基于非線性吸能機理的渦激振動減振理論與實驗研究1)

陸子 何毅翔 張嵐斌 代胡亮 王 琳

(華中科技大學航空航天學院,武漢 430074)

(工程結構分析與安全評定湖北省重點實驗室,武漢 430074)

非線性吸能器,簡稱NTET (nonlinear targeted energy transfer),由于它可以從振動系統中吸收能量,因此在振動控制工程中得到了廣泛的應用,以降低或抑制結構振幅[1-3].NTET 通常由三部分組成: 一是非線性剛度元件,可使其與主系統產生共振行為;二是線性阻尼器,用于耗散通過共振相互作用傳遞的振動能量;三是其自身質量,它對主系統的耦合頻率和減振效果有重要影響.因此,NTET 可以從寬頻瞬態激勵中吸收振動能量且具有快速、能量轉移不可逆等顯著優點.使用NTET 成為工程中隔離和抑制振動和沖擊的一種有效的控制方法[4-8].

早期,研究人員主要針對瞬態或受迫激勵下結構的振動響應設計非線性吸能器進行減隔振處理,并取得了一些重要的研究成果[9-15].Vakakis 等[11]在研究梁結構上附加局部非線性能量阱(nonlinear energy sink,NES) 的動力學特性時,最早提出了NES 減振控制器,可用于消除或降低小型或大型柔性結構的沖擊和振動干擾.Mao 等[12]提出了一種扭轉型的NES,對含簡支邊界條件的彈性梁的彎曲振動進行控制,取得較好的抑制效果;為抑制柔性機翼的振動行為,Hubbard 等[14]設計了一種緊湊型的NES,大幅降低了機翼的振動幅值;Andersen 等[15]還研究了具有幾何非線性黏性阻尼的吸能器,用于控制結構在基礎激勵下的振動行為.

然而,實際工程中除了基礎激勵引起結構的振動以外,還經常會出現流體誘發結構的振動現象,即流致振動,它具有導致橋梁倒塌、結構顫振、以及管道疲勞失效等的潛在危險[16-20].因此,針對流致振動引起的結構響應,國內外研究者相繼提出了大量的被動或主動控制策略,取得了有效的控制效果[21-36].比如,Lee 等[21]對雙自由度機翼系統中的氣動彈性不穩定性進行了研究,通過利用NES,可以實現目標物寬帶能量的被動傳輸,結果表明,非線性能量阱可顯著提高機翼系統的氣動彈性穩定性.后來,Tumkur等[23-24]利用NES 對彈性支撐圓柱體渦激振動進行了振動控制研究,研究表明,選擇合適的NES 參數值可以顯著抑制圓柱體的渦激振動響應.在此基礎上,Dai 等[3,27-28]通過建立耦合系統的理論模型,研究了NES 對渦激振動和馳振的鎖頻區域、起振流速以及振動幅值的影響,發現NES 的質量、阻尼和剛度等參數的變化對耦合系統的頻率、振動幅值以及動力學行為有顯著影響,且有最優參數值使得系統的振動控制達到最佳效果.最近,Ding 等[8]系統而全面地闡述了非線性能量阱在工程振動控制中的應用,為非線性振動控制器的設計、研發及分析提供了重要指導意義.

從以上研究可知,目前國內外學者對于流致振動控制的研究取得了重要成果,為后續研究工作提供了有益的借鑒.但關于圓柱體渦激振動控制的實驗研究鮮有報道,大多是基于理論建模研究耦合控制系統的非線性特性及其減振效果.鑒于此,本文基于非線性彈簧?質量塊構型設計了非線性吸能器,從理論和實驗兩方面研究該非線性吸能器對彈性支撐圓柱體渦激振動的控制機理,并通過關鍵的參數分析揭示非線性吸能器的影響規律.

1 動力學理論建模

本文研究對象是直徑為D的彈性支撐圓柱體,在橫向外流U作用下,當流體脫落頻率接近圓柱體固有頻率時,圓柱會發生渦激振動行為,共振流速區域被稱為鎖頻區域[37-38].圓柱體質量、阻尼和剛度分別為m1,c1和k1,并假設圓柱體在受到橫向(z)均勻來流作用時只在豎直(y)方向振動,結構如圖1(a)所示.

為降低圓柱體渦激振動響應,引入非線性吸能器(NTET).該吸能器由質量塊m2和原長為L0、阻尼為c2的彈簧組成,如圖1(b)所示.需要注意的是,NTET 放置在圓柱體內.此外,當NTET 的質量塊處于初始位置時,對應的彈簧長度為L,剛度為k2,則預應力P=k2(L?L0).由于受重力影響,彈簧變形后與初始水平位置的夾角為θ,且彈簧變形后的長度為L′.因此,質量塊m2在運動過程會受到非線性彈簧力的作用.由幾何和受力平衡關系可以求出非線性力為

其中x為NTET 質量塊偏離水平位置的位移,將f(x)在x=0處泰勒展開(|x|?1)得到

通過方程(2)可以看出,NTET 具有線性和非線性剛度特性,線性項系數為k2,1=2P/L,非線性項系數為k2,2=(k2L?P)/L3,控制等效模型如圖1(c)所示.值得一提的是,如果彈簧豎直放置,則吸能器只有線性剛度,簡化模型如圖1(d)所示.

