鋼纖維增強高性能混凝土彎曲疲勞壽命預測研究

李 晨,陳思可,方兆麟

1. 廣東粵海珠三角供水有限公司，廣州 511455；2.廣東省水利水電科學研究院，廣州 510635；3.廣東省水利新材料與結構工程技術研究中心，廣州 510635；4. 廣州市花都區灌區管理中心，廣州 510800)

1 概述

鋼纖維增強高性能混凝土(Fiber Reinforced High-performance Concrete，FRHPC)是一種具有高強度、高韌性和優異耐久性的水泥基復合材料[1-2]。近年來，FRHPC因其突出的力學性能和耐久性，逐漸應用于道路、建筑、核電、海洋和軍事等工程領域[3]。同時，FRHPC工程應用節能減排效果顯著，貼合“綠水青山就是金山銀山”理念，符合社會可持續性發展要求，蘊含巨大工程應用價值。FRHPC為主體的建筑結構在服役過程中常受到循環荷載作用(如車輛、行人、地震等)的影響，產生疲勞損傷。隨著服役周期的增長，FRHPC疲勞損傷逐漸累積，導致其力學性能和耐久性降低，甚至影響建筑結構安全性和可靠性[4]。因此，開展FRHPC疲勞損傷研究具有重要的工程意義。

目前，對混凝土疲勞性能的研究，集中利用經驗公式(見表1所示)[5-6]，建立應力水平(S)和疲勞壽命之間的關系，預測混凝土在服役過程的疲勞壽命。Wholer建立了單對數疲勞方程，研究纖維摻量對普通混凝土疲勞壽命的影響，其中A=1.436和B=-0.105，并提出疲勞極限強度位于0.55-0.65之間[7-8]。文獻[9]引入應力比R(=fmin/fmax)，模擬了實際結構工程中最小循環荷載不等于零的實際加載情況；文獻[10]探討了不同應力水平下纖維增強混凝土疲勞壽命，并對Wholer提出的單對數方程進行改進，引入材料系數β，定量預測纖維增強混凝土的疲勞壽命；文獻[11]通過FRC彎曲疲勞試驗，建立了存活率P=50%時的雙對數疲勞曲線方程，A=0.339，B=0.138，得到了用于工程實際中不同存活率的S-N曲線方程。文獻[12]考慮混凝土結構疲勞壽命的離散型，所以在S-N曲線中引入失效概率Pf表征疲勞壽命的離散型，預測了纖維增強混凝土疲勞壽命(見表1)。

表1 混凝土疲勞經驗公式總結

由上述可知，應力水平S與疲勞壽命N之間的關系可以通過不同的經驗公式和誤差分析方法表征。目前，多數經驗公式集中于建立應力水平(S)和疲勞壽命(N)數學關系式，然而疲勞壽命影響因素眾多，即使在試驗條件完全相同的情況下，試件的疲勞壽命也存在著很大的離散性，想要在實際應用中用結構材料的物理量定量的分析疲勞壽命具有一定難度。為了正確反映在不同纖維摻量下FRHPC疲勞壽命的變化規律，運用概率理論對混凝土疲勞壽命與可靠性進行宏觀分析和估計就顯示出邏輯上、理論上和實質上的必要性和合理性。

因此，本研究針對FRHPC疲勞壽命的分散性，采用Weibull分布函數對其分布規律進行表征；通過圖像法、矩量法和極大似然估計法定量評價了威布爾分數函數中形狀參數α和特征疲勞壽命u，并結合Kolmogorov-Smirnov驗證Weibull函數的可靠性；在此基礎上，建立了FRHPC疲勞壽命方程，確定方程中參數，量化應力水平S和疲勞壽命N的關系，進一步引入失效概率Pf，建立具有一定存活率的Pf-S-N方程。

