利用字典學習的淺海被動聲層析

汪 愷，李風華，楊習山

(1.中國科學院聲學研究所，北京 100049；2.中國科學院大學，北京 100190)

0 引言

海洋環境特性對聲傳播的影響十分重要，其聲場對水體聲速變化極為敏感，這種聲波和海洋環境特性之間的聯系使得從聲信號中提取海洋環境信息成為可能。自從Godin論證了噪聲互相關函數的時延和兩點之間的格林函數時間到達結構一致后，被動聲層析方法就得到長足的發展[1]。通過噪聲互相關函數，可以提取兩個接收器之間的經驗格林函數來反演聲速剖面(Sound Speed Profile,SSP)[2]。Godin等成功從7天平均的噪聲互相關函數反演了海洋的平均聲速[3]，在此基礎上Li等通過波束形成將格林函數的提取時間縮減到了2 h[4]。

對于聲速剖面的重建方法，Bianco等[5]提出了字典學習表征聲速剖面的方法，相對于傳統的經驗正交函數表征方法(Empirical Orthogonal Function,EOF)[6-8]，字典學習表征方法在聲速剖面重建之后能恢復出更多聲速剖面的起伏。由于不需要保證基函數正交，因此對訓練數據的選擇更加靈活[9]。

本文通過稀疏表達，用字典學習代替經驗正交函數來表征聲速剖面，在構建出字典矩陣后，從海洋環境噪聲中準確反演得到了聲速剖面，比傳統的被動聲層析方法精度更高，同時待反演參數更少。

1 基于字典學習的被動聲層析方法

1.1 水平陣列噪聲提取經驗格林函數

圖1為水平陣列被動聲層析示意圖，展示了水平陣列噪聲提取格林函數的實驗布放方式。海底兩個平行的水平線陣連續不斷地接收海洋環境噪聲，將其劃分為K個快拍后，通過波束形成加速能量累積，兩個水平陣列之間的噪聲互相關函數可通過下式計算得到[4]:

圖1 水平陣列被動聲層析示意圖Fig.1 Schematic diagram of passive acoustic tomography with two parallel horizontal arrays

在經過K個快拍的累積疊加后，可以得到累積的經驗格林函數(Empirical Green Function,EGF)：

在提取出的經驗格林函數基礎上可以對聲速剖面進行進一步反演。

1.2 基于字典學習的被動聲層析射線反演理論

由于海洋波導在實際傳播過程中的多途效應，r1，m和 r2，n兩點間的格林函數可以表示為各條本征聲線的疊加：

式中：I是本征聲線的數目；ai是本征聲線的幅度；ti是本征聲線的傳播時間。在實際的聲層析中往往只有J條可清晰分辨的聲線路徑，其組成的時間到達向量為

通過給定不同的聲速剖面進行聲場仿真計算，將模型計算得到各聲線路徑到達時間與提取格林函數的各個聲線到達時間對比，進而匹配出最接近實際海洋環境的聲速剖面，也就是求解式(5)：

其中：c(z)∈RZ×1為深度上的聲速剖面，Z為深度上的采樣點數，R表示實數集，c?(z)為求解得到的代價函數最小時的聲速剖面。

考慮到實際聲速剖面往往深度采樣點數較多，為了減少反演參數，與EOF方法類似，用字典學習方法對聲速剖面進行稀疏表征：

式中：c(z)∈RZ×1是時間平均聲速，Q∈RZ×D為字典矩陣，D為字典的維數，x∈RD×1為稀疏的系數向量，僅有d個非零值，且d?D。這里詞典Q通過式(7)從訓練數據中生成：

其中：C為c(z)組成的聲速剖面矩陣，X為系數向量x組成的系數矩陣，q為Q中的字典向量，Qopt為最后生成的字典矩陣，Xopt為對應的系數矩陣。

式(5)的代價函數可進一步表示為

由于約束較少，難以搜索到最優解，因此借助衛星遙感測量的海洋表面溫度進行聯合同化反演[10]，優化問題進一步表示為

其中：Ts為衛星遙感測量的海表溫度，μ為正則化參數，T(x)為依據構建的聲速剖面計算得到的海表溫度[11]。由于系數向量x的稀疏性，只需要搜索x中d個參數即可對式(9)求解，搜索出最優的聲速剖面。

2 實驗處理

實驗布放示意圖如圖1所示，在海深約為97 m的海底布放兩個大致平行的水平陣列，陣列水平距離為3 529 m，每個陣列有間隔6 m的15個等間距陣元，實際陣列長度大約為84 m，滿足遠場假設。一條包含38個TD的溫度鏈被布放在兩個水平陣列的中央用以記錄水體大約2.5～95.0 m的水文數據。接收到的噪聲數據以10 s為一拍進行劃分，同時對P(k)i(ω)進行20～400 Hz的濾波。在滿足遠場近似并且兩水平陣陣型相似、陣元數目一致的條件時，通過常規波束形成，依據式(1)～(2)，通過疊加多個快拍可以提取出2 h時間平均的經驗格林函數[4]。圖2展示了提取的一條典型的格林函數。

