連接組合結構協同動力學拓撲優化設計1)

文明 王棟

(西北工業大學航空學院,西安 710072)

引言

拓撲優化的目的是在給定的設計區域內,尋求結構最佳的材料分布與傳力路徑,使結構的力學性能及響應指標在設定的靜、動力載荷作用下達到最優[1-4].當結構的初始構型設計無法借助于設計者以往的經驗確定時,拓撲優化能夠在給定的載荷和一定的約束條件下搜尋出創新性的結構構型設計,充分發揮材料性能潛力,進而顯著提高工程設計的效率和質量[5-8].因此,拓撲優化設計是目前工程設計領域非常重視的課題.然而傳統的與結構拓撲或形狀相關的優化設計問題通常只是對單個承力構件或部件進行的[9-12].

實際工程結構,如火箭、衛星、太陽能帆板等結構,都是由許多零部件,通過各種方式連接組合而成[13-17].而結構的各部件(或子結構)之間,以及結構與周圍基礎環境的連接狀況,如連接形式、位置、約束性能等,都會對結構的整體性能產生很大的影響,因而也是結構完整性設計不可或缺的重要組成部分[18-20].連接構件將各承力構件緊密聯系在一起,使其能夠很好地發揮各自的作用.連接構件的約束狀況及性能,對各部件之間載荷或振動能量的傳遞方式與路徑,都有非常重要的影響,進而又影響整個結構的靜、動態特性及其對外載荷的響應.僅僅追求結構中某個局部件性能的最優,并不能使系統整體性能達到最優,而組合結構的整體最佳性能需要各組成部分特性的相互匹配與協調.對于組合結構的拓撲優化設計,不同的連接構件布局及約束性能對應著完全不同的最優材料分布.若僅對單一承力構件進行優化設計,忽略了連接約束對傳力路徑的影響,則所得到的拓撲構型將無法有效地傳遞外載荷和振動能量.因此在結構拓撲優化中應將連接約束與承力構件作為一個整體進行設計,在優化承力構件拓撲構型的同時優化連接構件的布局設計,以便獲得連接組合結構整體意義上的最優材料布局.

目前已有相關學者對連接約束的型式、數量、位置和剛度與結構整體性能之間的關系做了一些分析和設計優化研究.Zhu 等[21]在對結構的拓撲進行優化時,將連接構件傳遞的載荷也作為一種約束條件.優化結果表明,只有當連接約束性能分布均衡時,組合結構內的應力水平才能得到有效控制.喬赫廷等[22]研究了結構的構型與連接方式協同靜力學優化設計問題.結果表明結構的拓撲構型設計與連接構件的布局密切相關,兩者協同優化設計對改善結構的內力分布至關重要.馬振云等[23]研究了連接剛度和位置變化對外力傳遞性能的影響.通過調整連接構件的約束剛度和位置,可使傳遞的載荷在各連接構件上得到均衡配置,并導致結構內的應力水平趨于均勻.田瑞等[24]研究了梁結構支承約束反力的均衡設計問題.通過調整支承連接構件的約束剛度,可使梁結構各支承反力達到一致或按剛度大小分配,從而避免了某些連接構件由于約束力過大而提前破壞或失效等問題.當前人們對連接約束條件的分析與優化設計,主要集中于改善連接約束構件載荷分布或連接組合結構的靜力學性能.對連接組合結構的拓撲優化設計,并通過改變連接約束構件的分布以改善結構的整體動力學性能,降低組合結構動響應的研究還相對較少.

本文開展具有連接約束構件的組合結構協同動力學拓撲優化設計研究.首先以彈簧連接單元模擬工程中承力構件之間的連接約束與承載狀況[25],基于材料屬性的有理近似方法(rational approximation of material properties,RAMP)[26],建立了連續體結構在簡諧激勵作用下的協同拓撲優化模型.隨后以組合結構整體動柔順度最小(即動剛度最大)為設計目標[27],以承力構件材料用量和彈簧連接單元數量為約束條件,采用移動漸近法(method of moving asymptotes,MMA)[28],對整個結構的拓撲構型與彈簧連接單元布局進行協同優化設計.最后通過兩個典型算例驗證了本文所提協同動力學優化模型的有效性和優化算法的可行性,并與傳統的單體式結構優化結果進行對比,充分展示了連接約束構件的存在與布局設計對組合結構材料分布以及動力性能的影響.

