基于ARMA-GARCH模型的滬深300指數回報率波動性研究

俞 越

（南京師范大學商學院，江蘇 南京 210023）

一、引言

收益率是衡量金融資產價格的一大重要指標，而其波動性能很好地對資產價格的波動進行描述。國內外學者在進行收益率波動性研究時，通常采用建立收益率波動模型的方式對序列進行分析與預測。

收益率波動模型可以采用ARMA模型、GARCH模型或是兩者結合形成的ARMA-GARCH模型。ARMA模型適用于研究平穩隨機過程，對于衡量金融資產價格的波動存在很多的不足，因此學者偏向于使用GARCH模型分析金融數據。Mhd Ruslan等（2021）運用GARCH模型研究了波動沖擊對三個國家或地區的主要全球航運公司股票收益率數據的影響并得到良好結果。王博（2012）、洪紹應等（2019）和謝黎旭等（2021）運用ARMA-GARCH模型對上證指數和我國豬肉板塊指數進行了研究并得到良好結果。

運用擬合模型進行預測時，可以采用動態預測與靜態預測兩種方式。洪紹應等（2019）通過兩種方式預測結果的對比，認為動態預測結果不佳而將其直接舍棄。胡興軍（2008）在滬市VaR動靜態對比中，認為即使動態預測結果更能反映出每期的波動，僅為直線的靜態預測依舊能夠用于估計整個區間內的風險。柳會珍等（2014）發現運用EGARCH（1，1）模型對我國股市波動風險進行動態預測時，在一定條件下能夠得到良好預測結果。

根據上述文獻結論，以及參考王博（2012）對殘差服從分布的分類方式，本文將在建立ARMA-GARCH模型時，考慮不同殘差分布情況下模型擬合的效果，得出最優擬合模型。運用最優擬合模型進行預測，結合兩種預測方式的預測結果進行分析。本文的結構安排如下：首先，概述所用理論模型；其次，介紹樣本序列數據來源、建立模型以及最優擬合模型的選取；再次，運用最優擬合模型的預測結果進行收益率及其波動性的分析；最后，總結實證結論。

二、理論模型概述

如果時間序列yt滿足：

則稱時間序列yt為服從（p，q）階的自回歸滑動平均模型（ARMA模型）。

由于ARCH模型在識別和估計模型功能上的不足，Bollerslov在1985年對ARCH模型進行了擴展，得到廣義自回歸條件異方差模型（GARCH模型）。擴展后的模型在兼具ARCH模型優點的同時能夠捕捉到時間序列的平緩期和波動期，更有利于金融數據的分析。以表示收益或者收益殘差，則p階ARCH模型中序列滿足：

其中各期收益以非負數線性組合，常數項為正數；并且

GARCH（p，q）模型可以用以下方程組表示：

其中ht為條件方差，ut為獨立同分布的隨機變量且符合標準正態分布，兩者相互獨立。

當只使用ARMA模型進行時間序列分析時，我們會忽略方差方程，認為殘差只是一個白噪聲。當只使用GARCH模型時，我們會將分析重點放在殘差上。因此，結合ARMA模型與GARCH模型形成的ARMA-GARCH模型，能夠從序列均值和方差的兩個部分形成均值符合ARMA過程、殘差符合GARCH過程的一個隨機過程。

三、數據來源與實證模型建立

1.數據來源

本文選取來自國泰安數據庫的滬深300指數的指數回報率，時間段為2012年1月4日至2021年12月31日，不包含節假日，共2431個。后續數據處理使用EVIEWS統計軟件。

2.序列描述性分析

圖1顯示，2015年年初至2016年年初指數回報率序列短期內大幅波動，2016年年中至2017年年末回報率序列短期內波動維持在較低水平，因此整體序列具有明顯的“集群”現象。序列的描述性統計結果如表1所示。

