基于Lévy穩(wěn)定分布的失效概率預(yù)測(cè)模型

黃嘯宇，顧沖時(shí)，何 菁

(1.河海大學(xué)水利水電學(xué)院，江蘇 南京 210024；2.南京市水利建筑工程檢測(cè)中心有限公司，江蘇 南京 210036)

失效概率是定量估計(jì)工程結(jié)構(gòu)可靠性的重要指標(biāo)。一般來說，失效概率值很小，并且受各影響因素統(tǒng)計(jì)分布的選取影響很大，極為敏感[1-2]。合理選擇隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)分布是有效計(jì)算失效概率的前提。目前描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)分布有正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、極值分布等，然而這些統(tǒng)計(jì)分布并不能準(zhǔn)確描述出某些隨機(jī)變量的尖峰與拖尾特征。而Lévy穩(wěn)定分布是分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計(jì)分布的一種，也屬于冪律分布，常用于描述服從非高斯分布的隨機(jī)變量，并且可以刻畫出隨機(jī)變量尖峰、拖尾及非對(duì)稱的特征[3]。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的迅速發(fā)展，前人在已有理論和算法的基礎(chǔ)上，開發(fā)了一系列易用的Matlab軟件包來解決估計(jì)Lévy穩(wěn)定分布的參數(shù)、生成隨機(jī)數(shù)、擬合圖像等相關(guān)問題，使得Lévy穩(wěn)定分布在數(shù)值模擬和統(tǒng)計(jì)上更加備受關(guān)注。

本文以內(nèi)蒙古永濟(jì)第二節(jié)制閘為例，通過Lévy穩(wěn)定分布描述各隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征，建立極限狀態(tài)方程，計(jì)算結(jié)構(gòu)的失效概率。

1 Lévy穩(wěn)定分布的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

1.1 Lévy穩(wěn)定分布的統(tǒng)計(jì)特征

Lévy穩(wěn)定分布是一類廣泛應(yīng)用于反常擴(kuò)散、信號(hào)處理和金融工程等領(lǐng)域的統(tǒng)計(jì)分布[4]。近年來，許多學(xué)者對(duì)Lévy穩(wěn)定分布理論和應(yīng)用進(jìn)行了深入研究，并取得了一定成果。目前使用特征函數(shù)來描述Lévy穩(wěn)定分布是比較簡(jiǎn)單的[4-5]。

在理論應(yīng)用上，Samorodnitsky和Taqqu提出，假設(shè)隨機(jī)變量X服從Lévy穩(wěn)定分布，即X～S0(α，β，γ，δ)，那么X的特征函數(shù)

(1)

式中，α、β、γ、δ分別為穩(wěn)定指數(shù)、傾斜指數(shù)、尺度參數(shù)和位置參數(shù)，參數(shù)的取值范圍為， 0≤α≤2，-1≤β≤1，γ>0，δ∈R，其中，α的值分別為1和2時(shí)10-3，對(duì)應(yīng)的是Lévy穩(wěn)定分布的特殊情況，即柯西分布和高斯分布；signt為t的符號(hào)函數(shù)；i為1，2，3，4，…，t為步長(zhǎng)。

1.2 Lévy穩(wěn)定分布的優(yōu)勢(shì)

確定影響結(jié)構(gòu)可靠性的隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)分布是準(zhǔn)確評(píng)估水工結(jié)構(gòu)可靠性的前提，《水利水電工程鋼閘門設(shè)計(jì)規(guī)范》指出，作用在閘門上的荷載主要有靜水壓力、動(dòng)水壓力、自重等，這些荷載都可以作為隨機(jī)變量進(jìn)行失效概率的計(jì)算。目前應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量估計(jì)的常用統(tǒng)計(jì)分布有正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、極值I型分布、威布爾分布等。然而，這些統(tǒng)計(jì)分布只通過觀測(cè)試驗(yàn)資料的期望和方差來確定工程隨機(jī)變量的分布，卻忽視了偏態(tài)、峰態(tài)、尾部等信息，尤其不能準(zhǔn)確描述隨機(jī)變量概率密度函數(shù)的尖峰及尾部的冪律特征，因而不能全面真實(shí)地反映服役水工結(jié)構(gòu)的可靠性等信息，甚至可能得出與實(shí)際情況相悖的結(jié)論[5]。

