壓電陶瓷支承對梁的橫向振動與支反力抑制作用

2022-12-14 08:31:38何晉丞陳國平陳衛婷

振動與沖擊 2022年23期

何晉丞，陳國平，譚星，陳衛婷，何歡

(1. 南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室, 南京 210016;2. 南京航空航天大學振動工程研究所, 南京 210016)

船舶推進軸系、車輛傳動軸、房梁等多跨結構往往受到橫向載荷而產生振動，這種振動會通過支承傳遞到基座上，從而導致疲勞損傷和噪聲等問題。傳統方法是在支承處安裝橡膠等阻尼裝置。另一種方法是利用壓電材料對結構進行減振。

從上個世紀開始，研究人員對壓電片在梁、板等結構中起到的抑振作用進行了廣泛研究[1-3]。利用壓電材料的正/逆壓電效應可將機械能和電能進行互相轉換，基于此原理的被動、主動和主被動混合控制技術近年來得到了長足發展[4-6]。壓電片在較薄的結構中能起到很好的抑振作用，但是對于質量過大或者厚度過大的結構，壓電片的減振效果會受到影響。且在工程中當壓電片粘貼在運動機構上時，外接電路的電線往往阻礙結構運動和軸系轉動。對于柱狀的壓電陶瓷，尤其是通過壓電片復合燒制的壓電堆疊，研究人員主要利用其對結構進行主動控制[7]，壓電堆疊具有逆壓電效應優異，載荷輸出性能強，遲滯現象低等優點[8]，采用該材料進行的主動控制魯棒性高，遲滯現象低[9]，但是需要輸入較高電壓，且控制設備大，在一些地方狹小且能源緊張的工程環境中難以施展。

如圖1所示，為尋求一種適用于較大型多跨度結構的控制方法，本文將研究利用壓電換能技術，直接將柱狀壓電陶瓷作為支承材料，在多跨度結構中引入壓電的機電耦合邊界條件，對梁和軸系的橫向振動進行被動控制。該技術能抑制大部分結構中由支承傳遞到基座、機身和船身等外部結構的橫向振動。且相比于橡膠等傳統阻尼材料，壓電陶瓷剛度接近鋼材剛度，作為支承結構時可避免系統固有頻率出現過大的頻移。

本文采用柱狀壓電陶瓷作為梁的支承，建立該系統的數學模型，分析該壓電陶瓷支承的減振原理。并通過有限元軟件對比分析不同種類壓電陶瓷支承的減振性能。

1 機電耦合邊界條件下的歐拉梁數學模型

1.1 含壓電陶瓷支承的歐拉梁模型

為驗證壓電陶瓷柱支承結構對多跨度結構的減振作用，本文提出一種無源壓電陶瓷為支承的歐拉梁系統，其中壓電陶瓷柱的極化方向為豎直方向，且與外接電路相連。

如圖2所示，在工程運用中，壓電陶瓷受拉時容易損壞，所以采用兩個柱狀壓電陶瓷夾持固定梁的端部，充當梁的支承。每個壓電堆疊分別串聯一個電阻和電感。在建立數學模型時，可以將其分別簡化為一個受拉又能受壓的壓電陶瓷柱，同時該壓電陶瓷柱連接RL外接電路后可以等效為一個彈簧和阻尼系統[10]。梁上表面受到橫向激勵。該模型可簡化為如圖3所示的壓電機電耦合邊界條件下的歐拉梁模型。

圖2 壓電支承-歐拉梁系統

圖3 壓電機電耦合邊界條件下的歐拉梁模型

1.2 壓電支承-歐拉梁系統振動微分方程

壓電陶瓷連接的是RL電路,所以外接電路的電阻抗Ze為

Ze=R+Ls

(1)

式中:R為外接電路中電阻；L為外接電路中的電感；s為拉普拉斯算子。

壓電陶瓷在連接外接電路可等效為梁的機電耦合邊界條件。針對壓電陶瓷的機電耦合邊界，存在如下關系

yi=qi/θP(i=1,2)

(2)

(3)

kP=AP/(sElP)

(4)

(5)

(6)