圖2 2 h平均的經驗格林函數Fig.2 An empirical Green’s function for 2 h average

溫度鏈間斷測量了該海域從2018年4月19日～7月30日的水文信息。聲速剖面通過插值得到完整海深深度上的聲速分布。圖3展示了按1 h平均采樣后的聲速剖面，其中第146～240號、第740～793號樣本的測量時間與接收信號時間相對應，因此這些水文與格林函數時間一致被降采樣到2 h，用來測試反演結果。其余水文用來構建聲速剖面的學習字典和EOF。字典維度D設為200，稀疏參數d設為1，使用K-SVD算法來從式(7)中生成更新字典[8-9]。K-SVD算法是一種經典的字典學習算法，在迭代過程中使用K次奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)[12]。

圖3 溫度鏈間斷測量的聲速剖面Fig.3 SSPs discontinuously measured by thermistor chain

圖2中格林函數第2號包絡的波峰和第3號包絡的波谷以及第4號包絡的波峰更加穩定，因此用這三個時延代入式(9)中反演聲速剖面[13]。EOF方法采用3階EOF系數，由于3階組合的搜索參數較多，我們采用遺傳算法對參數組合進行搜索。字典學習方法的參數，由于x的稀疏性(d=1)，直接遍歷字典向量各維(D=200)，進行一維的參數搜索即可反演聲速剖面。

3 實驗結果與討論

圖4(a)展示了前36階字典向量(按方差排序)，圖4(b)則是前36階經驗正交函數?？梢詮膱D中看出，EOF的信息主要由前幾階EOF所表征，高階EOF蘊含的信息很少，而每個字典向量都能表達聲速起伏。

圖4 前36階字典和經驗正交函數得到的聲速剖面Fig.4 SSPs obtained from leading 36 order dictionaries and traditional empirical orthogonal function

圖5展示了用來構建EOF和字典的聲速剖面在經過兩種方法分解后，由1階稀疏度的字典方法和前3階EOF重建的結果。從圖中5可以看到，3階EOF和1階稀疏度的字典學習方法都能較好地表征重建聲速剖面。它們的平均均方誤差分別約為0.28 m·s-1和0.61 m·s-1，字典學習方法重建的誤差更小。

圖5 實測聲速剖面及字典學習法和EOF法的重建結果Fig.5 The measured SSPs and the SSPs reconstructed by Dictionary Learning and by EOF

對式(9)進行參數搜索后，反演的聲速剖面結果如圖6所示。從圖可以看到，字典學習方法更準確地反映了聲速剖面的起伏變化，其均方誤差約為0.53 m·s-1，而3階EOF方法精度相對較低，均方誤差約為0.78 m·s-1。圖7為圖6中第54號聲速剖面的對比，從圖中可以看到字典學習反演結果更加準確。

圖7 不同反演方法得到的聲速剖面對比Fig.7 Comparison of SSPs obtained by inversion with different methods

圖8對比了EOF不同階數和字典不同稀疏度對反演結果的影響。從圖中可以看到，字典學習方法相對于EOF方法總體上反演結果精度更好，并且EOF在階數增加到4，字典學習在稀疏度增加到3之后，均方誤差沒有繼續下降，反而可能大大增加。這是由于在被動聲層析中代價函數式(9)的約束項較少，隨著階數或稀疏度繼續增加，可能難以搜索到更優的參數組合，反而由于多解性導致反演精度下降。

聲速剖面的聲學反演是一個非線性多解問題，往往使用遺傳算法進行參數搜索，難以直接對比計算時間。通常對每個系數劃分為H個離散值，對各階系數組合進行搜索，參數組合為O(Hn)量級，n為階數。從圖8可以發現，在同等精度下，字典學習只需要1階系數，而EOF方法需要3階系數。假設系數劃分的離散值個數H=1 000，字典維數為200，那么字典方法有2×105個可能的解，EOF方法有109個可能的解。因此在同等精度下，通常字典學習方法的待搜索參數的個數少于EOF方法。

圖8 不同方法的聲速剖面反演結果的均方誤差Fig.8 RMSEs of of SSP inversion results of different methods

4 結論

從海洋噪聲互相關函數提取出格林函數之后，通過字典學習方法代替EOF方法表征聲速剖面，更準確地反演出了海洋聲速剖面的變化趨勢，反演精度為0.53 m·s-1。并且在同等精度下，字典學習方法的參數搜索量也遠小于EOF方法。

但由于被動聲層析代價函數約束項較少，難以通過增加稀疏度的方式來進一步提高精度。