇到了FB4才會進入大幅振蕩.此時這四次跳躍構成了一個周期的運動.

圖17 當 ?=0.01,c=0.05,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2,f2=0.7,λ=1,g=1 時系統的轉換相圖,藍色實線表示穩定,虛線表示不穩定Fig.17 When ?=0.01,c=0.05,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2,f2=0.7,λ=1,g=1,transformed phase diagram of system,blue solid line represents stability,dotted line represents instability

顯然,此時系統通過雙外激勵能夠獲得兩條高能軌道.通過對外激勵振幅的控制,可以實現低能阱內振蕩、低能阱內振蕩與高能阱間振蕩的組合,兩條高能阱間振蕩的組合等.

可以看到在f2=0.6 時,系統獲得了一條高能軌道,一條低能軌道.通過外激勵的作用,系統會依次經過高低能軌道.因此在圖18(b)的一個周期中,劇烈振蕩表示的就是高能軌道,而后半周期微小的振蕩(由于振蕩非常微小所以被壓縮成一條直線)表示的則是低能軌道.當f2=0.7,得到了兩條高能軌道,區分這兩條高能軌道并不容易,那是因為高能軌道一般在最高點處才表現差異,只有系統在兩次簇發振蕩中能夠達到的最高點有明顯的差異,才容易觀察到不同的高能軌道.而現在,系統的兩次振蕩形狀過于接近,特別是在最高點時,也只有毫厘差距,顯示出的高能軌道也非常接近.

圖18 當 ?=0.01,c=0.05,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2 時系統的軌道分布Fig.18 When ?=0.01,c=0.05,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2,the orbit distribution of system

3.2 俘能效果分析

這一節來研究多條高能軌道對俘能效果的影響.圖19 為雙穩態壓電俘能器輸出功率隨負載電阻的變化圖.為了說明高能軌道在收集能量方面的高效率性,分別考慮三種情況,f2=0.4,0.6,0.7.

圖19 當 ?=0.01,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2,f2=0.4,0.6,0.7時輸出功率隨等效負載的變化圖Fig.19 When ?=0.01,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2,f2=0.4,0.6,0.7,the output power diagram of energy harvester with different load resistance

與單個激勵項的壓電俘能器進行比較,可以得到大致的趨勢是類似的.圖19 從橫向來看,隨著負載電阻的增大,系統的輸出功率先增大后減小.此時可以匹配較優的負載電阻,大約是1000～3000.縱向來看,當f2=0.7 時,系統得到兩條高能軌道,此時最高輸出功率接近0.012,遠高于f2=0.6 時系統的最高輸出功率(不超過0.004).而沒有高能軌道的f2=0.4的最高輸出功率已經接近于0,此時系統的俘能效果最差.

4 結論

本文旨在從理論上說明雙穩態壓電俘能器在高頻激勵下的動力學行為和低頻激勵下的簇發振蕩.主要得到以下結論.

(1) 在高頻激勵下,雙穩態壓電俘能器隨振幅的變化表現出復雜的動力學行為,包括阱內周期運動、阱間混沌運動等.

(2) 在低頻單激勵下,通過分析相同勢阱下不同振幅的影響,發現簇發振蕩發生在高能軌道上而單阱周期運動只做簡單的周期運動.并且振幅的大小只能導致簇發振蕩的發生而不能改變它的強度,簇發振蕩的強度受到勢阱深度的影響.接著討論了等效阻尼、輸出電阻都會對輸出電壓產生影響.

(3) 在低頻多激勵下,通過分析系統的簇發振蕩,發現不同的振幅會使得系統獲得不同的振蕩,其中兩個高能簇發振蕩輸出的電壓最大,其次是高能簇發振蕩與低能周期振蕩的組合,輸出電壓最低的是兩個低能周期振蕩.