2 原材料與試驗方法

2.1 原材料

試驗采用珠江水泥廠生產的PII 42.5硅酸鹽水泥，山東盈潤智能新材料有限公司生產的平均粒徑為0.2 μm硅灰和一級粉煤灰，河源萬川公司生產的粒徑范圍為0.9 mm～2 mm的石英砂和5 mm～20 mm連續級配碎石；減水劑為廣東瑞安高性能混凝土用Ls-PC(A)型減水劑，固含量為33.0%。鋼纖維采用贛州大業金屬纖維有限公司生產的WSF0206(B)型鋼纖維，長度為13 mm，直徑均為0.2 mm，抗拉強度為2 850 MPa。FRHPC配合比為水泥：硅灰∶粉煤灰∶細骨料∶粗骨料∶水=460∶100∶40∶626∶1 021∶168，鋼纖維占總體材料的體積分數摻量為0.5%，1.0%，1.5%。

2.2 試驗方法

FRHPC彎曲疲勞試驗在MTS Landmark 370.25 動態疲勞試驗機上進行。MTS高性能動態疲勞測試系統為250 kN全數字軸向電液伺服測試系統，集成MTS伺服液壓、多功能FlexTest控制器和成熟可靠的MTS應用軟件和全套附件，可為混凝土提供高精度、良好重復性的動靜態測試。MTS測試系統自動采集疲勞循環次數、荷載變化過程及峰值荷載等基本參數。

FRHPC疲勞壽命樣本容量確定為8個。為了消除試樣受力面不平整而造成的試驗誤差，在試樣上表面受壓部位，涂抹上一層高強石膏，然后對FRHPC梁進行預加載(0.5 kN)，反復幾次，確保高強石膏壓實，并與疲勞試驗機加載點完全接觸。

FRHPC采用力控制模式。疲勞荷載歷程先以10 kN/min的加載速率至平均荷載(最大應力值σmax和最小應力值σmin的平均值)，然后以正弦波的形式等幅值加載(最大應力值σmax和最小應力值σmin保持不變)，加載頻率為8 Hz(常用加載頻率為5～15 Hz)。循環特征值r(最小應力值σmin和最大應力值σmax的比值，r=σmin/σmax)取0.1，應力水平S(最大應力幅值σmax和靜載抗折強度fr的比值，S=σmax/fr)取0.65、0.70、0.75和0.80。

3 試驗結果與討論

3.1 疲勞試驗結果

為了確定循環荷載應力水平，需要首先評價FRHPC抗折強度，隨著纖維摻量的增加，FRHPC抗折強度隨著增大。當纖維體積摻量Vf=0.0%時，FRHPC基體抗折強度為5.8 MPa，當纖維體積摻量為0.5%、1.0%、1.5%和2.0%時，其抗折強度分別提高了44.20%、85.68%、99.21%。

不同應力水平(S=fmax/fr；fmax=最大疲勞應力；fr=靜態彎曲強度)作用下，摻入不同體積摻量(Vf=0.5%、1.0%和1.5%)鋼纖維的FRHPC疲勞壽命如表2～表4所示。從表2～表4可以看出，相同應力水平作用下，隨著纖維體積摻量的增加，FRHPC的疲勞壽命逐漸增大；纖維摻量相同時，隨著應力水平降低，FRHPC疲勞壽命逐漸增大。如應力水平S=0.65時，FRHPC疲勞壽命隨著纖維摻量的增加，最大疲勞壽命由282 145次增大到1 020 000次；當纖維體積摻量為0.5%時，隨著應力水平的減小，最大疲勞循環次數由344增加到282 145次。文獻[13]研究了鋼纖維增強混凝土(Steel Fiber Reinforced Concrete，SFRC)彎曲疲勞性能，同樣發現SFRC的疲勞壽命隨著纖維摻量的增加而增大。

表2 FRHPC疲勞壽命(Vf=0.5%)

應力水平S=0.85S=0.80S=0.75S=0.70S=0.65疲勞壽命40*1 75114 84325 57835 3591431 86915 16030 42676 2182262 91718 64544 672108 2362473 40425 18455 622144 4962704 40626 40076 218189 7823245 67933 52791 246207 4364266 94142 345105 376242 4965377 65451 640134 984289 2126818 91261 616179 240365 78983410 24576 117207 856420 385

