基于結(jié)構(gòu)圖譜的小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)新范式

摘要 計(jì)算教學(xué)的關(guān)鍵是強(qiáng)化與計(jì)算相關(guān)的概念、公式、命題的理解，幫助學(xué)生從程序化操作走向理解性應(yīng)用，形成靈活合理運(yùn)算的自覺(jué)意識(shí)。結(jié)構(gòu)圖譜能通過(guò)層次明晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)圖的呈現(xiàn)，幫助學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)動(dòng)態(tài)發(fā)展的過(guò)程，進(jìn)行不同表征內(nèi)部的轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)了知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的順序，在知識(shí)表征過(guò)程中形成結(jié)構(gòu)化、直觀化的理解，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的理解進(jìn)階。教學(xué)中針對(duì)不同知識(shí)點(diǎn)，以多層結(jié)構(gòu)圖譜促進(jìn)計(jì)算方法生長(zhǎng)化，以多元結(jié)構(gòu)圖譜促進(jìn)計(jì)算理解結(jié)構(gòu)化，以多維結(jié)構(gòu)圖譜促進(jìn)計(jì)算應(yīng)用多樣化。

關(guān)? 鍵? 詞 結(jié)構(gòu)圖譜 小學(xué)數(shù)學(xué) 計(jì)算教學(xué) 理解進(jìn)階

引用格式 楊熠.基于結(jié)構(gòu)圖譜的小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)新范式[J].教學(xué)與管理，2022（35）：38-41.

結(jié)構(gòu)圖譜是學(xué)習(xí)者針對(duì)某一學(xué)習(xí)內(nèi)容，根據(jù)自己的思維過(guò)程并依據(jù)一定的關(guān)系，用簡(jiǎn)要的文字、符號(hào)、圖形等畫(huà)出層次明晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)圖的過(guò)程[1]。有別于幾何直觀或思維導(dǎo)圖，結(jié)構(gòu)圖譜并不只是一張靜態(tài)的圖示，而是由多種、多張圖示動(dòng)態(tài)發(fā)展而成，有直線型、網(wǎng)狀型、輻射型等表現(xiàn)形態(tài)。結(jié)構(gòu)圖譜可以幫助學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)動(dòng)態(tài)發(fā)展的過(guò)程，進(jìn)行不同表征內(nèi)部的轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的順序，在知識(shí)表征過(guò)程中形成結(jié)構(gòu)化、直觀化的理解，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的理解進(jìn)階。

計(jì)算是抽象的，計(jì)算教學(xué)要強(qiáng)化與計(jì)算相關(guān)的概念、公式、命題的理解，幫助學(xué)生從程序化操作走向理解性應(yīng)用，形成靈活合理運(yùn)算的自覺(jué)意識(shí)。計(jì)算的理解與應(yīng)用是一個(gè)過(guò)程，從基于已有經(jīng)驗(yàn)的初始理解，到思維碰撞產(chǎn)生的生生互動(dòng)，再到結(jié)構(gòu)化的理解關(guān)聯(lián)形成，最后到基于理解的遷移和運(yùn)用，無(wú)不需要在多元表征基礎(chǔ)上建立相互之間的聯(lián)系。因此，我們需要通過(guò)直觀、結(jié)構(gòu)化、生長(zhǎng)性的結(jié)構(gòu)圖譜，改進(jìn)和促進(jìn)小學(xué)計(jì)算教學(xué)。

一、以多層結(jié)構(gòu)圖譜促進(jìn)計(jì)算方法生長(zhǎng)化

依據(jù)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的順序和學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解過(guò)程，可以形成線性發(fā)展的結(jié)構(gòu)圖譜。學(xué)生對(duì)計(jì)算的理解是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程：先依據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)產(chǎn)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的初步理解，接著通過(guò)交流、比較后得到計(jì)算的一般方法，再在實(shí)際應(yīng)用中達(dá)成對(duì)“算法”的反復(fù)理解，實(shí)現(xiàn)“算法”內(nèi)化。但教學(xué)中教師往往只重視通過(guò)一次圖示幫助學(xué)生理解“為什么要這樣算”，而忽略了在思維可視化背景下前期和后期的思維結(jié)構(gòu)化，從而造成學(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷計(jì)算思維的生長(zhǎng)過(guò)程，對(duì)運(yùn)算意義的理解不全面。因此，在計(jì)算方法的學(xué)習(xí)過(guò)程中，需要通過(guò)思維線性推進(jìn)的路徑實(shí)現(xiàn)理解進(jìn)階。從展示學(xué)生初始思維狀況到歸納比較得出合理算法再到深入理解算法背后的算理，再到打破固定思維模式，形成靈活運(yùn)算意識(shí)，最后感受算法發(fā)展歷史，體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化。

