兩尺度Duffing 系統的動力吸振器減振研究1)

萬洪林 * 李向紅 * 2) 申永軍 ** 王艷麗

* (石家莊鐵道大學數理系,石家莊 050043)

? (石家莊鐵道大學機械工程學院,石家莊 050043)

** (石家莊鐵道大學省部共建交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室,石家莊 050043)

引言

破壞性的振動往往會導致機器本身性能、可靠性降低和產生噪聲污染等問題,振動系統附加動力吸振器是常見的減振方式之一.動力吸振器(dynamic vibration absorber,DVA)是一種通過與系統耦合進而吸收主系統振動能量,抑制其大幅振動的裝置[1].1909 年由Frahm[2]提出了無阻尼動力吸振器,其特點是只針對窄帶頻率有效.基于此,Ormondroyd 等[3]提出加入阻尼元件設計了經典的Voigt 式動力吸振器,相較無阻尼動力吸振器其減振效果更好,適用范圍更大.Ren[4]設計了一種新型的接地式動力吸振器,進一步提高了吸振器的減振效果.隨后,一些學者又對動力吸振器展開了一系列的改進與提高.徐振邦等[5]研制了一種隨外部激勵頻率變化調節吸振器幾何參數進而改變其固有頻率的機械式頻率可調吸振器.作者團隊在Voigt 型動力吸振器的基礎上進行了部分改進,如彭海波等[6]設計了一種附加接地負剛度的新型動力吸振器模型;隋鵬等[7]設計了一種含慣容和接地剛度的新模型.相較于傳統模型的減振效果,新型吸振器的減振效果更好,同時還拓寬了減振頻帶.

參數激勵存在于許多工程領域中,其非線性動力學和振動控制問題受到很多學者的關注.丁虎[8]分別通過兩種數值方法研究了兩種經典邊界條件下軸向變速黏彈性梁參激振動的穩定性問題.顧偉等[9]研究了預變形變轉速葉片在參數激勵下的非線性動力學特性.馬磊等[10]研究了船舶受參數激勵導致的大幅度橫搖運動問題,提出加入減搖鰭控制器來降低參數激勵對系統的危害.路一鳴[11]研究了受參數激勵的超長斜拉索振動特性及耦合黏滯阻尼器后的控制效果.Yang 等[12]提出調整旋轉柔性盤系統所受參數激勵位置相位角來抑制其橫向振動的方法.

作為一個經典的非線性模型,Duffing 型振子的振動控制問題被廣泛研究.Wang 等[13]研究了將動力吸振器應用到經典Duffing 型旋翼與甲板耦合系統中,并得出吸振器的最優放置位置.Taghipour 等[14]研究了Duffing 型Jeffcott 轉子系統耦合動力吸振器減振問題.Bronkhorst 等[15]將含有黏彈性元件的動力吸振器耦合到Duffing 系統來抑制系統振動.劉彬等[16]向軋機輥系的Duffing 型模型中加入吸振器,可以有效抑制軋機輥系垂直振動.Yabuno[17]提出向受參數激勵的Duffing 系統中加入線性反饋和非線性反饋來抑制系統主共振影響.Li 等[18]向固有頻率與參數激勵頻率為1:1 的混沌Duffing 系統中加入高斯白噪聲相位來抑制系統混沌.

目前各領域研究的大多是共振情形下的振動控制問題.事實上,實際工程系統常常會受到不同頻率干擾的外界因素影響.當激勵頻率與系統固有頻率存在量級差異時,系統變為了多尺度系統,此類系統存在復雜的振動,比如一直處于激發態的大幅高頻振動、也有激發態和沉寂態共存的簇發振動(也稱為混合模式振動)[19].例如,Simo 等[20]研究了受正弦低頻激勵的Duffing 振子與剛性梁耦合的機電設備中不同參數下表現出的簇發現象.文獻[21-22]研究了周期激勵下多尺度水輪機系統表現出的簇發特性.Zhang 等[23]研究了低頻外部激勵下準零剛度隔振器系統表現出的簇發振動現象.針對系統表現出的復雜簇發振動模式,早期的研究方法主要側重于實驗、數值模擬等方法.直到Rinze 等[24]將快慢動力學分析方法引入簇發現象的分析中.Izhikevich[25]將分岔理論引入簇發現象產生的機理研究中,相關學者才對一系列不同尺度系統的簇發現象與機理展開研究.陸啟韶等[26-27]利用快慢分析法對多尺度神經元系統表現出的同步簇放電振蕩進行研究,并揭示其轉遷機制.文獻[28-30]分別對具有多頻、高維、非線性等特點的多尺度模型進行分析,結合快慢分析法對其表現出的簇發現象及其產生機理展開了一系列研究.Li 等 [31]研究帶有慢參數激勵的單自由度Duffing 系統,發現了一種新型的周期混沌運動,此類運動具有明顯大幅張弛振動行為.Birkoben等[32]研究了原混沌蔡氏電路加入憶阻器的簇發現象,這種振動模式是軌線經過慢流形上的Hopf 分岔點發生大幅振蕩組成的.

