多普勒效應之新討論

游娜

（陸軍步兵學院，江西 南昌 330100）

聲源或觀察者相對運動時，觀察者接收到的頻率與波源實際頻率不同的現象，稱為多普勒效應。多普勒效應在多個領域有重要作用，醫學領域中超聲頻移診斷，探頭和反射體之間有相對運動時，產生頻移現象，還可以測量血流速度；交通領域安裝多普勒測速儀,通過接收反射波的頻率反推出車輛行駛速度；天文學家利用電磁波紅移說明大爆炸理論、衛星跟蹤系統等，多普勒效應實際應用中遇到的運動形式是多樣的，更為復雜，而在大多數大學物理學的教科書中和相關研究中，對多普勒效應的論述不僅是限于在一條直線上，而且只考慮觀察者和波源都是做勻速直線運動的簡單情況。因此，本文在分析多普勒效應的特點基礎上，討論變速運動過程中的另一種特殊情況，波源和觀察者在共線和不共線時均做勻加速直線運動的經典多普勒效應。

1 多普勒效應的特性

1.1 瞬時性

在實際情況中，觀察者接收到的頻率是對應著某一時刻波源發出來的頻率，而它們之間的關系又與觀察者之間的相對位置變化有關，因而，觀察者測得的頻率具有瞬時性。為了將問題形象化，基于瞬時性建立數軸,確定正方向沿著波的傳播方向，以波源發出時刻的位置和被接收時刻的位置連線作為瞬時數軸，記錄不同時刻波源和觀察者的位置。

1.2 不同時性

根據機械波的性質可知，波源發射波的時刻相對觀察者接收的時刻要提前，也就是波發出的時間和觀察者接收時間不一致 ,如果觀察者與波源距離越遠，則時間差也越大。根據不同時性這一特征，任意時刻觀察者接收到的波可能不是一個完整的，為了簡化問題，將不同時刻發出的波到觀察者接收時刻，這段時間差觀察者接收到的是完整波的個數，計算經過多長時間觀察者把發出的所有波接收完畢。

1.3 規律不變性

波源和觀察者發生相對運動，它們所測量的波的波長、頻率和波速不同，但研究對象都是這列波，根據波的性質，波長、頻率和波速之間應該滿足波長等于波速除以頻率的關系。波源在整個空間發出的是球面波,然而每個方向上看是等效的，因此可將問題簡化成沿著一個方向看成是一個縱波，根據此特性就可以定義觀察者接收到完整波的個數。

2 波源和觀察者在同一直線上運動的多普勒效應

普通物理教材中的多普勒效應是指：由于波源或觀察者相對于介質運動,使觀察者接收到的頻率f和波源實際發出的頻率f0不相同。按照定義,設在時間間隔內波源共發出個波,此波在介質中傳到觀察者的位置，假設在時間內全部接收,觀察者接收到的頻率應是：

按照上述思路，先考慮波源與觀察者在同一直線上做勻變速運動的情況。以運動方向為x軸,假定都沿x軸正方向運動,從靜止開始做勻加速直線運動，波源與觀察者的加速度分別為aS、aR，任意時刻速度大小設為和，波速為。如圖1所示，從某一時刻開始計時，波源在S1處靜止開始運動并發出連續的波，經的時間總共發出的波數為在這段時間內波源從S1處運動到S2處，由運動學公式可得S1S2之間的距離為：

設波源發出的第一個波由S1處傳到觀察者所在R1處所需時間剛好也為則此時觀察者的速度大小為波源運動到S2處時刻為并發出了最后一個波，該波被觀察者在R2處接收時刻為將這一時刻減去第一個波發出到被觀察者接收的時刻正是，同時也是觀察者從R1運動到R2所用時間，再根據勻變速運動規律，得出R1R2的距離為：

將⑵⑶兩式代入⑷式將所得等式：

根據運動學知識可得，某一時刻波源和觀察者的速度分別為：

代入上式中并整理得出：

在要求波源的速度和觀察者的速度遠遠小于波的傳播速度前提下，即

在“低速”近似條件下，對上述方程求解得：

其中一個解為負數舍去，所以：

將該式子代入（1）式便得到

若波源與觀察者的運動方向與x軸正方向相反,則應相應將正號改成負號,于是便得到在經典條件下，波源與觀察者在同一條直線上做初速度為0的勻加速直線運動時的多普勒效應。接下來，將問題進一步深化，討論波源與觀察者不在一條直線上做初速度為0的勻加速直線運動時的多普勒效應的情況。