從該等效模型中可以看出，壓電陶瓷柱在系統中利用壓電能量轉換性質，將外力輸入的機械能轉化為電能在電路中進行耗散，從而產生阻尼作用。另一方面，改變電路參數也可調節壓電陶瓷支承的諧振頻率，使其接近受控結構的固有頻率，起到類似動力吸振器的作用。本文從能量角度對整體結構進行分析。

由于壓電陶瓷變形量相對于梁變形很小，且壓電陶瓷的質量相對于整個系統很小，所以不考慮壓電陶瓷的動能。整個系統的動能可以表示為

(7)

式中：ρ為梁的密度；A為梁的截面積；w(x,t)為坐標為x的截面中性軸在時刻t的橫向位移。

整個系統的勢能包括梁的勢能和壓電陶瓷的勢能。其中壓電陶瓷勢能可根據簡化模型表示為機電耦合作用下等效彈簧的勢能。整個系統勢能表達式為

(8)

整個系統的虛功包括外力虛功和壓電陶瓷受外力產生電場的電虛功。在等效模型中電場的電虛功即為等效阻尼作用產生的虛功。系統虛功可表示為

(9)

根據Hamilton能量原理

(10)

將式(7)～(9)代入式(10)中化簡后可得梁的振動微分方程、機械邊界條件和電路邊界條件為

(11)

(12)

(13)

1.3 壓電堆疊的等效模型

壓電堆疊由n個壓電片疊加燒制而成。每個壓電片電極通過導電材料并聯連接。當采用能量原理分析壓電堆疊時，如果分別對其中每個壓電片和電極進行分析會使計算過程變得復雜。且在有限元軟件對壓電堆疊進行建模時，由于壓電片和導電鍍層厚度方向尺寸遠遠小于梁的幾何尺寸，對整個壓電堆疊進行完整建模會造成有限元網格單元過密的問題。所以將壓電堆疊用同尺寸的等效長方體壓電陶瓷來代替將大大簡化仿真建模、網格劃分和計算的過程。如圖4所示，壓電堆疊受力和邊界條件和等效的同尺寸壓電陶瓷柱相同。

圖4 壓電堆疊和壓電陶瓷柱等效模型

單片壓電片的本構方程可以轉化為

(14)

根據壓電堆疊和壓電片的內部結構關系可以得到如下關系式

FP=Fi,yP=nyi,VP=Vi,IP=nIi,L=nl

(15)

式中：yP為整個壓電堆疊的變形量；FP為壓電堆疊在極化方向(3方向)上所受的力；IP為壓電堆疊受壓時流出的電流；VP為壓電堆疊上下表面電極間的電壓；L為整個壓電堆疊在極化方向(3方向)上的厚度。

假設壓電堆疊等效為長方體壓電陶瓷后的本構方程為

(16)

將式(15)代入到式(16)得到以下關系式

(17)

將式(14)代入到式(17)中可得

(18)

由式(18)可得

(19)

由此可知當壓電堆疊等效為長方體的壓電陶瓷后，該等效長方體壓電陶瓷的機電耦合參數和壓電陶瓷材料的材料參數關系為

(20)

由此可見，相同尺寸的壓電堆疊和壓電陶瓷柱，壓電堆疊的壓電常數式壓電陶瓷柱的n倍，介電常數是壓電陶瓷柱的n2倍。

2 壓電陶瓷支承-梁系統有限元模型

如圖5所示，在壓電片-懸臂梁系統中，根據Hagood等[11]的研究，不同外接電路參數對應的位移傳遞函數曲線，存在兩個共同交點，分別稱之為P點和Q點。根據PQ兩個交點的位置從而得到峰值最小的位移傳遞函數曲線對應的最優電路參數的數值計算方法稱之為PQ點法。

圖5 位移傳遞函數

然而在本身存在機械阻尼的系統中，傳遞函數曲線不再存在PQ點。此時可通過窮舉法尋找最優電路參數。采用COMSOL軟件，通過設置合適的壓電方程和固體力學偏微分方程可以解決對壓電支承-梁系統的動力學分析問題。并通過參數化求解模塊，設置電路參數為自變量來求解最優電路值。