目前,針對具有多尺度耦合系統的研究大多集中在簇發振動現象與機理分析.然而,此類系統中存在的振動往往不僅有大幅振動,而且也存在高頻振動,這些振動對系統的破壞作用不容忽視,因而深入研究多尺度耦合系統的振動控制問題是非常必要的.本文將考慮低頻參數激勵下Duffing 系統耦合吸振器的減振問題,基于快慢分析法和數值計算方法,重點探討耦合吸振器后整個系統的分岔機制、減振效果與機理、快慢效應與減振的密切關系等.

1 系統方程與穩定性分析

1.1 系統方程

具有參數周期激勵的Duffing 系統為

耦合吸振器后的動力學模型為

當參激頻率較小即 ω1? 1 時(1 為系統參數取值的最大量級),參數激勵量級相較于其他參數量級取值很小時,參數激勵為系統的慢過程,系統(3)和系統(4)為兩尺度耦合非自治系統.

為了深入研究參數激勵部分對系統的影響規律,依據參考文獻[30],令F=k1cos(ω1t).在固有頻率振動周期 ψ 內,取t在[t0,t0+ψ] 內變化,則F在內變化,由于 ω1很小導致F t0與非常接近,因此在時間段 ψ內,F可以近似看作常數,相應的非自治系統轉化為自治系統.

式(3)和式(4)變為如下式(5)與式(6)

其中,x1和x2是主系統位移和速度

其中,x1和x2是主系統位移和速度,x3和x4是吸振器位移和速度.

顯然系統(5)和系統(6)形式上為典型的自治系統,同時與非自治系統(3)與系統(4)的振動密切相關.這是因為系統(3) 與系統(4) 的參數激勵項k1cos(ω1t)在[ ?k1,k1] 內周期性變化,對應其自治系統(5)和系統(6)中,表示F有參數范圍 [ ?k1,k1].F的變化將可能導致自治系統(5)與系統(6)的穩定性發生變化或者產生分岔行為,而自治系統穩定性變化和分岔行為,將對非自治系統(3)與系統(4)的振動行為產生較大影響.具體的說如果自治系統(5) 與系統(6) 在以上參數范圍內具有穩定(不穩定)平衡點,則非自治系統(3)與系統(4)的振動具有明顯的收斂(發散)趨勢.如果自治系統中的F在[?k1,k1]上有分岔行為,往往導致非自治系統(3)與系統(4)的振動軌線發生改變.另一方面,激勵頻率ω1的大小決定參數F的變化速度.該變化過程越慢,自治系統的穩定性和分岔影響非自治系統的振動行為越明顯.另外F周期性的變化,會使得自治系統對非自治系統的影響周而復始的發生.因此研究自治系統中F為分岔參數時系統的動力學,對深入研究整個非自治系統的振動行為具有重要意義.

1.2 穩定性與分岔分析

下面考慮平衡點穩定性,其派生線性系統的特征值方程為

在點 (0,0) 的特征系數為

在不同平衡點處的特征值如下

其中

雖然平衡點不同,但影響特征值實部的均為參數b和F.當a1≥0,?1<0,?2<0 時,兩個平衡點的特征值為一對實部非正的共軛復數,平衡點穩定.a1<0,平衡點不穩定.

取定參數b=0 時,系統(5)分岔圖如圖2 所示,其中F=0 時,系統產生叉形分岔,實線為穩定平衡點,虛線是不穩定平衡點.

圖1 耦合線性吸振器的Duffing 系統Fig.1 Duffing system coupled with linear vibration absorber

圖2 系統(5)關于 F 的分岔圖Fig.2 The bifurcation diagram of system (5) with respect to F

其派生線性系統的特征方程為

在 (0,0,0,0) 的特征方程系數為

在平衡點特征值實部的表達式形式為

其中,r0取值見附錄1.