3 波源與觀察者不在一條直線上運動的多普勒效應

波源S靜止不動,觀察者以加速度為aR從靜止開始運動,如圖2所示。在0時刻波源S發出第一個波，則在時刻被觀察者在R1處接收。經過△t1時間波源發出最后一個波，被觀察者在R2處接收，此時為觀察者接收全部的波所用時間為：

在滿足R1S>>R1R2條件下，即“高頻”條件下：

接下來的數據處理與波源和觀察者在同一直線上運動情況相同，同理可解出：

將該式子代入（1）式便得到

即得出波源不動,觀察者做勻加速直線運動并且它們不在一條直線上的情況下，觀察者接收到的頻率與波源的頻率之間的關系，其中公式中的α為觀察者運動方向和觀察者與波源連線的夾角。

觀察者靜止不動，波源以加速度as運動，從靜止做勻加速直線運動,如圖3所示。在0時刻波源在S1發出第一個波，在時刻被觀察者在R處接收。經過時間波源發出最后一個波，觀察者在時刻接收。

整理解出：

代入(1)式便得：

該式子表示波源在做勻加速直線運動時，觀察者在R處接收到的頻率與波源頻率之間的關系，其中β為波源運動方向與波源和觀察者連線之間的夾角。

波源和觀察者都非靜止狀態，并分別以初速度為0，加速度為as、aR做勻加速直線運動，如圖4所示。

波源和觀察者分別以加速度as及加速度aR從靜止開始做勻加速直線運動,兩條直線交于O點,夾角為θ。在t=0時刻,波源的位置在S點(到O點的距離為a),觀察者的位置在R點(到O點的距離為b)，此兩點的連線它與波源和觀察者運動方向的夾角分別為α和β。波源發出的第一個波由S1點傳到觀察者所在的R1點則所需時間為此時在△t1時刻波源在S2處發出最后一個波被觀察者在R2處接收時刻為且所以：

在三角形OS1R1中根據余弦定理：

同理在三角形S1RR1和三角形OS2R2中分別有：

根據幾何關系于是有：

將(9)、(10)代入到(8)式中化簡得：

將該等式右邊進行二項式展開后得到：

因此上式代入到(6)式則：

接下來的數據處理方法與之前的類似便能得到觀察者接收到的頻率與波源頻率的關系式：

該式即為經典的多普勒效應在觀察者和波源初速度都為零且均做勻加速直線運動情況下一般表達式,外加需要滿足“低速”條件，即經典條件。

從(12)式出發進一步對該經典的多普勒效應進行討論：

②由于波源和觀察者的速度都是時間的函數，所以推出的多普勒公式也不是一個定值，同樣也是隨時間變化的函數。另外，當波源與觀察者不在一條直線上運動時觀察者接收到的頻率不一定與時間成正相關，根據圖3能夠定性的分析出觀察者接收到的頻率先增大后減小，所以觀察者接收到的音調并不一定是越來越高。

③(12)式可以認為是一般結果，式中若α=0，β=0，則有：

即與前面(5)式結果一致。進行對比看出，觀察者與波源不在一條直線上運動的情況是在(5)的基礎上再分別將它們的速度投影在兩者之間的連線上，該特點與觀察者與波源都做勻速直線運動情況一致。并且，當考慮到波源與觀察者不同的運動方向的情況，速度取不同的正、負值。

④任何規律和公式都有一定的適用條件，以上推出的多普勒效應公式也是在一定范圍內成立的，(12)式是在同時滿足了“高頻”條件即和波源的速度及觀察者的速度都要滿足遠遠的小于波速即“低速”條件下，可見(12)式嚴格說應該是波源與觀察者均做勻加速直線運動時的經典多普勒效應近似公式。

4 結語

為了更好討論在勻變速運動情況下的多普勒效應，先分析出多普勒效應的3個性質，即瞬時性、不同時性、規律一致性，基于此再進一步討論波源和觀察者在同一直線上運動的多普勒效應和不在一條直線上運動的多普勒效應，并分別分析推導在波源、觀察者其中一個做勻加速運動的情況和兩者都做勻加速直線運動情況時的接收頻率公式，并且發現在“高頻”和“低速”的條件下其他情況的討論可以看成是波源與觀察者均做勻加速直線運動時的特殊情況，即得到了波源與觀察者做勻加速直線運動時的經典多普勒效應一般公式。