1 連接組合結構協同拓撲優化模型

1.1 線性系統穩態振動響應

首先采用有限元法對連續體結構進行離散化處理,則系統受迫振動的運動方程為

式中,K,M,C分別是N × N階的結構剛度、質量和阻尼矩陣,N表示結構的自由度數.u(t)和f(t)均為N維列陣,分別表示結構的位移響應與外激勵.假設結構受到簡諧外激勵的作用

其中,F是外激勵幅值N維列陣.ω是外激勵圓頻率(弧度/秒).在簡諧載荷的作用下,線性系統的穩態響應也是同一頻率的簡諧運動

式中,U是結構位移響應幅值列陣.由于要考慮結構內的阻尼,U是復數.將式(2)和式(3)代入振動方程(1),消去時間項,得到頻域內振動系統響應的特征方程

式中,Kd=K?ω2M+jωC是系統的動剛度矩陣,是激振頻率的函數.求解方程(4)可得結構響應的幅值列陣U,進而由式(3)可以得到時域內結構的動響應u(t).

1.2 拓撲問題描述與協同優化模型

假設一個組合結構由兩個承力構件組成,如圖1所示,連接構件將構件1 的節點i與構件2 的節點j緊密聯系在一起.以彈簧連接單元模擬連接構件在i與j兩節點之間的約束作用,該連接單元由能夠同時約束相對拉伸變形和剪切變形的復合彈簧組成.于是,連接單元的節點位移列陣可表示為

圖1 連接約束力學模型Fig.1 Mechanical model of a linkage member

假設傳遞拉伸力的剛度系數為kt,傳遞剪切力的剛度系數為ks.剪切約束剛度與拉伸約束剛度相互獨立,彼此間沒有耦合效應,也不考慮連接約束彈簧的質量和阻尼.則彈簧連接單元的等效剛度矩陣可表示為

為了求解組合結構的拓撲優化問題,首先需建立結構的協同優化數學模型.與以往不同的是,此時結構的設計域是不連通的,各承力構件僅通過連接構件相互耦合,且連接構件的最優位置分布亦將采用拓撲優化的方式確定.以結構動柔順度Cd(動剛度的倒數)最小為設計目標,以承力結構材料體積與彈簧連接單元數量作為約束條件,其拓撲優化列式為

式中,τ是拓撲設計變量列陣,其中ρi表示承力構件中單元的相對密度,ηi表示彈簧連接單元的相對剛度,NE代表承力構件的單元總數,n代表彈簧連接單元的總數.V是優化后承力結構的體積,fv是承力構件區域的總體分比,則fvV0即為優化結束后剩余的承力構件材料體積上限值.Πmax代表彈簧連接單元的數量上限值.ηmin是彈簧連接單元相對剛度ηi的下限,ρmin是承力構件單元的相對密度ρi的下限,采用它們是為了避免結構剛度矩陣出現奇異性,本文取ηmin=ρmin=0.001.通過承力構件中單元的相對密度和彈簧連接單元相對剛度來描述承力構件的拓撲構型與連接構件的布局.

本文以變密度法中有理近似材料(RAMP)模型統一對承力構件的單元剛度矩陣和彈簧連接單元的剛度矩陣進行插值[25]

2 靈敏度分析

假設外激勵不依賴于結構的拓撲設計變量.由動柔順度的定義式(8),其對承力構件每個單元設計變量的一階導數可由如下公式計算[9]

式中,(FTU)*是(FTU)的共軛復數,Re(·)表示對括號里的值取實部.可見結構動柔順度對設計變量的一階導數歸結為結構的結點位移對設計變量的一階導數.由方程(4)兩側同時對設計變量ρi求導,經過移項后可得

將式(14) 代入式(13) 可得結構的動柔順度Cd對承力構件單元拓撲變量的一階導數表達式

此外,還要在各承力構件區域內運用啟發式靈敏度過濾技術[29],對動柔順度靈敏度分別進行再分配處理,以避免各構件相互之間的干擾并消除優化過程中的棋盤格現象,保證優化結果的數值穩定性.