圖1 (a)渦激振動非線性控制模型示意圖;(b)非線性吸能器示意圖;(c)非線性吸能器控制等效模型示意圖和(d)渦激振動線性吸能器模型示意圖Fig.1 (a) Model diagram of the vortex-induced vibrations nonlinear control.(b) Model diagram of the nonlinear targeted energy transfer.(c) Equivalent model diagram of the nonlinear targeted energy transfer.(d) Model diagram of the vortex-induced vibrations linear control

設圓柱體和NTET 的振動幅值分別為y1(t)和y2(t),則它們的動能表達式分別為

勢能表達式分別為

阻尼做的功分別為

基于能量法和拉格朗日方程[39]

其中,T,V和W分別代表耦合系統的總動能、總勢能和總耗散能.qn表示系統的廣義坐標,分別取q1=y1,q2=y2,Fn為廣義力.將各項表達式代入式(10)中,可得到基于非線性吸能器的圓柱體渦激振動控制耦合方程

式中,“·”表示關于時間的導數.x(t)=y2?y1為質量塊對圓柱體的相對位移,質量塊與圓柱體之間的質量比β=m2/m1.應當指出,式(11)中m1應包含圓柱體質量和附加流體質量,由于所考慮的流體為空氣,因此可忽略附加流體對質量m1的影響.表示作用在圓柱體上的渦激力,該力取決于圓柱的振動速度和升力系數q(t),根據文獻[40-41]的研究,圓柱體上的氣動載荷主要由兩部分組成: 一是與結構阻力系數和圓柱體振動速度相關的流體效應;二是與脈動升力系數有關的渦流對圓柱體的影響.因此,渦激力F[y˙1,q(t)] 可以表示為以下形式

其中CL0和CD分別是穩態升力系數和阻力系數,根據Facchinetti[41]的研究,CL0=0.3 和CD=1.2.ρf表示流體密度,取1.2 kg/m3.尾流變量q(t)由下式給出

其中λ和Q為經驗參數[41],值分別為0.24 和15.ωs為漩渦脫落頻率,其表達式為ωs=2πStU/D,其中St為斯特勞哈爾數,取值為0.2.

此外,為了驗證圖1(b)所示模型以及非線性力表達式,設計了模型實驗測量NTET 結構中的非線性力,理論預測和實驗結果對比如圖2 所示.

圖2 NTET 結構中非線性力理論預測與實驗結果對比Fig.2 Comparison of the nonlinear force in NTET between theoretical predictions and experimental results.

2 結果分析與討論

2.1 理論模型的驗證

為驗證理論模型,設計了模型實驗,對比結果如圖3 所示.圖3(a)和圖3(b)給出了實驗模型的正視圖和側視圖,圖3(c)給出了理論和實驗對比結果.實驗中圓柱的物理參數為:m1=0.016 kg,D=0.045 m,c1=0.01 N·s/m,k1=30 N/m.初始條件設置為y1(t)=0.001,NTET 的參數為:β=0.05,c2=0.02 N·s/m,k2=30 N/m,L≈L0=0.03 m,P=0.03 N.為了突出NTET 的減振效果,設計了線性吸能器(linear targeted energy transfer,LTET)減振實驗.LTET 的參數為:β=0.05,c2=0.02 N·s/m,k2=30 N/m,L≈L0=0.02 m,P=0.03 N.通過圖3(c)可以看出,當不安裝吸能器時(黑實線和圓圈),圓柱體振動幅值在共振流速區域有較大的幅值.安裝了NTET 后(紅點線和方形),圓柱體發生渦激振動的幅值有大幅減小,且鎖頻區域明顯變窄,說明有顯著的振動控制效果.雖然安裝 LTET(藍虛線和菱形)有一定的減振效果,但不明顯.理論預測和實驗結果對比較好,通過設計NTET 結構可有效抑制圓柱體渦激振動行為,且減振效果要明顯優于LTET.