圖1 滬深300指數回報率時序

表1 收益率描述性統計

由此得到三個結論：（1）序列具有左拖尾性；（2）序列具有尖峰厚尾的特征；（3）序列不服從正態分布。

3.最優模型建立

（1）平穩性檢驗

由于模型對序列的平穩性要求，需對序列rt進行平穩性檢驗。圖1中序列圍繞縱軸0值上下波動，且隨著時間的推移沒有顯示出明顯的時間趨勢，判斷序列為平穩序列。序列的單位根檢驗結果中，t統計量為-47.8339，P值為0.0001，序列平穩無單位根。對進行自相關檢驗，得出三個結論：序列具有自相關性；序列可能具有一階、二階、四階或六階自相關，可作為建立ARMA模型的參考；序列具有ARCH效應，能夠使用GARCH模型進行后續分析。

（2）ARMA模型建立

根據上述自相關檢驗結果，對rt序列建立ARMA族模型。由估計參數表可得，ARMA（2，2）模型具有更優的AIC和SC值，可用于后續建立ARMA-GARCH模型。對模型進行ARCH效應檢驗，得出序列仍具有ARCH效應，需要聯立GAECH模型進行以充分解釋收益率序列。

（3）GARCH模型建立

根據AIC值和SC值進行篩選，GARCH（1，1）、GARCH（1，2）-t以及GARCH（2，1）-GED模型更適合后續使用情況。結合GARCH（1，1）模型的參數估計結果，得到該模型在三種殘差分布情況下，波動持續性系數①分別為0.9963、0.9952和0.9932。由于系數非常接近與1且小于1，滬深300指數回報率序列會受到外界信息的持續沖擊。因為沖擊持續的時間與計算出的系數呈正相關的關系，可得在殘差分布為正態分布、t分布和GED分布三種情況下的GARCH（1，1）模型受到持續沖擊的時長皆較長且依次遞減，但彼此間相差不大。因此認為，滬深300指數回報率序列在應對沖擊時，整體較為脆弱，所受影響較大。

（4）ARMA-GARCH模型建立

根據ARMA-GARCH模型的參數估計結果可得，ARMA（2，2）-N-GARCH（1，1）模型為最優擬合模型，方程式如下：

對該最優擬合模型進行ARCH-LM檢驗，結果表明殘差序列無相關性且ARCH效應不顯著，模型擬合效果良好。

四、模型預測與分析

1.動態預測分析

使用ARMA（2，2）-N-GARCH（1，1）模型進行預測，我們發現動態預測中預測值會迅速收斂于正值。通過對其他適用模型進行動態預測，我們發現，動態預測值存在相同變化趨勢。對所有適用模型進行動態預測，將各模型收斂值或是收斂范圍的情況統計于表2中。

表2 模型動態預測值收斂情況統計

根據表2畫出折線圖（如圖2所示），我們發現除模型7動態預測收斂值較小外，其余八種模型的收斂值均圍繞0.05上下浮動，圖2的擬合趨勢線②也可佐證。由動態預測結果我們可知，2012-2021年的滬深300指數回報率序列是圍繞一正值波動的，而這一正值為0.05左右。說明在我國滬深市場中，投資者的投資在平均情況下能夠得到正向回饋，獲得正的收益；或者我們可以認為，在滬深市場中進行投資的投資者，其收益率是在正的收益率基調上進行波動的，滬深市場是非零和市場。

圖2 收斂值、收斂范圍③

2.動態預測、靜態預測結果與原序列對比分析

動態預測與靜態預測在預測方式上具有不同性。動態預測選取實際值作為第一個預測值，其余期數皆使用上一期預測值進行預測；而靜態預測使用上一期實際值得出每一期預測值，通過多次預測形成靜態預測結果。因此，理論上，靜態預測結果與上述動態預測結果有很大可能存在不同。

將最優模型ARMA（2，2）-N-GARCH（1，1）模型的動態預測結果與靜態預測結果進行對比，可以得出兩者波動程度存在顯著差距的結論。動態預測結果期初波動較大，后期波動逐漸減少，最終收斂于0.0543。在動態預測中，殘差波動持續降低、GARCH模型的影響持續降低，使得ARMA-GARCH模型的動態預測變化情況逐漸趨向于ARMA模型動態預測④的變化情況。而靜態預測結果始終保持良好波動，具有明顯的集群效應，具有與原序列相似的波動情況。