3 算例分析

本節用兩個二維平板結構算例驗證本文所提方法的可行性,展示連接組合結構協同優化效果、結構的拓撲構型與彈簧連接單元分布規律.假設板的厚度均是10 mm,材料的彈性模量E=200 GPa,泊松比0.3,密度7800 kg/m3.僅考慮承力結構的阻尼,采用比例阻尼模型:C=αMp+βKp,其中α=150,β=10?5,Mp和Kp分別是平板結構的質量和剛度矩陣.彈簧連接單元的拉伸剛度系數kt與剪切剛度系數ks均為500 MN/m,簡諧激勵幅值F=10 kN.優化過濾半徑為單元尺寸的1.5 倍,優化過程收斂條件設置為相鄰兩次迭代各設計變量的最大改變量小于0.01.

3.1 雙板彈簧連接結構

圖2 所示的雙板組合結構,左側邊界固支,在兩板之間要求最多設置4 個連接約束構件.將兩個承力板分別劃分成 50 × 50 的四結點平面應力單元網格,材料體分比fv=0.35.初始設計時彈簧連接單元布滿整個連接區域,共有51 個連接構件位于承力構件的相關節點之間.初始設計變量均給定為0.35.簡諧激勵頻率ω/(2π)=100 Hz.

圖2 雙板彈簧連接組合結構Fig.2 A combined structure of two panels with spring linkage members

圖3(a)示出了按照以上介紹的協同拓撲優化方法得到的連接組合結構構型設計,其中黑色水平線表示彈簧連接單元的最優位置.彈簧連接單元分別位于上下兩側,其中上側兩個連接單元之間有3 個單元尺寸的間隔距離,而下側的兩個連接單元平行相連(即分別位于同一組承力單元的上下節點處).由于兩個承力構件間只在上下處連接,因此外側承力構件先將外載荷分別傳至上下彈簧連接處,通過連接構件傳遞到內側承力構件,然后再傳至固支邊界上.內側構件的材料分布上下基本對稱,而外側構件的構型可以視為是由兩個穩固的三角形構件組成.

圖3 連接組合結構拓撲優化構型對比Fig.3 Comparison of topology configurations between the combined structure and the integral one

圖4 繪出了協同優化設計的動柔順度和彈簧連接單元數量的迭代收斂過程.初始設計時,彈簧連接單元的數量并不滿足約束條件(0.35 × 51=17.85 >4).隨著優化過程的持續,連接單元的數量約束很快就得到滿足,而且目標設計函數也穩步地收斂到最小值.

圖4 協同優化設計目標函數與約束函數迭代過程Fig.4 Iterative histories of the design objective and linkage member number of the collaborative topology optimization

作為對比,若人為地將4 個彈簧連接單元平行分布于承力構件上下緣最外側單元的兩組節點之間.這時只對承力構件的拓撲構型進行優化設計,所得結果如圖3(b)所示.此時組合結構的拓撲構型與圖3(a)基本相同,只是由于上側的兩個彈簧連接單元平行相連,使外側構件的斜撐桿上端也向上移動了一定的距離.從而使外側承力構件連接處沒了那一段連接平臺,如圖中的藍圈所示,導致結構的動柔順度也會有一定的改變.

而傳統的單體式結構拓撲優化所得構型如圖3(c)所示.此時的材料布局相對更簡潔一些,外力傳遞到固定邊界更加直接.特別是垂直外激勵的一部分將沿著上緣構件直接傳遞到固定邊界上,不會出現傳遞分散的現象.雖然單體結構的框架式構型也會通過上下連接構件所在的位置,但外側區域構型僅有一個三角形.即若從單體結構的拓撲優化構型圖3(c)出發,在指定的位置用連接構件替換原來的材料,卻無法獲得組合結構協同優化的拓撲構型.