如人教版《數(shù)學(xué)》三年級(jí)下冊(cè)兩位數(shù)筆算乘法“18×12”的教學(xué)。

第一次，算法層面，鼓勵(lì)學(xué)生自由表征算法并分析不同算法的聯(lián)系與區(qū)別。

（1）學(xué)生思考，交流，匯報(bào)。教師出示點(diǎn)子圖，引導(dǎo)學(xué)生在點(diǎn)子圖上圈一圈，用直觀圖示表示自己的想法。

（2）小結(jié)：把其中一個(gè)因數(shù)拆成兩數(shù)相乘、相加或相減的形式，不同方法的計(jì)算結(jié)果都是相同的。按照所應(yīng)用的不同運(yùn)算定律進(jìn)行分類(lèi)，得到類(lèi)似18×2×6的一類(lèi)或18×10＋14×2的一類(lèi)，進(jìn)而明白不同計(jì)算方法背后算理的區(qū)別，加深理解。

（3）結(jié)合17×11，思考哪一種方法是計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的通用方法。學(xué)生討論后得出：把其中一個(gè)兩位數(shù)拆成整十?dāng)?shù)加一位數(shù)的方式是通用的計(jì)算方法。

第二次，算理層面。怎樣把上面的通用算法用豎式的形式表示出來(lái)？學(xué)生嘗試、討論，把點(diǎn)子圖和乘法豎式相結(jié)合，理解乘法豎式的算理（如圖2），掌握乘法豎式計(jì)算方法。

第三次，靈活應(yīng)用。兩位數(shù)乘兩位數(shù)不一定要用豎式計(jì)算，如計(jì)算25×12，轉(zhuǎn)化為25×4×3計(jì)算最簡(jiǎn)便；計(jì)算37×19，轉(zhuǎn)化為37×20－37×1最簡(jiǎn)便（如圖3）。歸納得出：要根據(jù)數(shù)字特征，靈活選擇運(yùn)算定律，使計(jì)算更簡(jiǎn)便。

第四次，數(shù)學(xué)文化。把現(xiàn)在的筆算乘法和古代中國(guó)的“鋪地錦”、古意大利的“格子乘法”、古印度的“畫(huà)線法”聯(lián)系起來(lái)[2]，理解不同方法背后的道理都是一樣的，感受人民群眾的智慧和數(shù)學(xué)的魅力。

四次構(gòu)圖形成關(guān)于兩位數(shù)乘兩位數(shù)的線性結(jié)構(gòu)圖譜，實(shí)現(xiàn)了“特定題目的多樣算法→從不同算法之間的區(qū)別與聯(lián)系中找通用算法→算理理解→特定題目的靈活應(yīng)用→理解數(shù)學(xué)文化”的理解進(jìn)階（如圖5）。學(xué)生理解了筆算乘法作為普適性方法背后的道理，又培養(yǎng)了他們根據(jù)數(shù)字特征靈活運(yùn)算的意識(shí)。

小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算和生活聯(lián)系比較緊密，且教學(xué)內(nèi)容以螺旋上升的形式編排，學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算前一般都會(huì)有一定的基礎(chǔ)。因此，學(xué)習(xí)計(jì)算方法時(shí)要開(kāi)展多層構(gòu)圖，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與算理理解、實(shí)踐體驗(yàn)、文化滲透等活動(dòng)，引發(fā)積極的內(nèi)心體驗(yàn)，形成靈活的運(yùn)算意識(shí)，促進(jìn)計(jì)算思維的生長(zhǎng)。

二、以多元結(jié)構(gòu)圖譜促使計(jì)算理解立體化

數(shù)學(xué)理解就是實(shí)現(xiàn)不同表征之間的轉(zhuǎn)換。計(jì)算理解需要實(shí)現(xiàn)文字符號(hào)、算式、實(shí)物、圖形、生活實(shí)例等多元數(shù)學(xué)表征形式的內(nèi)在聯(lián)結(jié)，構(gòu)成水平層面的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖譜；同時(shí)要聯(lián)系前后相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，形成縱向?qū)用娴闹R(shí)發(fā)展脈絡(luò)。兩者相結(jié)合，構(gòu)建立體知識(shí)體系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的立體化理解。