通過最優模型的靜態預測結果與原序列的實際發生值的對比圖可知，靜態預測結果波動趨勢與原序列具有極大的相似性。靜態預測結果具有集群效應，2015年年初-2016年年初波動較大、2017年年中-2018年年初波動較小、2018年-2020年波動間斷性變大與變小，與原序列的集群現象，即2015年年初-2016年年初指數回報率序列短期內大幅波動、2016年年中-2017年年末回報率序列短期內波動維持在較低水平，吻合度較高。

同時，靜態預測結果得出ARMA-GARCH模型對實際收益率的波動程度具有過濾⑤效果。對比表3與表1的描述性統計結果，可從數值中得出同一結論：靜態預測結果的方差為0.0882，實際發生值的方差結果為1.4296，前者為后者的6.17%，預測波動明顯小于實際波動，靜態預測對收益率的波動程度具有顯著的過濾效果。

表3 動態預測與靜態預測結果相關數據對比

根據動態預測結果、靜態預測結果以及原序列三者的描述性統計數據來看，模型普遍將均值預測的較高并減小了預測結果整體的波動程度。比較靜態預測與原序列兩者的偏度、峰度和Jarque-Bera檢驗值，我們發現靜態預測的三項數值絕對值更小，同時預測值的左拖尾性以及尖峰厚尾特征沒有原序列明顯。但因為P值為0.0000，靜態預測值序列依舊不服從正態分布。

3.波動率預測分析

圖3 靜態預測值的波動率

從波動率的變化情況來看，2012-2021年滬深300指數回報率序列的靜態預測值波動率主要可分為四個階段：①2012年～2014年；②2015年～2016年；③2017年～2019年；④2020年～2021年。四個階段中皆存在波動率較高的時間段，分別為2013年年中、2015年、2018年年末以及2020年年初。

根據實際情況分析：2013年年中對應了該年8月的光大烏龍事件以及11月IPO的重啟；2015年則對應了2015年的股災，從1月的中小板、創業板的暴漲，到3月新興企業、“一帶一路”政策以及國企改革等改革創新主線的深化，到5月全民炒股，再到7月的暴跌，最后以年末3400點左右的區間整理格局收尾；2018年年末則是受到了“去杠桿”政策實施以及中美貿易爭端的影響；2020年年初則是被新冠疫情的暴發所影響，隨后由于疫情的持續性影響，市場沒有暴發初期反映強烈，保持較小的波動情況。由于靜態預測數據對實際事件的解釋能力，可知本文ARMA（2，2）-GARCH（1，1）模型擬合情況良好。

五、總結

本文對2012年～2021年滬深300指數回報率序列進行了波動性的分析，通過ARMA-GARCH模型的建立，得到了以下實證結論。

1.對樣本序列擬合情況良好的模型共有9種，其中最優模型為ARMA（2，2）-N-GARCH（1，1）模型，方程式為：

2.GARCH（1，1）模型建立情況表明，樣本序列的波動持續性系數非常接近與1且小于1，滬深300指數回報率序列在應對沖擊時，整體較為脆弱，所受影響較大。

3.靜態預測結果表明，ARMA-GARCH模型對實際收益率的波動程度具有過濾效果；動態預測結果表明，樣本序列圍繞正值波動，投資者整體平均情況下能得到正向回饋，滬深市場是非零和市場。

注釋：

①波動持續性系數為ARCH和GARCH 項的系數之和。

②圖2中實線為收斂值，虛線為擬合的趨勢線。

③圖2中模型8的0.0449為表2中模型8動態預測結果后600位預測值均值。

④ARMA（1，1）動態預測值迅速收斂于常數0.0417，ARMA（2，2）動態預測值則為迅速收斂于常數0.0421。

⑤柳會珍等在《極端波動、跳躍和尾部風險——基于已實現波動率的股票市場風險動態預測》一文中表示：可以運用ARMA模型和條件波動率GARCH模型對收益率進行過濾，得到近似獨立的收益率的新息。