表1 列出了以上三種情形的結構拓撲優化數值結果.可以發現組合結構的動柔順度均大于單體式結構的相應值,即連接組合結構的動剛度略小一點.這首先是由于組合結構構型變化所致,導致組合結構對簡諧激勵的動響應有所增大.其次,由于連接彈簧的數量較少,連接構件的使用斷開了沿上下緣分布的主承力結構件,不可避免地削弱了結構的局部剛度,使組合結構的整體剛度有一些損失.

表1 拓撲優化結構的動柔順度以及前二階固有頻率對比Table 1 Comparison of the optimal dynamic compliance and the first two natural frequencies

由表1 還可以發現,人為布置連接構件所得到的組合結構動柔順度相比于協同優化設計所得結果要稍大一些(增加了5.7%).由此可知: 雖然兩者的拓撲構型基本一致,但組合結構的協同優化構型設計整體動剛度更大.這充分體現了連接組合結構拓撲構型與連接構件布局的協同優化設計的益處,同時也表明了連接構件的布局設計對結構整體性能會有一定的影響.

作為進一步的研究,若將連接彈簧單元數量上限增至8 個,其余參數均保持不變.則協同拓撲優化后結構的構型設計相比于4 個彈簧連接單元時所得的構型基本一致,見圖5 所示.彈簧連接單元最優布局為下側連續分布4 個彈簧連接單元,上側靠內部的一個彈簧連接單元與外部連續分布的三個彈簧連接單元相隔兩個單元的距離.雖然組合結構的動柔順度較只有4 個彈簧連接單元所得構型的動柔順度有所減小(5.143 5 J),但仍然大于單體結構的動柔順度,這也從另一個方面表明組合結構的構型變化對其整體剛度的影響更大一些.

圖5 連接組合結構拓撲優化構型(8 彈簧連接單元)Fig.5 Configuration of the combined structure of two panels with eight spring linkage members

深入研究發現連接組合結構的前二階固有頻率均比單體式結構相應的固有頻率要大一些,如表1所示,而且協同優化構型設計的第一階固有頻率最大.圖6 分別示出了兩種結構的前二階固有振型.可以看到,單體式結構的前二階固有振型主要是上緣水平桿件的局部彎曲變形[30].而協同優化所得組合結構的第一階固有振型是結構的整體變形.第二階固有振型雖也是局部變形,但主要發生在結構外側構件的三角支撐區域,其局部剛度明顯比單體式結構的上緣水平構件更大.這就導致了連接組合結構的前二階固有頻率,明顯大于單體結構固有頻率的現象出現.由此可見,在連接組合結構的動力學拓撲優化過程中考慮連接構件的存在,由于所得構型的不同,對提高結構的振動特性也會有一定的幫助作用.

圖6 結構前二階固有振型對比Fig.6 Comparison of the first two natural modes between the combined and integral structures

3.2 固支深梁連接結構

圖7 所示的組合深梁結構,左、右兩端固定.假設在各承力構件之間均設置4 個彈性連接構件,但其位置暫時無法確定.分別將每一段梁劃分成50 ×30 的網格.加載點位于組合結構的中心處,激勵頻率ω/(2π)=200 Hz.材料體分比fv=0.4.

圖7 連接組合深梁結構Fig.7 Combined deep beam with spring linkage members

組合深梁結構拓撲構型與連接約束單元布局的協同優化結果如圖8(a)所示.同時,圖8(b)示出了各將4 個彈簧連接單元分別布置于靠近上、下緣單元的兩組節點處得到的組合結構拓撲優化構型.作為對比,傳統單體式結構拓撲優化構型設計如圖8(c)所示

圖8 連接組合結構與單體結構拓撲優化構型對比Fig.8 Comparison of topology configurations between the combined deep beam structure and integral one

可以看到三種情形下所得結構的拓撲構型優化結果各不相同.協同優化所得組合深梁結構的構型(圖8(a))與單體式結構的材料分布(圖8(c))較為相似,外激勵先通過中間的X 形構件傳遞到外框,然后再通過斜的外框傳遞到固定邊界.外框較粗為主要承力結構件,中部形成了一個穩定的六邊形構型.但協同優化設計將彈簧連接單元置于主承力構件上,使得中部連續的六邊形出現斷開現象.從而導致其中部X 形狀承力構件相比于單體式結構中部的X 承力構件尺寸更大,且各傳力路徑之間保持相互正交[3].

