巧用統計量 妙解實際問題

余旭紅

一、巧用算術平均數，妙解平均銷量

例1 （2022·四川·內江）某4S店今年1～5月新能源汽車的銷量（輛數）分別如下：25，33，36，31，40，這組數據的平均數是（）.

A. 3 B. 33 C. 32 D. 31

解析：這組數據的平均數為[25+33+36+31+405] = 33（輛）. 故選B.

二、巧用加權平均數，妙解平均質量

例2 （2022·浙江·臺州·改編）從A，B兩個品種的西瓜中隨機各取7個，它們的質量分布折線圖如圖1. 試求A，B兩個品種的西瓜中每只瓜的平均質量是多少.

解析：分別計算A，B兩個品種西瓜每只平均質量：

[xA=17×4.9+5.0×4+5.1+5.2≈5.03]；

[xB=17×4.4+5.0×3+5.2+5.3+5.4≈5.04].

則A，B兩個品種的西瓜中每只瓜的平均質量分別為5.03 kg和5.04 kg.

三、巧用方差，妙解數據穩定性

例3 （2022·江蘇·揚州）某射擊運動隊進行了5次射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績如圖2所示，甲、乙兩選手成績的方差分別記為[s2甲、s2乙]，則[s2甲][s2乙]. （填“>”“<”或“ = ”）試回答：在甲、乙兩名選手中，誰的成績較穩定？

解析：∵[x甲=5+10+9+3+8÷5=7]，

[x乙=8+6+8+6+7÷5=7]，

[s2甲=15×5-72+10-72+9-72+3-72+8-72=6.8]，

[s2乙=15×8-72+6-72+8-72+6-72+7-72=0.8]，

∴[s2甲>s2乙]. 故應填>. 乙的成績較穩定.

反思：方差表示的是一組數據的波動大小，方差越小，說明數據的波動越小，數據就越穩定.

四、巧用多種統計量，妙解數據分析

例4 （2022·四川·南充）為了解“睡眠管理”落實情況，某初中學校隨機調查50名學生每天平均睡眠時間（時間均保留整數），將樣本數據繪制成統計圖（如圖3），其中有兩個數據被遮蓋，在關于睡眠時間的統計量中，與被遮蓋的數據無關的是（）.

A. 平均數 B. 中位數 C. 眾數 D. 方差

解析：根據題意可得，計算平均數、方差需要全部數據，故A項、D項不符合題意. ∵50 - 5 - 11 - 16 = 18 > 16，∴無法確定眾數分布在哪一組，故C項不符合題意. 從統計圖可得：前三組的數據共有5 + 11 + 16 = 32，由于共有50名學生，中位數為第25位與第26位的平均數，∴該樣本數據的中位數確定，且不受后面數據的影響. 故選B.

例5 （2022·廣西·北部灣經濟區·改編）數學活動課上，老師帶領同學們開展“利用樹葉的特征對樹木進行分類”實踐活動，同學們隨機收集芒果樹、荔枝樹的樹葉各10片，通過測量得到這些樹葉的長y（單位：cm）、寬x（單位：cm）的數據后，分別計算長寬比，分析數據如下：（1）①A同學說：“從樹葉的長寬比的方差來看，我認為芒果樹葉的形狀差別大. ”②B同學說：“從樹葉的長寬比的平均數、中位數和眾數來看，我發現荔枝樹葉的長約為寬的兩倍. ”他們的說法中，合理的是. （填序號）（2）現有一片長11 cm、寬5.6 cm的樹葉，請判斷這片樹葉更可能來自于芒果、荔枝中的哪種樹？說明理由.

解析：（1）從樹葉的長寬比的方差來看，芒果樹葉的長寬比的方差較小，所以芒果樹葉形狀差別更小；從樹葉的長寬比的平均數、中位數和眾數來看，荔枝樹葉的長寬比為2，則荔枝樹葉的長約為寬的兩倍. 故應填②. （2）這片樹葉長11 cm、寬5.6 cm，長寬比大約為2.0，根據兩種樹葉各自的長寬比平均數可知這片樹葉可能來自于荔枝樹.

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區浙光中學）