由特征值實部的表達式可以發現,特征值實部與系統(5)的參數b,F和系統(6)的參數c,k2和 ε有關.當參數滿足 α1≥0,α2≥0,?1<0,?2<0 時,平衡點的特征值實部均小于0 時,平衡點穩定.當參數滿足 α1<0 或 α2<0 時,平衡點不穩定.

取定 參數c=0.4,k1=1,k2=1.5,k3=1,ε=0.1,ω1=0.01,b=0,給出系統(6)分岔圖如圖3 所示,其中F=0 時,系統產生叉形分岔,實線為穩定平衡點,虛線是不穩定平衡點.雖然叉形分岔與未加吸振器的自治系統一樣,但是平衡點的穩定性具有明顯不同,并在下文中詳細闡述.

圖3 系統(6)關于 F 的分岔圖Fig.3 The bifurcation diagram of system (6) with respect to F.

2 減振效果與機理分析

下面研究在相同參數c=0.4,k1=1,k2=1.5,k3=1,ε=0.1,ω1=0.01,b=0下,系統(3) 和系統(4)不同的動力學行為,從而得到耦合吸振器后的減振效果,并給出系統減振機理解釋.

2.1 減振效果

圖4(a)為系統(3)位移時間歷程圖,此時系統處于大幅高頻振動的發散狀態,即系統一直呈激發態振動,并且軌線振幅趨于增大.圖4(b)是耦合吸振器后系統(4)的位移時間歷程圖,發現加入吸振器之后,系統的高頻振動大幅降低,出現小幅高頻的激發態與沉寂態相結合的混合振動模式,即簇發振動.圖5(a)為系統(3)相圖,圖5(b)為耦合吸振器后系統(4)的相圖.從相圖中很明顯看出,加入吸振器后,主系統位移振幅降低近50%,速度振幅大幅降低,由2 衰減到0.1.

圖4 位移時間歷程圖Fig.4 Displacement time history diagram

圖5 相圖Fig.5 Phase diagram

圖5 相圖(續)Fig.5 Phase diagram (continued)

2.2 減振機理分析

事實上,自治系統平衡點的穩定性對相應非自治系統振動模式的影響是非常明顯的.耦合吸振器之后,系統平衡點的穩定性變化,是減振的重要原因.下面給出系統(5)與系統(6)平衡點穩定的變化,導致系統(3)與系統(4)振動的變化,從而達到減振效果的機理分析.平衡點特征值實部最大值隨F的變化如下圖6 和圖7 所示.紅色虛線代表原始系統特征值實部,黑色虛線代表耦合吸振器系統的特征值實部.

圖6 (0,0) 與 (0,0,0,0) 特征值實部最大值Fig.6 The maximum real part of the eigenvalues of (0,0) and (0,0,0,0)

當F<0 時,(0,0) 平衡點特 征值為一對實部為0 的共軛純虛根,平衡點類型為中心.加入吸振器之后,(0,0,0,0) 平衡點特征值為兩對共軛復根,特征值實部最大值小于0,平衡點類型為漸進穩定的焦點,這使得系統(4)的軌線明顯的被平衡點吸引,因而振動幅值降低.

F>0時,平衡點特征值為一對實部為0 的共軛虛根,平衡點類型為中心.加入吸振器之后,平衡點特征值為兩對共軛復數,特征值實部最大值小于0,為漸進穩定的焦點,如圖7所示.耦合吸振器后的系統(6)特征值絕對值遠遠大于耦合前系統(5),導致系統(4)軌線被平衡點強烈吸引,從而振動幅值大大低于原系統(3).

圖7 與 特征值實部最大值Fig.7 The maximum real part of the eigenvalues of and

總之,耦合吸振器后,中心平衡點演變為漸進穩定的焦點.導致系統(3)的發散運動變為系統(4)的周期運動,同時位移振動幅度和速度大小都有顯著減小,從而主系統大幅高頻的發散振動得到抑制.這一機理將在后面的分析中詳細展示.

2.3 焦點式簇發產生機理

為了深入理解上述減振機理,并清楚展示自治系統(6)穩定性與分岔是如何影響非自治系統(4)的振動行為,采用快慢分析和轉換相圖進行詳細闡述.轉換相圖指的是系統(3)與系統(4)狀態變量隨慢變參激過程量變化而變化的過程,如圖8 所示,狀態變量x1隨慢變過程F=cos(0.01t) 變化的相圖.隨著時間的增加,F在 [ ?1,1] 之間緩慢周期性變化進而調控變量x1的運動.