而指定連接構件位置所得到的組合深梁結構拓撲構型(圖8(b)),由于彈簧連接單元位于梁的上、下外側,使得中間承力構件形成了比較復雜的傳力路徑.框架式構件組合體將外激勵先傳遞到連接約束處,再通過斜外框傳遞到結構的固定邊界.

表2 列出了三種情形結構拓撲優化數值結果.與前例一樣,單體式結構的動柔順度最小.連接組合結構的動柔順度Cd比單體結構的優化結果分別大了12.4%和19.4%,而且人為布置連接構件所得拓撲構型的動柔順度增加較多.表明組合結構拓撲構型與連接約束布局協同優化設計能更有效地抵抗外激勵的作用,避免了人為布置連接構件位置對連接組合結構整體剛度可能造成的損失.

表2 拓撲優化結構的動柔順度以及前二階固有頻率對比Table 2 Comparison of the optimal dynamic compliance and the first two natural frequencies

與前例不同的是,經過拓撲優化后,雖然三種構型的第一階固有頻率都有了很大的提高,使得外激勵頻率遠離結構的共振區.但連接組合結構的前二階固有頻率均明顯小于單體式深梁結構的結果,這顯然是結構拓撲構型變化所致.因為優化后所得構型的前二階振型均為整體變形,單體式結構比連接組合結構的動剛度更大,最終使得連接組合結構的前二階固有頻率低于單體結構的相應值.

圖9 分別示出了拓撲優化后結構振動的變形幅值圖.可以看到三種結構的最大位移響應均出現在外激勵作用點處.協同拓撲優化所得構型與單體式拓撲優化所得構型的變形類似,而指定了連接構件位置的組合結構的中間段彎曲變形比較顯著,這與中部承力結構件比較纖細有一定的關系.相反,協同優化組合結構與單體式結構均沒有非常明顯的變形段.

圖9 連接組合結構與單體式結構動態變形對比Fig.9 Comparison of the structural dynamic deformations between the combined and integral deep beams

4 結論

本文研究了連接組合結構協同動力學拓撲優化問題,在設計承力構件拓撲構型的同時,也確定了連接構件的最優布局.以彈簧連接單元模擬工程結構中的連接約束構件,建立了分別以承力構件材料體積和彈簧連接單元數量為約束,在簡諧激勵作用下以連接組合結構動柔順度最小為目標的拓撲優化模型.利用兩個典型平面結構動態拓撲優化設計算例,驗證了所提優化模型的有效性和優化算法的可行性.分析了連接約束構件的存在及其布局設計對結構優化構型設計的影響,并比較了兩種結構的優化數值結果.研究結果如下.

(1) 連接約束的存在對優化結構的構型以及傳力路徑有較大的影響.由于承力構件之間僅靠連接約束構件連接,施加的外激勵必須通過連接約束構件才能最終傳遞至結構的固定邊界.

(2) 在相同承力構件體積約束的情況下,不論是最優連接構件布局對應的拓撲構型還是指定連接構件位置對應的構型,連接組合結構的動柔順度總是大于相應單體式結構拓撲優化結果.這是由于原本連續的設計域被人為斷開導致結構的整體剛度有所下降.而增大連接約束的剛度或數量,對提高結構的性能會有一定的彌補效果.

(3) 在相同連接構件數量約束的情況下,連接組合結構協同優化設計所得的動柔順度總是小于人為布置連接構件所得結果.充分說明連接構件位置設計對結構構型的影響,最優的連接構件位置設計使結構抵御外激勵的能力更強,所得結構的響應會進一步降低.體現了協同動力學優化設計獨特的優點.

(4) 連接約束構件的存在,在改變優化結構構型的同時,也會改變結構的固有振型.合理的連接約束布局,能避免結構局部模態的出現,從而顯著提高結構的動力特性,亦為后續組合結構的詳細設計過程提供了更加優異的構型設計參考.