2.1 幾何模型

為更好驗證壓電支承的減振作用，在COMSOL軟件中，建立如圖6所示的仿真模型。其幾何尺寸如表1所示。

表1 模型幾何尺寸

圖6 壓電支承和梁系統模型

2.2 邊界條件

為模擬梁和支承之間的裝配情況，分別用兩個相同的壓電材料支承夾住金屬梁的兩端，在每個壓電支承的另外一端施加固定約束。邊界條件示意圖如圖7所示。為研究在不同載荷情況下壓電支承的減振性能，設置兩種載荷工況：

第一種工況：在梁中間對稱面豎直方向施加合力為50 N的集中簡諧激勵。

第二種工況：在梁的上表面垂直方向施加合力為50 N的均布簡諧激勵。

(a) 集中力

2.3 材料參數

仿真過程中采用的梁為結構鋼材料，系統的阻尼設為0.02。其材料參數如表2所示。

表2 結構鋼材料參數

本文中對不同材料的壓電陶瓷進行了對比研究。在對壓電堆疊進行分析時，將壓電堆疊等效為長方體壓電陶瓷柱，其中單片壓電陶瓷片的厚度為100 μm，一個10 mm厚的壓電堆疊中包含約100片壓電陶瓷片。可通過式(20)得到壓電堆疊等效為壓電陶瓷柱后的機電耦合參數。各壓電陶瓷材料參數如表3所示。

2.4 網格劃分

如圖8所示，采用六面體網格對模型進行網格劃分。

2.5 電路參數

本文在COMSOL軟件中增加一個由壓電和電路構成的物理場，將固體力學物理場和電路物理場通過壓電陶瓷的壓電效應進行耦合。在每個壓電陶瓷塊上下兩個電極之間接入RL串聯電路。對不同的電阻和電感值的電路進行仿真，計算相應的力傳遞率曲線。

表3 不同壓電材料的參數

為求解各壓電陶瓷材料最優外接電路的電感電阻值，采用窮舉法，即在仿真軟件中選取該壓電陶瓷材料并保持邊界條件不變，在參數化掃描模塊中設置電阻和電感的范圍和步長如表4所示。對表中所有電阻電感組合的電路情況進行動力學響應計算。在接近最優電路參數范圍內可適當采用更為精確的步長來增加精度。最后選取力傳遞率幅值最小的電路情況為最優外接電路。

表4 外接電路電阻和電感值

3 模態分析

3.1 振型

根據以上設置，分別對結構鋼和各壓電材料支承的梁系統進行模態分析。結構鋼支承的梁和各類壓電材料支承的梁的振型結果如表5所示(其中各類壓電材料支承的梁的振型結果相同，所以舉其中一種壓電材料得到的結果與結構鋼支承的梁系統進行對比)。

表5 振型

從表5可知，結構鋼支承的梁和各類壓電材料支承的梁的前五階振型相同。由表5可知，用不同的壓電材料去替代結構鋼作為支承并不會改變梁的振型。

3.2 固有頻率

各材料支承對應的梁前五階固有頻率如表6所示。由于第一階和第四階的力傳遞率較大，所以主要分析第一階和第四階的模態情況。其中第一階和第四階的固有頻率變化量如圖9所示。

表6 各材料支承對應的梁的固有頻率

圖9 第一階和第四階固有頻率變化量

從圖中可以看出，以壓電陶瓷和壓電堆疊作為支承后梁的各階固有頻率改變較小。

4 響應分析

計算頻域內兩種工況下系統的動力學響應，并計算力傳遞率

通過系統頻響函數可計算得到各支承對應的力傳遞率曲線。

4.1 金屬支承

當四個支承都采用結構鋼材料時，工況一和工況二的力傳遞率曲線如圖10和圖11所示。

圖10 工況一各支承力傳遞率曲線

圖11 工況二各支承力傳遞率曲線

由圖中可知，工況一工況二情況下系統力傳遞率一階共振頻率約為1 506 Hz，二階共振頻率約為8 008 Hz。第一階共振峰為主峰，為本文主要受控對象。工況一時，第一個共振峰值為17.8。工況二時，第一個共振峰值為9.5。在載荷合力處于梁對稱面時，四個支承力傳遞率情況相同，所以在后續研究中只對左下支承進行分析。