圖3 (a) 實驗模型(正視圖);(b) 實驗模型(側視圖)和(c) 理論預測與實驗結果對比Fig.3 (a) Experimental model (front view).(b) Experimental model(side view).(c) Comparison between theoretical predictions and experimental results

圖3 (a) 實驗模型(正視圖);(b) 實驗模型(側視圖)和(c) 理論預測與實驗結果對比 (續)Fig.3 (a) Experimental model (front view).(b) Experimental model(side view).(c) Comparison between theoretical predictions and experimental results (continued)

2.2 參數分析

下面研究NTET 的質量、剛度以及預應力等參數對圓柱體渦激振動控制的影響,旨在設計出更有效的NTET 結構.應當注意的是,如Mehmood 等[25]所述,陣風和湍流引起的初始條件可能會對圓柱體渦激振動產生影響,本文在此不考慮這種影響.

2.2.1 NTET 質量對渦激振動控制的影響

本小節著重討論NTET 質量對渦激振動的影響.為避免NTET 質量對主體結構質量的影響,保持質量比β較小(β <0.1),同時控制β為單一變量.由式(2)和式(11)可知,預應力P的取值會影響方程中線性項和非線性項的大小,從而改變方程的解,因此本節只討論無預應力下NTET 結構質量對圓柱體渦激振動的影響.開展變質量比的實驗和理論研究,實驗參數如下:m1=0.016 kg,D=0.045 m,c1=0.01 N·s/m,k1=30 N/m,c2=0.02 N·s/m,k2=10 N/m,L≈L0=0.04 m.圖4 給出了不同質量比下實驗和理論對比的結果圖,對比結果較好.隨著質量比的增大,圓柱體振幅逐漸減小.此外,鎖頻區域隨著質量比增大有減小并向左移動趨勢.說明增大NTET 的質量可有效控制圓柱體渦激振動行為.

圖4 不同質量比下實驗結果和理論預測對比圖Fig.4 Comparisons between theoretical predictions with experimental results for different values of mass ratio

圖5(a) 給出了不同質量比下NTET 的振幅y2隨風速變化曲線.從圖中可以看出,在鎖定區域內,NTET 的振幅隨質量比增大而增大.從能量傳遞角度可以看出,安裝NTET 后,主結構圓柱體的能量會部分轉移到NTET 上,NTET 振幅越大,說明轉移能量越多,吸能效果越好.因此,圓柱體振幅也越小.此外,耦合頻率為耦合系統的線性特征之一,受控制方程中線性項的影響.令矩陣根據控制方程式(11) 和式(12) 寫出矩陣A使得,求出矩陣A的所有特征值后,能找到一組實部總為負數的復共軛特征值 λ1,λ2,這一組特征值的實部的絕對值即為系統的耦合頻率值.鎖頻區域隨著質量比的增大有向左遷移趨勢,這是因為系統的耦合頻率隨質量比增大有所減小,耦合頻率隨著風速變化出現了先較小后增大的趨勢,如圖5(b)所示.圖5(c)給出了β=0.05,U=1.4 m/s 時的圓柱體和NTET 的功能譜密度,圓柱體和NTET 的振動周期與功能譜曲線中第一個共振峰對應的頻率值相同,這說明圓柱體和NTET 的振動頻率一致,它們發生的是單周期響應,且保持同步行為.

圖5 不同質量比下,(a) NTET 振動幅值;(b) 系統的耦合頻率;(c) 圓柱體和NTET 的功率譜密度和(d) NTET 的能量傳遞效率Fig.5 (a) Vibration amplitude of NTET,(b) the coupled frequency,(c) power spectra density and (d) energy transfer efficiency for different values of the mass ratio

為進一步分析質量比對吸能效率的影響,深入研究了流固耦合控制系統的能量耗散問題[42].通過引入變量η=Wout(t)/Win(t) 表示能量傳遞效率,Win(t)表示輸入系統的總能量,Wout(t)表示NTET 的總能量,其表達式由以下給出

圖5(d)給出了U=1.4 m/s 不同質量比下的能量傳遞效率隨時間變化曲線.可以看出,質量比越大,能量傳遞效率越高.當系統振動達到穩態之后,能量傳遞效率也保持在穩定水平.因此,在預應力P接近于零時,隨著質量比β的增加,會使得NTET 的振幅增大,能量傳遞效率提高,從而圓柱體的振幅減小,減振效果得到增強.

2.2.2 NTET 彈簧剛度對渦激振動控制的影響

接下來著重討論NTET 的彈簧剛度k2對圓柱體渦激振動控制的影響規律.若彈簧初始狀態為拉伸狀態,那么改變彈簧剛度k2會導致預應力P改變.為了控制彈簧剛度k2為單一變量,使彈簧初始狀態長度L接近其原長L0,此時預應力P≈ 0.開展變剛度的實驗研究,實驗參數如下:m1=0.016 kg,D=0.045 m,c1=0.01 N·s/m,k1=30 N/m,c2=0.02 N·s/m,L≈L0=0.03 m,β=0.05.k2分別取30 N/m,50 N/m 和100 N/m.實驗和理論對比結果如圖6 所示,可以看出,在不同彈簧剛度下圓柱體振動隨流速變化表現出明顯的共振響應,該共振響應流速區域隨剛度增大沒有發生明顯變化.此外,隨著剛度k2的增大,圓柱體振動幅值在增大,這說明NTET 減振效果在減小.