而Lévy穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)具有尖峰、拖尾、非對(duì)稱的特征，與影響水工結(jié)構(gòu)可靠性的隨機(jī)變量的非高斯統(tǒng)計(jì)特征一致，因此可以通過Lévy穩(wěn)定分布的穩(wěn)定指數(shù)α以及傾斜指數(shù)β直接刻畫出各隨機(jī)變量的尖峰、拖尾和非對(duì)稱特征，實(shí)現(xiàn)對(duì)影響工程結(jié)構(gòu)可靠性隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)分布的準(zhǔn)確估計(jì)，從而得到較為準(zhǔn)確的分析結(jié)論。整理需要研究的隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)，得到隨機(jī)變量數(shù)組X=(x1，x2，x3，x4，x5)。將X視為獨(dú)立同分布的隨機(jī)向量，為了研究隨機(jī)變量滿足的統(tǒng)計(jì)分布，首先要確定與實(shí)際數(shù)據(jù)擬合程度最高的統(tǒng)計(jì)分布。本文將Lévy穩(wěn)定分布、極值I型分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布3種統(tǒng)計(jì)分布作對(duì)比分析。需要指出的是Lévy穩(wěn)定分布沒有確定解析形式的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，目前采用的方法是首先通過Koutrouvelis和Kogon、Williams[6]提出的經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)法確定各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的Lévy穩(wěn)定分布的4個(gè)參數(shù)，包括穩(wěn)定指數(shù)α、傾斜指數(shù)β、尺度參數(shù)γ和位置參數(shù)δ，然后使用Nolan提出的一種直接積分法計(jì)算Lévy穩(wěn)定分布的累積分布函數(shù)。

1.3 基于 Lévy穩(wěn)定分布的蒙特卡羅法

本文通過Lévy穩(wěn)定分布與蒙特卡羅法相結(jié)合對(duì)失效概率進(jìn)行計(jì)算，具體步驟如下：

(1)確定研究對(duì)象以及隨機(jī)變量并獲取數(shù)據(jù)。選擇合適的水工結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象，選擇影響其可靠性的因素x1，x2，x3，x4，x5…作為隨機(jī)變量，并獲取相關(guān)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到隨機(jī)變量矩陣X=(x1，x2，x3，x4，…)。

(2)建立極限狀態(tài)方程

g(R-S)=R-S=g(x1，x2，x3，x4，x5，…)

(4)

式中，R為容力；S為抗力；g(R，S)為X=(x1，x2，x3，x4，x5…)的函數(shù)。

(5)

(6)

(4)計(jì)算靜態(tài)失效概率。將還原后并標(biāo)準(zhǔn)化過的數(shù)據(jù)代入極限狀態(tài)方程，當(dāng)計(jì)算值g(X)≤a時(shí)(a為常數(shù))，水工結(jié)構(gòu)將失效。對(duì)失效情況進(jìn)行蒙特卡羅模擬，進(jìn)行R次數(shù)值試驗(yàn)，則水工結(jié)構(gòu)失效概率為

(7)

式中，I為邏輯指示函數(shù)；g(Xi)為失效概率計(jì)算值。當(dāng)g(X)≤a時(shí)，I=1，否則，I=0。由上式可知，失效概率Pf與試驗(yàn)次數(shù)R有關(guān)，為保證準(zhǔn)確性，需要計(jì)算不同試驗(yàn)次數(shù)R下的失效概率。

2 實(shí)例分析

2.1 Lévy穩(wěn)定分布

為進(jìn)一步驗(yàn)證Lévy穩(wěn)定分布對(duì)水工建筑物影響因素的擬合優(yōu)勢(shì)，本文以內(nèi)蒙古永濟(jì)第二節(jié)制閘1995年～2001年的下游水位為例，通過K-S法來定量分析3種統(tǒng)計(jì)分布與實(shí)際數(shù)據(jù)之間有無(wú)顯著性差異。K-S法是Kolmogorov和Smirnov提出的一種檢驗(yàn)誤差的方法，主要思想為對(duì)每一個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行理論觀測(cè)和數(shù)值計(jì)算的比較，如果計(jì)算出的最大值偏差小于允許偏差時(shí)，認(rèn)為原假設(shè)是正確的[7]。之后再繪制出不同統(tǒng)計(jì)分布的下游水位累積分布函數(shù)圖像，可以比較出最優(yōu)擬合統(tǒng)計(jì)分布。

圖1給出了下游水位在不同統(tǒng)計(jì)分布下的累積分布函數(shù)。從圖1可以看出，Lévy穩(wěn)定分布相比于對(duì)數(shù)正態(tài)分布和極值I型分布，對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)的擬合程度更好。表1給出了3種統(tǒng)計(jì)分布的K-S檢驗(yàn)最大誤差。從表1可以看出，Lévy穩(wěn)定分布的K-S檢驗(yàn)最大誤差僅為0.062 67，遠(yuǎn)小于對(duì)數(shù)正態(tài)分布和極值I型分布，由此確定，Lévy穩(wěn)定分布具有最好的擬合效果。