快慢分析,即將慢變量F作為自治系統的調節參數,并給出自治系統的單參數分岔圖,即圖3 所示的x1與F的分岔圖.將狀態變量x1與慢變量F的轉換相圖圖8 和分岔圖圖3 疊加得到圖9(a).下面將圖9(a)分成兩部分,一部分是如圖9(b)所示的隨F增加,狀態變量x1的變化情況;另一部分是圖9(c)中隨F減小狀態變量x1的變化情況,圖中的箭頭表示軌線運動的方向.通過觀察疊加圖中的現象,來揭示系統中振蕩產生的動力學機理.

圖8 系統(4)轉換相圖Fig.8 Transformed phase portrait of system (4)

圖9 簇發現象的產生機理Fig.9 Generation mechanism of bursting phenomenon.

現在詳細描述一個周期的運動情況,假設軌線從P點出發,加入吸振器后的系統(4)軌線受到其相應自治系統(6)穩定平衡線的吸引,將沿著穩定的平衡線SE1向右平穩運動,當軌線經過點O時系統(6)發生叉形分岔,系統(4)軌線受到穩定平衡線的吸引后跳躍到平衡線SE2上的點C1.因為SE2上的點是穩定焦點,所以軌線將圍繞SE2產生較大幅值的振動形成激發態.在持續受到穩定平衡點的吸引下,振幅逐漸減小直到在D1點時與平衡線近似重合,激發態消失.當慢變量F=cos(0.01t) 到最大值E1(F=1)后向左折返,然后沿著穩定平衡線向左運動,系統一直處于沉寂態.軌線運動到G1點時由于叉形分岔臨界點點O,又由于穩定平衡線SE1的吸引,使得軌線到達點Q,表現為圍繞SE1振蕩的激發態且振幅逐漸減小,當慢變量F=cos(0.01t) 達到最小值(F=?1)后向右運動,并逐漸與平衡線重合進入沉寂態,運動到點P后完成一個周期的運動,下一個周期將沿著平衡線SE3做類似的運動.因為激發態和沉寂態與平衡線上的穩定焦點密切相關,所以這個過程也稱為點-點型簇發.

下面給出未加入吸振器時的振動分析.圖10 是系統(3)轉換相圖與平衡線的疊加圖,圖10(a)是F增大方向,圖10(b)是F減小方向.可以看出,系統(3)軌線在圍繞SE1-SE2-SE3振蕩的過程中,由于系統(5)的SE1-SE2-SE3平衡線上的點都是中心,對軌線的吸引力很弱,導致整個系統(3)處在高頻大幅振動的激發振動狀態.

圖10 系統(3)轉換相圖與分岔圖疊加Fig.10 The overlap of transformed phase portrait and bifurcation diagram of system (3)

加入吸振器自治系統平衡線類型發生改變,漸進穩定的平衡線SE1-SE2-SE3吸引性明顯增強,導致非自治系統軌線的運動發生變化,進而系統振動幅值得到抑制.另一方面,叉形分岔使得自治系統多個穩定吸引子共存,導致非自治系統軌線在不同穩定吸引子之間跳躍.由此可見,當參數激勵項為緩慢過程時,其自治系統的動力學行為,對激勵系統的振動具有明顯的控制調節作用.

3 參數激勵對吸振器減振的影響

當參數激勵在一定范圍內發生變化后,加入的線性吸振器能否對系統(3)仍有減振效果需要進一步探討.因此,本節分析了當參數激勵幅值k1和頻率ω1發生變化后,加入的吸振器對系統(3)的減振效果.

3.1 參數激勵幅值 k1

參數c,k2,k3,ε,ω1和b與第2 節取值相同.改變激勵幅值k1,討論當系統(3)受到幅值逐漸增大的參數激勵時,吸振器對系統(3)振動的抑制效果.

圖11 和圖12 分別為參數激勵幅值k1取0.1 和10 時,系統加吸振器前后的位移時間歷程.圖11(a)展示了系統(3)以大幅高頻的形式振動,并且有緩慢的發散趨勢.圖11(b)為耦合吸振器后主系統位移的振動,系統的大幅高頻振動逐漸演變為振幅收窄的振動,主系統振幅下降20%左右,主系統發散振動得到抑制.當激勵幅值取為10,從圖12(a)中可以看出系統以大幅高頻模式振動,處于明顯的發散狀態.圖12(b)可以看出,加入吸振器后系統呈現微幅高頻和大幅低頻的混合模式振動,發散狀態得到明顯抑制,振幅下降60%左右,此時吸振器的減振效果非常明顯.從以上發現吸振器可以很好的抑制隨著參數激勵幅值增大導致的大幅振動.

