帶Holling Ⅲ型功能反應函數的捕食-食餌生態經濟模型的Hopf分支

宣天賜，吳雪瑩，王桂臻

(湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

我們將討論基于下面的帶Holling Ⅲ型功能反應函數的捕食-食餌系統：

(1)

在1954年，Gordon[2]研究了由生態的觀點得來的生態系統的收獲努力的作用，提出了下面的經濟原理：純利潤(NER)=總利潤(TR)-總成本(TC).與系統(1)聯立得：E(t)(px(t)-c)=v，其中E(t)表示收獲努力，p表示單位重量單位收獲努力的收獲報酬，c表示每個單位收獲努力的收獲成本.于是，我們得到

(2)

g(v，X)=E(px-c)-v，X=(x，y，E)T

(3)

1 穩定性分析

(4)

(5)

證明 觀察參數化系統(5)，我們可以推論系統(5)在Y=0 處的雅可比矩陣A(v) 有如下形式

因此，矩陣A(v) 的特征方程可以寫成

λ2+a1(v)λ+a2(v)=0

(6)

2 Hopf分支分析

基于系統(4)的標準型和文獻[7]中的Hopf分支理論，我們發現一些Hopf分支存在的充要條件.下面我們要計算出系統(4)的標準型.

通過計算，我們導出

(7)

(8)

其中ω0:=ω(v0).

可以證明參數化系統(5)形式如下：

(9)

參數化系統(9)中的系數計算如下：

DΨ(v，Y)=(Dy1Ψ(v，Y)，Dy2Ψ(v，Y))=

(10)

因此

(11)

(12)

由方程(11)，我們導出

(13)

由(10)式和(13)式，我們得到

(14)

(15)

由式(10)和式(14)，得

(16)

從式(16)，得

(17)

(18)

與標準型(8)比較，我們需要用下面的非奇異的線性變換將參數化方程(18)標準化：

(19)

由標準型(19)和文獻[7]中的Hopf分支理論，我們導出定理2.

定理2 對于系統(2)，存在一個正常數ε和正平衡點X0(v)的兩個足夠小的鄰域O和P，其中0<ε< 1，O?P.

證明與文獻[1，7]中的Hopf分支定理的證明類似，所以過程在這里省略掉.由此，我們得到了這種帶Holling Ⅲ型功能反應函數和食餌收獲的捕食-食餌生態經濟系統Holf分支存在的條件，具有實際意義.

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