神奇的數字

□ 李亞玲

獨特的數字——O

有人認為0 作為一個數字并不合適，畢竟，數字是用來計算的東西，你不能什么都不計算。

有證據表明，數字的歷史可以追溯到5000 年前，但0 的歷史只始于公元前1800 年左右的巴比倫人。即使在那時，它也不是一個完全成熟的數字，就像我們現在表示3601 這樣的數字中的0，它是一個位置設置符號，用來區分3601 和361。

巴比倫人表示0 的符號是兩個對角線箭頭，人們熟悉的壓扁的雞蛋形符號在公元800 年左右才出現。印度數學家最早將0 作為數字的起點，他們第一次意識到數字可以有一種不同于計算物理對象的抽象存在。例如，印度數學家及天文學家婆羅門笈多畫了一條數軸，其中包括正數、負數和0。

這一思路直到很久以后才被西方接受，部分原因是0 被認為是通向負數的大門，而負數代表著債務和欺詐。然而，到了19 世紀末，數學家開始對建立數學邏輯規則產生了興趣。當意大利數學家朱塞佩·皮亞諾列出一系列算術規則時，他的第一個公理堅持認為0 必須是一個數。否則，你將無法執行跨越正負邊界的計算，如7—9。

自此，0 的數字地位得到了保障，但它在定義數字的真正含義方面還有更重要的作用。這就要提起集合理論，集合是德國數學家格奧爾格·康托爾在1874 年首次提出的概念，它是一個抽象的數學容器。它可能是童話故事《白雪公主》中的小矮人，也可能是一個星期中的天數。如果你能定義一個具有7 個元素的獨特集合，將有助于解釋數字7 的含義。結果證明，最好的方法涉及一個完全唯一的集合——空集，它的成員為0。

空集就像一個空紙袋，它不包含任何東西，所以它是唯一定義良好的集合。這是定義其他數字的好方法：1 是包含空集的集合，2 是包含1 和0 的集合，以此類推。

歐拉數e

把1 元錢存入銀行。如果年利率是100%，那么1 年后你將得到2 元。如果銀行不是在年底計算利息，而是更有規律地計算呢？這個問題將我們引向了數學中最微妙的數字之一。

假設銀行每年支付2 次利息，但將利率減半至50%。這將使你在6 個月后得到1.5 元，到年底，你將得到另外50%的利息，共得2.25 元。如果按月計息，但相應地降低利率，你將得到2.61 元。繼續增加支付利息的次數并降低利率，你最多可以得到2.171828元。

這個數實際上是一個特殊的無理數，它和π 一樣，但沒有π那樣為人們所熟知。它被稱為歐拉數（或簡稱e），以瑞士數學家萊昂哈德·歐拉的名字命名。

歐拉數不僅僅在計算復利時出現。例如，把虛數i 和e 混合在一起，就可以推出有史以來最著名的公式之一——歐拉恒等式：eiπ+1=0。數學家對它的美麗推崇有加，因為它把5 個最重要的數字塞進了一個簡潔的表達式。

歐拉數也很實用，它對一種叫作傅里葉分析的數學技術至關重要，在這種技術的幫助下，研究人員用X 射線探測晶體，對得到的圖案進行分析，從而揭示DNA 等分子的結構。

最大的梅森素數——282 589 933-1

將2 的82 589 933 次方減去1，就得到已知最大的素數（亦稱質數，即只能被1 和它本身整除的數），它有24 862 048 位數字。它也不是一般的素數，而是梅森素數，即“2P-1”型的素數。

梅森素數“俱樂部”的其他數字包括3、7 和31 等，要尋找更大的梅森素數并非易事。到目前為止，我們只發現了51 個。盡管幾千年來我們一直知道有無窮多的素數，但我們不知道梅森素數是否有無窮多個。

素數不僅是一種數字的獨特形式，它在金融安全領域也發揮著重要作用。為了確保所有在線交易都是加密的，以便只有預期的接收者才能解讀它們，我們需要依賴素數。其原理是：接收者將兩個大的素數相乘，生成一個新的數字，稱為公鑰。任何擁有這把密鑰的人都可以加密信息，但要把它們從“胡言亂語”變成有意義的東西，就需要知道最初的兩個素數。

對計算機來說，將素數相乘很容易，但如果答案足夠大，要找出產生它的素數的唯一方法是嘗試所有的可能性。這實際上是不可能的，因此保證了交易過程的安全。

并不“虛”的虛數——i

根據數學規則，兩個正數相乘得到一個正數，兩個負數相乘也會得到一個正數。那么，什么數與自身相乘可以得到-1？答案是虛數。

1637 年，法國數學家勒內·笛卡爾首次將負數的平方根稱為“虛數”。但直到18 世紀，它們才被用“i”表示。

虛數不符合常規數軸，所以它們被放在另一條獨立的數軸上，這兩條數軸相交于0，使虛數能夠方便地表示在二維中變化的事物。它們經常被用來描述量子力學中的波函數和定義交流電。

憑空捏造出一個完全不同的數族似乎是沒有道理的。但事實上，“實數”和“虛數”都是抽象概念。虛數也解放了數學家的思想。1843 年，愛爾蘭數學家威廉·漢密爾頓發明了四元數，即由實數加上3 個虛數單位i、j 和k 組成的復數。額外的數軸被用來構建能夠在3D 圖形中編碼旋轉的軸。如今，四元數已經應用于電子游戲設計領域。