以人教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)乘法分配律的學(xué)習(xí)為例。

（1）不同表征方式的橫向聯(lián)結(jié)。用來(lái)說(shuō)明、解釋乘法分配律的方式有很多，但其作用和論證方式不同。如通過(guò)算式驗(yàn)證，是運(yùn)用不完全歸納推理；舉生活實(shí)例和畫(huà)矩陣圖說(shuō)明，是運(yùn)用類(lèi)比推理；用乘法的意義進(jìn)行算理解釋?zhuān)瑒t運(yùn)用了演繹推理。在小學(xué)階段，這些方式都可以用來(lái)說(shuō)明和解釋乘法分配律，也都存在各自的片面和局限。而把這些表征方式聯(lián)系起來(lái)，形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖譜（如圖6），不同表征之間就可以互相映襯、互相解釋?zhuān)跒橐粋€(gè)整體。

（2）知識(shí)發(fā)展的縱向聯(lián)結(jié)。接著，聯(lián)系教材中與之相關(guān)的前后知識(shí)，形成知識(shí)發(fā)展脈絡(luò)圖（如圖7）。可以看到，從三年級(jí)上冊(cè)的兩位數(shù)乘一位數(shù)到多位數(shù)乘一位數(shù)，再到三年級(jí)下冊(cè)的兩位數(shù)乘兩位數(shù)，都在運(yùn)用乘法分配律，而乘法分配律后續(xù)又將應(yīng)用于五年級(jí)多邊形面積的計(jì)算等眾多內(nèi)容。這樣，就可以建立前后知識(shí)之間的聯(lián)系，使學(xué)生理解乘法分配律在學(xué)習(xí)中的重要地位。

（3）不同運(yùn)算定律的區(qū)別。把乘法分配律和最容易混淆的乘法結(jié)合律放在一起進(jìn)行比較。以2×3×4和2×（3＋4）為例，通過(guò)圖形表征，幫助學(xué)生形成與算式相對(duì)應(yīng)的圖形表象，使學(xué)生理解，乘法結(jié)合律相當(dāng)于求若干個(gè)相同長(zhǎng)方形的總面積（如圖8-1），乘法分配率相當(dāng)于求兩個(gè)寬相等的小長(zhǎng)方形的面積之和（如圖8-2）。避免兩者情況混淆。

（4）正誤辨析。把學(xué)生解答時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行比較。如25×（8＋40）×125，通過(guò)下面的圖形表征，讓學(xué)生明白為什么25×（8＋40）×125=25×125×8＋25×125×40（如圖9-1）。而如果寫(xiě)成：25×40＋8×125，其中25×40還可以在圖中表示，8×125則無(wú)法在圖中表示（如圖9-2）。

以上教學(xué)，基于系統(tǒng)化的邏輯關(guān)系，通過(guò)建立乘法分配律不同表征形式的橫向網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)、不同學(xué)習(xí)時(shí)期的縱向發(fā)展脈絡(luò)、不同運(yùn)算定律之間的區(qū)別、正誤辨析等結(jié)構(gòu)模型，形成關(guān)于乘法分配律的立體結(jié)構(gòu)圖譜，促使學(xué)生更好地理解乘法分配律的意義，在實(shí)際運(yùn)用時(shí)不再是機(jī)械地模仿，而是基于運(yùn)算定律意義理解的活動(dòng)。

多元構(gòu)圖促使學(xué)生在比較和聯(lián)系中進(jìn)行分析、綜合、創(chuàng)造，培養(yǎng)了學(xué)生探究數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律的高層次數(shù)學(xué)思維能力，把計(jì)算學(xué)習(xí)重心由計(jì)算訓(xùn)練引向核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)基于理解的學(xué)習(xí)。