4.2 壓電支承開路情況下

將金屬支承替換為壓電材料支承后，在不連接外接電路的情況下，壓電支承-梁系統本身的的一階共振頻率和力傳遞率峰值如表7和表8所示。

表7 工況一一階共振頻率和力傳遞率峰值

表8 工況二一階共振頻率和力傳遞率峰值

由于各壓電材料的密度和結構鋼存在區別，且壓電材料的無外接電路彈性模量都小于結構鋼的彈性模量，導致壓電材料支承的梁系統一階共振頻率與鋼支承相比存在頻移。但是該頻移都在3%以內。壓電堆疊因為內部壓電片采用PZT-PST材料，根據之前的理論推導其等效彈性模量和PZT-PST材料相同，所以不連外接電路時，共振頻率和峰值幾乎相同。各壓電材料支承的梁系統的力傳遞率峰值相比結構鋼支承都存在較大的增加，所以需要連接外接電路來降低峰值。

4.3 壓電支承閉路情況下

4.3.1 力傳遞率曲線隨電路參數變化規律

以PZT-2壓電陶瓷材料為例，針對工況一的載荷情況，以電路中電阻值和電感值為自變量進行參數化掃描，求解支承處力傳遞率曲線。為便于找到力傳遞率曲線隨電路參數的變化趨勢，列出電感值保持不變，改變電阻值對應的力傳遞率曲線情況，選擇幾組典型的結果如圖12所示。

從圖12可以看出，在電感分別為100 H和500 H時，電阻值改變并不會造成力傳遞率曲線的峰值出現明顯變化，且力傳遞率曲線的峰值和無電路情況比并未有明顯下降。在電感分別為280 H和300 H時，電阻值改變會造成力傳遞率曲線的峰值出現變化。在電阻達到最優電阻值附近時，力傳遞率曲線的峰值達到低谷。電阻值偏離最優電阻值時，力傳遞率曲線的峰值增大。在電感分別為290 H和295 H時，電阻改變會明顯改變力傳遞率曲線的峰值，且峰值出現明顯的下降。

由此可以得出結論，當電感值偏離最優電感值的時候，力傳遞率曲線峰值不會有明顯下降。連接該電路后，壓電支承起到的減振作用并不明顯。電阻值改變幾乎無法影響力傳遞率曲線。當電感值接近最優電感值時，力傳遞率曲線出現雙峰，雙峰峰值隨電阻值改變而發生較為明顯的改變，當電阻值同樣接近最優電阻值時，雙峰峰值相等，此時該峰值為其他電路參數情況下的力傳遞率曲線峰值的最小值。

4.3.2 最優解

根據上文提到的變化規律，可以分別得到工況一和工況二下的各壓電材料對應最優外接電路參數，其中工況一和工況二合力都在梁的對稱面內，所以兩種工況下相同材料的最優電路參數相同。各材料對應的最優外接電路參數如表9所示。

表9 各壓電材料對應的最優外接電路參數

明顯可以看出，因為壓電堆疊的等效壓電常數和等效介電常數遠大于壓電陶瓷材料，所以壓電堆疊所需要的最優電路的電阻值和電感值都遠遠小于其他壓電陶瓷材料。

工況一和工況二下，各壓電材料連接最優外接電路前后力傳遞率曲線及結構鋼支承的力傳遞率曲線對比分別如圖13和圖14所示。

將壓電材料支承連接最優外接電路后的力傳遞率峰值相較于結構鋼支承的力傳遞率峰值的降幅設為降幅1，將壓電材料支承連接最優外接電路前后的力傳遞率峰值降幅設為降幅2。從降幅1的數值可以看出替換為壓電材料后的結構相較于原結構的力傳遞率下降的幅度，從而判斷該裝置的減振效果。從降幅2的數值可以看出壓電材料連接外接電路后電路起到的減振作用，更方便評估電路的性能和機電耦合效率。

工況一和工況二下，各材料支承的一階共振峰處的力傳遞率峰值降幅分別如圖15和圖16所示。

從仿真結果中可得出以下結論：