表4 FRHPC疲勞壽命(Vf=1.5%)

3.2 疲勞壽命分析

3.2.1威布爾函數分布

由于混凝土結構內部缺陷的不確定性和纖維分布的不均勻性導致FRHPC疲勞壽命分散性較大，所以研究者提出各種數學概率模型用于統計分析混凝土疲勞壽命分布情況。目前，常用于分析混凝土疲勞壽命分布的數學概率統計模型為威布爾分布函數(Weibull distribution)。

威布爾概率分布函數f(n)和累積分布函數Pf(n)如下式所示：

(1)

(2)

n≥no,s>0；α>0；且u≥no,s。

式中：

n——隨機變量N的具體數值；

α——特定應力水平S作用下，威布爾分布的形狀參數；

u——疲勞壽命的特征值；

no,s——位置參數或疲勞壽命的最小值。

根據等式(2)可以得到疲勞壽命的生存函數即可靠性函數LR(n)：

(3)

對于SFRC而言，文獻[14]認為可以假設威布爾分布函數在實際應用中其最小疲勞壽命no,s=0，則可靠性函數LR(n)可以簡化為兩參數威布爾函數分布：

(4)

等式(4)兩邊取2次對數可得：

(5)

圖1利用圖像法對不同應力水平作用下FRHPC的疲勞壽命進行線性回歸分析。由圖1可知：兩對數疲勞壽命基本呈線性分布，其最小相關系數為90.74%，即FRHPC的疲勞壽命符合威布爾參數分布。

Vf=0.5%

Vf=1.0%

Vf=1.5%圖1 圖像法分析分析FRHPC疲勞壽命示

3.2.2威布爾分布函數參數

利用圖像法不僅可以判斷FRHPC的疲勞壽命是否符合威布爾分布函數，而且可以根據線性回歸分析得到形狀參數α和特征疲勞壽命u。

利用矩量法評估威布爾函數分布參數需要適當的樣本矩,威布爾函數分布的樣本矩可用下式表達[13]：

(6)

式中：

T(x)——伽馬函數；

E(n)——平均期望值。

極大釋然估計法在迭代過程中，以圖像法或矩量法得到的形狀參數α作為第一個估計值，然后逐步迭代出極大似然估計值α*；把形狀參數的極大似然估計值α*代入等式估計等式，可以計算得到θ*：

(7)

(8)

其中:α*和θ*分別為α、θ的極大似然估計值。

利用圖像法、矩量法和極大似然估計法所求FRHPC威布爾函數參數見表5～表7中。

表5 FRHPC的疲勞壽命威布爾函數分布參數(Vf=0.5%)

表6 FRHPC的疲勞壽命威布爾函數分布參數(Vf=1.0%)

表7 FRHPC的疲勞壽命威布爾函數分布參數(Vf=1.5%)

從表5～表7中可以看出，纖維體積摻量相同時，形狀參數α隨著應力水平的減小而降低。對于表中的形狀參數而言，當應力水平較高時，形狀參數α減小的幅度較大；當應力水平較低時，形狀參數α減小的幅度降低。由此可以推斷出，高應力水平作用下，FRHPC疲勞壽命的分散性較小；低應力水平作用下，FRHPC疲勞壽命的離散型較大。纖維摻量相同時，隨著應力水平的降低，FRHPC特征疲勞壽命增加；當應力水平相同時，隨著纖維摻量的增加，FRHPC特征疲勞壽命增加。

3.2.3引入失效概率Pf表征S-N關系

早期有關SFRC的S-N關系的研究，并沒有引入失效概率Pf的概念。威布爾分布函數被用于表征SFRC疲勞壽命以后，開始用于計算不同應力水平下SFRC疲勞壽命的失效概率Pf。首先，不同應力水平下的疲勞壽命由大到小依次排列。然后，利用計算不同應力水平下FRHPC疲勞壽命所對應的失效概率。根據上述步驟，繪制出失效概率Pf和FRHPC疲勞壽命關系圖(Pf-N)；然后計算失效概率Pf所對應的不同應力水平作用下FRHPC的疲勞壽命(S-N)；最后，在S-N回歸直線的基礎上，計算疲勞壽命相同時，不同應力水平S對應的失效概率Pf的數值(S-Pf)。圖2～圖4為一定失效概率下不同應力水平下FRHPC疲勞壽命分布的S-N-Pf曲線族。