三、以多維結(jié)構(gòu)圖譜促成計(jì)算應(yīng)用輻射化

數(shù)學(xué)知識(shí)只有在廣闊的場(chǎng)景中反復(fù)應(yīng)用，才能幫助學(xué)生更好地掌握。從不同維度描述知識(shí)結(jié)構(gòu)，可以使知識(shí)的作用輻射得更廣、更深刻。當(dāng)前對(duì)計(jì)算應(yīng)用的場(chǎng)景拓展程度不夠，仍處于“為計(jì)算而計(jì)算”，沒(méi)有形成“自覺(jué)運(yùn)用計(jì)算知識(shí)解決問(wèn)題”的意識(shí)。教師要開(kāi)展創(chuàng)造性的實(shí)踐應(yīng)用，通過(guò)輻射狀的多維結(jié)構(gòu)圖譜，統(tǒng)籌計(jì)算內(nèi)容和其他知識(shí)的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)教學(xué)全過(guò)程深度優(yōu)化融合，給學(xué)生提供從整體上思考的情境，使學(xué)習(xí)超越計(jì)算范疇，在問(wèn)題解決中升華運(yùn)算思維，建立計(jì)算教學(xué)新體系。

如“等差數(shù)列求和”，如果學(xué)生僅學(xué)習(xí)到“（首項(xiàng)＋尾項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2”的計(jì)算公式，并不能幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的運(yùn)算思維。教學(xué)中應(yīng)聯(lián)系更廣闊的應(yīng)用場(chǎng)景，以促進(jìn)學(xué)生更高層面思維的發(fā)展。

（1）求和。以計(jì)算“3＋5＋7＋…＋13”為例，結(jié)合梯形面積公式（上底＋下底）×高÷2，理解兩者之間的共同之處（如圖10-1）。回顧梯形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，數(shù)形相結(jié)合，進(jìn)一步加深對(duì)等差數(shù)列求和方法的理解，使學(xué)生的思維從有限到無(wú)限。

（2）求項(xiàng)數(shù)。結(jié)合植樹(shù)問(wèn)題，理解求等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相當(dāng)于求植樹(shù)問(wèn)題中的棵數(shù)。如要知道數(shù)列“3＋5＋7＋…＋13”中共有幾個(gè)數(shù)，相當(dāng)于求“每隔2米種一棵樹(shù)，從第3米一直種到第13米（兩端都種），一共有幾棵樹(shù)？”（如圖10-2）

（3）拓展。把等差數(shù)列與“數(shù)線段條數(shù)”“數(shù)角的個(gè)數(shù)”“數(shù)長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)”等相聯(lián)系，增加等差數(shù)列求和的應(yīng)用場(chǎng)景。如解答圖10-3中的問(wèn)題，都只需要計(jì)算等差數(shù)列“6＋5＋4＋3＋2＋1”的和。

這樣的教學(xué)，把看似分屬不同知識(shí)體系的“等差數(shù)列求和”“梯形面積”“植樹(shù)問(wèn)題”“數(shù)圖形”等通過(guò)計(jì)算融合在一起，促使計(jì)算應(yīng)用場(chǎng)景創(chuàng)新，促進(jìn)學(xué)生思維聯(lián)結(jié)，提升教學(xué)效果。

又如，在“比的應(yīng)用”中聯(lián)系生活應(yīng)用、國(guó)旗制作、圖形知識(shí)、行程問(wèn)題等，讓學(xué)生初步體會(huì)到比的知識(shí)的廣泛應(yīng)用場(chǎng)景（如圖11）。

結(jié)構(gòu)圖譜清晰地描繪出計(jì)算知識(shí)層級(jí)遞進(jìn)、互聯(lián)互通、應(yīng)用輻射的狀況，實(shí)現(xiàn)了計(jì)算教學(xué)更新教育理念、變革教學(xué)方法的深層變革[3]，構(gòu)建了教與學(xué)的新范式。學(xué)生在描繪知識(shí)結(jié)構(gòu)圖譜的過(guò)程中促進(jìn)了不同知識(shí)之間的聯(lián)通，形成計(jì)算的理解模型，把計(jì)算和問(wèn)題解決相結(jié)合，從更高、更廣的層面形成問(wèn)題解決的能力，培養(yǎng)高階思維能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 葛敏輝.概念構(gòu)圖：讓數(shù)學(xué)理解看得見(jiàn)——基于“數(shù)學(xué)理解層次”的可視化學(xué)習(xí)新探索[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2021（12）：5-11+2.

[2] 楊熠.立足教材資源，指向素養(yǎng)提升——小學(xué)數(shù)學(xué)“你知道嗎”的深度閱讀策略[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版：數(shù)學(xué)，2020（11）：48-50.

[3] 李永智.教育數(shù)字化轉(zhuǎn)型的構(gòu)想與實(shí)踐探索[J].人民教育，2022（07）：13-21.