圖11 參數激勵幅值 k1=0.1 位移時間歷程圖Fig.11 Displacement time history diagram for parameter excitation amplitude k1=0.1

圖12 參數激勵幅值 k1=10 位移時間歷程圖Fig.12 Displacement time history diagram for parameter excitation amplitude k1=10

另一方面,從圖4(a)與圖12(a)對比可以看出,未加入吸振器的系統振動處于高頻大幅振動狀態,此時整個系統一直處于激發態,沒有沉寂態.加入吸振器后系統呈現小幅激發態與沉寂態交替出現的張弛振動(簇發振動),從而達到減振效果.由此可見由單一振動模式向混合振動模式轉變是減振的一種表現形式.

自治系統的穩定吸引子對非自治系統軌線的調控范圍 [ ?k1,k1] 顯然與參數激勵幅值k1有關.圖13(a)和圖13(b)分別為參數激勵幅值k1取0.1 和10 時,非自治系統(4)轉換相圖與自治系統(6)分岔圖的疊加.盡管紅色平衡線上的點均為漸進穩定的焦點,但對軌線的收斂效果卻有很大的差異.其原因是當激勵幅值k1取0.1 時,非自治系統(4)軌線受自治系統(6) 的平衡線上漸進穩定焦點的吸引范圍在[?0.1,0.1] 之間;當激勵幅值k1取10 時吸引范圍增大為 [ ?10,10].非自治系統(4)軌線受自治系統(6)穩定平衡線吸引的調控范圍增大,導致其大幅振動的軌線有足夠的范圍收斂到漸進穩定的平衡線上,因而響應幅值明顯降低,吸振器的減振效果也更加明顯.

圖13 系統(4)轉換相圖與分岔圖疊加Fig.13 The overlap of transformed phase portrait and bifurcation diagram of system (4)

3.2 參數激勵頻率 ω1

參數c,k2,ε,k1,k3和b與第2 節取值相同.改變參數激勵頻率 ω1,討論系統(3)受到不同頻率的參數激勵時,吸振器對系統(3)的減振效果.

給出 ω1分別取0.02 和0.1 時加入吸振器前后系統(3)與系統(4)時間歷程圖的疊加圖,如圖14(a)和圖14(b) 所示.可以發現,當參數激勵頻率 ω1從0.02 增大到0.1 時,系統(3)的軌線均呈發散的趨勢,但是系統(4)的軌線均呈周期性簇發振動,且幅值明顯小于系統(3)的幅值.說明在較大的參激頻率范圍內,線性吸振器都可以有效的抑制主系統的振動.

圖14 系統(3)與系統(4)時間歷程圖疊加Fig.14 The overlap of time history diagrams of system (3) and system (4)

圖14 系統(3)與系統(4)時間歷程圖疊加(續)Fig.14 The overlap of time history diagrams of system (3) and system (4) (continued)

4 結論

本文研究了線性吸振器對低頻參激下兩尺度耦合Duffing 系統的振動控制.發現主系統的大幅高頻發散振動,在耦合吸振器后出現了典型的激發態和沉寂態耦合的混合簇發振動(混合振動),且振動幅值明顯降低.因而得出單一高頻振動模式向混合振動模式轉變,是系統振動抑制的一種表現形式.基于自治系統與非自治系統動力學行為的相關性,結合快慢分析給出了減振機理解釋.通過比較耦合吸振器前后系統的穩定性、時間歷程圖、相圖和特征值實部情況發現主系統響應呈現出圍繞中心大幅高頻的發散振動,在耦合線性吸振器后,轉變為圍繞漸進穩定的焦點的張弛振動,主系統的振動在很大程度上得到抑制.其中自治系統平衡點穩定性增強是非自治系統減振的重要原因之一.另一方面,雖然耦合吸振器前后系統均發生叉形分岔,自治系統多個吸引子共存,但由于吸振器的加入,自治系統平衡線對非自治系統軌線的吸引性增強,軌線在不同吸引子之間的跳躍次數減少,是減振的另一個重要原因.研究還發現,參數激勵幅值越大,吸振器的減振效果越好.在較大的參數激勵頻率范圍內,線性吸振器對系統振動都有明顯抑制效果.

附錄

根據費拉里公式,系統(6)的特征方程(11)等價于