魯班鎖的別樣玩法

邵勇

在沒有釘子、繩子的情況下，你能將6根木條交叉固定在一起嗎？木匠祖師魯班就發明了一種方法，用咬合的方式把3組木條垂直相交固定。6根木條中間有缺，缺缺相合。這種三維的拼插器具在建筑上也被廣泛應用，是中國古代傳統的土木建筑固定結合器。

三國時期，孔明把魯班的發明制成了一種玩具。這種玩具雖然看上去簡單，但是內中奇妙無窮，不得要領很難完成拼合，是一種老少皆宜的休閑玩具。

魯班鎖亦稱孔明鎖、別悶棍等。從外觀上看，它是嚴絲合縫的十字立方體，動動腦筋即可拆解。但要重新拼裝好可不是那么容易的，拼裝時需要仔細觀察，認真思考，分析其內部結構。除了能對魯班鎖進行拼裝、拆解外，我們還可以從數學的角度來研究魯班鎖。

魯班鎖由6根方柱交叉拼接而成。因為6根方柱互有重合的地方，所以有些方柱肯定不是完整的，而是被挖掉了一部分。也正因為這樣，魯班鎖才會產生如此巧妙的拼裝方式。

從外面觀察拼裝好的魯班鎖，我們可以發現每根方柱之間沒有一絲空隙。但光用眼睛看還不夠，雙手也要動起來呀！一起來算出魯班鎖的體積吧。

計算拼裝好的魯班鎖的體積有很多種方法。今天主要介紹2種：一種是將魯班鎖分解成容易計算體積的幾個組成部分，另一種是運用能使重疊部分不被重復計算的容斥原理。

假設1根完整的方柱可以均分為4個小正方體，每個小正方體的體積看作單位1，1根完整的方柱的體積為4。……