圖2 彎曲荷載作用下FRHPC的S-N-Pf示意(Vf=0.5%)

圖3 彎曲荷載作用下FRHPC的S-N-Pf示意(Vf=1.0%)

圖4 彎曲荷載作用下FRHPC的S-N-Pf示意(Vf=1.5%)

(9)

(10)

上述分析一定失效概率下不同應力水平下FRHPC疲勞壽命分布的S-N-Pf曲線族。但是，并沒有給出定量預測不同失效概率下FRHPC的定量評價公式。

另一種描述S-N-Pf關系的方法是基于文獻[14]提出的數學等式：

L=(1-Pf)=(10)-a(S)b(logN)c

(11)

式中：

a、b、c——試驗常數；

S——應力水平；

L——生存概率函數，L=1-Pf，其中Pf為失效概率。

式(1)為生存概率函數L、應力水平和疲勞壽命的關系式。為了準確表征S-N-Pf的數學關系，首先根據FRHPC的疲勞壽命計算出試驗常數a，b和c的值。

等式(11)兩邊取2次對數：

log(-logL)=log(a)+blog(S)+clog(logN)

(12)

上述等式可以簡化為：

Y=A+bX+cZ

(13)

其中，Y=log(-logL)；A=log(a)；X=log(S)；Z=log(logN)。為確定特定應力水平S下，具有一定生存概率L的FRHPC疲勞壽命N，式(13)變換為：

Z=A′+B′X+C′Y

(14)

式中，A′=-A/c；B′=-b/c；C′=-1/c。

基于樣本均值中計算試驗常數的便捷性，上述表達式可以轉化為：

∑Z=∑A′+B′∑X+C′∑Y

(15)

(16)

(17)

等式(17)減去等式(15)可得：

(18)

或者：

z=b′x+c′y

(19)

根據FRHPC疲勞壽命試驗數據，可以統計計算∑x2、∑y2、∑z2、∑xy、∑xz和∑yz的值(見表8)。

表8 根據不同纖維摻量FRHPC的疲勞壽命統計參數

利用最小二乘法，可以得到以下方程：

b′∑x2+c′∑xy=∑xz

(20)

b′∑xy+c′∑y2=∑yz

(21)

將表8中的統計數據代入等式(20)和(21)可以得到系數b′和c′的值。纖維體積摻量不同的FRHPC的S-N-Pf關系表達式為：

FRHPC(Vf=0.5%)：

L=(10)-1.768 8(S)34.608 2(logN)12.187 7

(22)

FRHPC(Vf=1.0%)：

L=(10)-2.035 29(S)73.526 5(logN)29.411 7

(23)

FRHPC(Vf=1.5%)：

L=(10)-2.692 8(S)30.259 1(logN)15.060 2

(24)

4 結語

1) 相同應力水平作用下，隨著纖維體積摻量的增加，FRHPC的疲勞壽命逐漸增大；纖維摻量相同時，隨著應力水平降低，FRHPC疲勞壽命逐漸增大。

2) 兩對數疲勞壽命基本呈線性分布，其最小相關系數為90.74%，即FRHPC的疲勞壽命符合威布爾參數分布。高應力水平作用下，FRHPC疲勞壽命的分散性較小；低應力水平作用下，FRHPC疲勞壽命的離散型較大。

3) 一定失效概率下不同應力水平下FRHPC疲勞壽命分布的S-N曲線可用下列等式計算：FRHPC(Vf=0.5%):L=(10)-1.768 8(S)34.608 2(logN)12.187 7、 FRHPC(Vf=1.0%)：L=(10)-2.035 29(S)73.526 5(logN)29.411 7、FRHPC(Vf=1.5%)：L=(10)-2.692 8(S)30.259 1(logN)15.060 2。