2.2 失效概率計(jì)算

內(nèi)蒙古永濟(jì)第二節(jié)制閘是一座整體開放式水閘，閘室包括兩扇閘門，每扇閘門都配有一座螺旋式啟閉機(jī)，在河道和河道的兩側(cè)連接有鋼筋混凝土的后墻。相關(guān)數(shù)據(jù)如下：閘門寬2.5 m，高3 m，自重3.25 t，中墩厚0.8 m，閘室底板順?biāo)鞣较蜷L(zhǎng)7.5 m。計(jì)算工況采用閘上設(shè)計(jì)水位2.6 m，閘下設(shè)計(jì)水位0.6 m[8]。在上述工況條件下，計(jì)算水閘的抗滑穩(wěn)定性?！端l設(shè)計(jì)規(guī)范》指出，水閘抗滑穩(wěn)定性的主要影響因素有：水閘結(jié)構(gòu)自重、上下游水壓力、滲透壓力、水體重力、底板與地基間摩擦力、基底粘著力及地震荷載等。在本文的計(jì)算中，選取結(jié)構(gòu)自重、上游水位、下游水位、底板與地基間摩擦力、基底粘著力作為隨機(jī)變量，將其依次設(shè)為x1，x2，x3，x4，x5。

以內(nèi)蒙古永濟(jì)第二節(jié)制閘為研究對(duì)象，采用上述失效概率預(yù)測(cè)模型分析永濟(jì)第二節(jié)制閘的抗滑穩(wěn)定性。建立水閘抗滑穩(wěn)定性極限狀態(tài)方程

g(X)=f[Wu+Wd+Ws-U]+AFg-(Pu-Pd)

(8)

式中，f為底部?jī)?nèi)摩擦系數(shù)；Wu為上游水重；Wd為下游水重；Ws為水閘自重；U為揚(yáng)壓力；A為底部受剪面積；Fg為基底粘著力；Pu為閘上游水壓力；Pd為下游水壓力。當(dāng)g(X)≤0時(shí)，水閘將失效。

之后，將還原并標(biāo)準(zhǔn)化后的Lévy隨機(jī)數(shù)代入極限狀態(tài)方程中，進(jìn)行多次蒙特卡羅模擬試驗(yàn)，得到失效概率Pf。本文通過Matlab軟件實(shí)現(xiàn)對(duì)Lévy穩(wěn)定分布的參數(shù)估計(jì)、概率密度函數(shù)及累積分布函數(shù)的計(jì)算、生成隨機(jī)數(shù)等，并且根據(jù)蒙特卡羅法的思想編寫程序計(jì)算失效概率。由大數(shù)定理可知，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)R極大時(shí)，試驗(yàn)結(jié)果可以反映失效概率Pf。為了保證計(jì)算得到的失效概率有效，需要進(jìn)行多次試驗(yàn)來判斷收斂情況，這也使得對(duì)水閘的可靠性評(píng)估更加準(zhǔn)確。作者通過不斷增加多次試驗(yàn)并觀察后確定失效概率Pf曲線收斂并且在一個(gè)值附近波動(dòng)，當(dāng)曲線趨于平穩(wěn)時(shí)表明在該試驗(yàn)次數(shù)R下可以得到較為準(zhǔn)確的失效概率Pf。

本文進(jìn)行了10組試驗(yàn)次數(shù)依次遞增的蒙特卡羅模擬試驗(yàn)，失效概率隨模擬次數(shù)變化的收斂曲線見圖2。從圖2可以看出，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)數(shù)量級(jí)達(dá)到106時(shí)，失效概率曲線開始趨于收斂，并在0.227%附近波動(dòng)，相對(duì)誤差不超過2%。模擬次數(shù)以及失效概率的計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 模擬次數(shù)、失效概率

文獻(xiàn)[8]給出了1995年～2001年下游水位數(shù)據(jù)，為了研究不同年份中該水閘抗滑穩(wěn)定性及其變化規(guī)律，對(duì)各年數(shù)據(jù)按前述Lévy穩(wěn)定分布失效概率計(jì)算方法分別進(jìn)行處理。表3給出了失效概率逐年變化的計(jì)算數(shù)據(jù)。進(jìn)一步觀察可發(fā)現(xiàn)，該水閘隨使用年限增加，失效概率與年份近似為線性增長(zhǎng)關(guān)系?；贚évy穩(wěn)定分布得到的失效概率隨年份變化的函數(shù)可對(duì)水工建筑物失效概率進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。

表3 失效概率逐年變化數(shù)據(jù)

3 結(jié) 論

(1)與對(duì)數(shù)正態(tài)分布和極值I型分布相比，Lévy穩(wěn)定分布作為影響水工建筑物可靠性隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)分布時(shí)對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的擬合效果好，可以較好地反映水工結(jié)構(gòu)水位數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征。

(2)從理論和數(shù)值計(jì)算兩方面來看，基于Lévy穩(wěn)定分布的失效概率預(yù)測(cè)模型是有效的，Lévy穩(wěn)定分布對(duì)影響水工建筑物可靠性的各隨機(jī)變量具有較好的還原性，可以據(jù)此進(jìn)行失效概率的預(yù)測(cè)，分析在一定年限內(nèi)水工建筑物可靠性的變化，可應(yīng)用于實(shí)際工程中。