圖6 不同彈簧剛度下實驗結果和理論預測對比圖Fig.6 Comparisons between theoretical predictions and experimental results

圖7(a) 給出了不同剛度k2下NTET 的振幅y2隨流速變化曲線,可以看出,鎖頻區域沒有發生明顯改變,在1 m/s～ 2 m/s 風速范圍內.這是因為剛度k2的變化只影響控制方程非線性項系數,對耦合頻率沒有影響,如圖7(b)所示.此外,隨著剛度k2的增加,NTET 的振幅y2明顯降低,說明減振效果在減弱.從能量耗散角度上看,彈簧剛度k2越大,彈簧發生形變越困難,振子m2振動響應越小,傳遞到NTET 上的能量也越小.若假設剛度k2→∞,彈簧形變幾乎為零,此時NTET 可視為集中質量跟隨主結構圓柱體一起振動,從而失去了減振效果.圖7(c)給出了k2=50 N/m,U=1.6 m/s 時圓柱體和NTET 的功能譜密度.同樣地,容易發現圓柱體與NTET 的振幅頻率一致,且保持同步行為.它們的振動頻率與第一個峰值對應的頻率相同,說明發生的是極限環振動.圖7(d)給出了剛度k2對能量傳遞效率的影響規律,當剛度增大時,能量傳遞效率顯著下降.當k2>30 N/m 時,振動達到穩態之后,傳遞效率已經跌至50% 以下.因此,在預應力P接近于零時,隨著NTET 彈簧剛度k2的增大,NTET 的振幅減小,能量傳遞效率降低,從而圓柱體的振幅增大,減振效果變弱.

圖7 不同彈簧剛度下,(a) NTET 振動幅值;(b) 系統的耦合頻率;(c) 圓柱體和NTET 的功率譜密度和(d) NTET 的能量傳遞效率Fig.7 (a) Vibration amplitude of NTET,(b) the coupled frequency,(c) power spectra density and (d) energy transfer efficiency of NTET for different values of k2

2.2.3 彈簧預應力對渦激振動控制的影響

根據P=k2(L?L0),得知預應力P的大小與NTET 彈簧剛度k2及其初始狀態伸長量?L=L?L0有關,且預應力P隨著?L的增大而增大.為控制單一變量,本節針對相同彈簧剛度k2,不同初始伸長量?L的情況研究NTET 預應力對圓柱體渦激振動的影響.也就是說,通過調節彈簧初始伸長量來改變NTET 的預應力大小.物理參數如下:m1=0.016 kg,D=0.045 m,c1=0.01 N·s/m,k1=30 N/m,β=0.05,L0=0.03 m,k2=10 N/m,c2=0.02 N·s/m.

圖8(a)給出了不同預應力下圓柱體振動幅值隨流速變化曲線,可以看出隨著預應力的增大,圓柱體振幅在鎖頻區域逐漸增大,說明減振效果在降低.由式(2)可知,當?L增大時,預應力增大,NTET 中的非線性剛度系數k2,2在減小,因此減振性能變弱.圖8(b)給出了不同預應力下NTET 的能量傳遞效率曲線.隨著預應力增大,能量傳遞效率在逐漸降低.當預應力P從0.23 N 繼續增大到0.33 N 時,圓柱體振幅幾乎不再增大,NTET 能量傳遞效率的下降速度也在變緩,說明減振效果不再顯著減弱.

圖8 不同預應力P 下,(a) 圓柱體振動幅值和(b) NTET 的能量傳遞效率Fig.8 (a) Vibration amplitude of the cylinder and (b) energy transfer efficiency of NTET for different values of P

3 結論

本文提出了一種非線性吸能器的渦激振動控制方法,首先基于能量法建立了非線性吸能器與圓柱體渦激振動耦合的動力學理論模型;然后通過設計實驗裝置,研究了非線性吸能器對渦激振動的控制效果,與理論預測進行了對比,驗證了理論模型的有效性;最后通過參數分析,研究了非線性吸能器各物理參數對圓柱體渦激振動控制的影響規律,揭示了非線性吸能器的控制機理,得到如下重要結論.

(1)理論預測和實驗結果顯示,非線性吸能器對渦激振動的減振降幅效果要明顯優于線性吸能器.

(2)在無預應力或低預應力條件下,非線性吸能器的質量越大、彈簧剛度越小,則能量傳遞效率越高,減振效果越好.

(3)在有預應力條件下,非線性吸能器彈簧預應力越小,導致線性剛度越小、非線性剛度越大,從而增大能量吸收效率,提高減振性能.