平行線變化之模型

王雪潔

大連春田中學李丹丹老師的直播課《平行線背景下角的轉移》，選自遼寧教育學院“學到匯”公眾服務平臺“遼寧省初中數學學科名師公益課堂”，旨在引領教師專業發展，服務學生自主學習，減輕學生學業負擔。

Ｄ

觀看了李丹丹老師的直播課《平行線背景下角的轉移》，收益頗多. 普通的平行線搭上截線后，會產生同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補的結論，依此可以推導出很多角相等或角互補的結論，形成相等的角“四處串”的效果. 若遇到變化的平行線，你還能處理其中角的關系嗎？

模型構建

“豬爪”模型，因長得像豬爪而得名，也叫M模型.

例 如圖1，AB[?]CD，求證：∠B + ∠D = ∠E.

學法指導：利用過拐點構造平行線或者延長某條線的方法，可使平行線搭上截線. 輔助線引法1：如圖2，過點E作MN[?]AB；輔助線引法2：如圖3，延長BE交CD于點F. 也可以構造截線，使平行線搭上截線. 輔助線引法3：連接BD，通過△BED的內角和與兩條平行線間同旁內角之和為180°得出結論. （請同學們自己嘗試作圖）

變式演練

變式1：如圖4，現有兩根平行木棒 AB 和 CD ，其間有一點P，用皮筋纏繞使它與 A，C 兩點相連，請你猜想∠PAB，∠PCD，∠APC 這三個角之間的數量關系，并說明理由. （點P不在直線 AB、直線 CD、直線 AC 上. ）

學法指導：如圖5，通過構造平行線或截線，可發現點P在不同區域時結論不同.

如圖4，當點P落在（1）區時，可以利用兩組同旁內角的和、周角或四邊形內角和的知識來求得∠PAB ?+ ∠PCD + ∠APC = 360°，如圖5所示. 此時構成“鉛筆”模型.

當點P在（2）區時，如圖6②，構成“豬爪”模型，∠APC = ∠PAB ?+ ∠PCD.

當點P在（3）（6）區時，如圖6③，構成“骨折”模型，∠PCD = ∠APC + ∠PAB.

當點P在（4）（5）區時，如圖6④，構成“靴子”模型，∠PAB = ∠APC + ∠PCD.

變式2：（拐點為兩個）如圖7，已知 AB[?]EF ，過點 D 作 DH[?]EF ，則平行線 AB 和 HD 之間可看作“豬爪”模型，則 ∠C = ∠B + ∠ HDC ，由 HD[?]EF 得∠HDE = ∠E，因此∠B + ∠CDE = ∠C + ∠E.

變式3：（拐點為三個）如圖8，已知 AB[?]EF ，過點 D 作 DH[?]EF ，由兩個“豬爪”模型，可得 ∠B + ∠HDC = ∠C，∠HDG + ∠F = ∠G，則∠B + ∠CDG + ∠F = ∠C + ∠G.

變式4：（拐點為n個）如圖9，已知AB[?]CD，求證∠E1 + ∠E2 + … + ∠En = ∠B + ∠F1 + ?∠F2 + … + ∠Fn - 1 + ∠D. ?（其實也就是左邊所有角之和等于右邊所有角之和，請同學們自己證明這個“鋸齒”模型的結論）

反思：模型多，名字也多，這只是為了我們溝通方便用的，記起來吃力的話，完全可以不用記. 構造這些模型就是要把已知的或構造的平行線用截線連接起來，產生三線八角，從而得到結論.

分層作業

難度系數：★★解題時間：1分鐘

如圖10，AB[?]EF，BC⊥CD那么∠B，∠D，∠E 的關系是.

（作者單位：沈陽市第一四五中學）