一類MIMO非線性系統的自適應神經網絡魯棒跟蹤控制

劉德玉 鄒坤霖 賀力克

1(湖南工業職業技術學院 湖南 長沙 410208)2(湖南大學機器人視覺感知與控制技術國家工程實訓室 湖南 長沙 410082)

0 引 言

自適應魯棒控制在控制領域的非線性系統中得到了廣泛的關注。為了獲得自適應和/或魯棒性能，將許多先進的控制方法相融合來設計非線性系統的控制器。

由于具有非線性函數逼近、學習和容錯能力，神經網絡方法在非線性系統的建模和控制中得到了廣泛的應用[1]。已經證明，多層神經網絡可以盡可能精確地逼近任何連續函數[2-3]。基于其逼近性質，文獻[4-9]提出了基于自適應神經網絡的非線性控制方案，其中神經網絡用于逼近單輸入單輸出(SISO)系統中的未知函數。隨后，文獻[10-12]擴展了自適應控制方案以控制多輸入多輸出(MIMO)非線性系統。在這些方案中，神經網絡通常用于逼近系統的不確定非線性，從而為非線性系統設計補償型自適應神經網絡控制器；然后設計一個魯棒補償器消除逼近誤差和外部干擾的影響，該補償器可以是監督控制[13]、變結構控制[14]和/或H∞控制[15]。文獻[11,14-15]利用神經網絡完全逼近變結構的等效控制，然后應用H∞控制方法使閉環系統具有給定的跟蹤性能。

本文針對一類不確定非線性MIMO系統，提出一種基于徑向基函數(RBF)神經網絡的自適應魯棒反饋控制方案。控制方案包括RBF神經網絡、滑模控制器和H∞最優控制器。利用RBF神經網絡逼近非線性系統未知的理想反饋控制律，通過滑模控制器消除RBF神經網絡重構誤差和逼近誤差。針對外部干擾，進行了H∞最優控制器的設計。采用二次穩定性方法，對參數不確定性進行獨立處理，降低了傳統魯棒控制算法的保守性。基于李雅普諾夫穩定性定理，提出的智能魯棒控制器能夠保證閉環系統的穩定性和一定的跟蹤性能。最后，通過質量-彈簧-阻尼系統的仿真實例驗證了所提出控制方案的有效性。

1 問題描述

考慮由下面的微分方程表示的n階非線性多輸入多輸出(MIMO)系統的廣義形式：

x(n)=f(X)+g(X)u+d(t)

(1)

假設1未知非線性矩陣g(X)是有界的且非奇異的，即g-1(X)存在。

如果系統動力學是精確已知的，并且假設外部干擾被忽略，即函數f(X)和g(X)是完全已知的且d(t)=0，則理想反饋控制律可以設計為：

式中：xd是具有n階可導的期望軌跡；e=xd-x是跟蹤誤差；系數k1,k2,…,kn應適當選擇使得多項式h(s)=sn+knsn-1+k2s+k1的所有根都在s平面的左半平面內。

將式(2)代入式(1)可得到誤差動態方程：

e(n)+kne(n-1)+…+k1e=0

(3)

f(X)=f0(X)+Δf(X)
g(X)=g0(X)+Δg(X)

假設3假設標稱函數g0(X)已知，其他函數和參數均未知。

假設3是合理的，因為一般情況下，非線性系統如機械系統或化學系統的控制矩陣g(X)相對容易獲得可接受的精度；此外，g(X)的參數不確定性也已考慮。

2 基于RBFNN的自適應魯棒反饋控制器設計

本文提出一種基于RBF神經網絡的自適應魯棒反饋控制方法，該方法由一個自適應RBF神經網絡控制器和一個魯棒混合補償器組成，可以表示為：

u=un+uc

(4)

式中：un是RBF神經網絡控制器；uc是混合補償器。

由于f(X)和g(X)中包含的不確定性，式(2)是未知的，并且不能直接應用于式(1)。本文設計RBF神經網絡來估計式(2)中的未知控制律u*，即：

un=ΘTΦ(xe)

(5)

定義RBF神經網絡的逼近誤差為：

ε(xe)=u*-Θ*TΦ(xe)

(7)

假設4假設存在一個函數κ(xe)>0，使得對于所有的1≤i≤m，有|εi(xe)|≤κ(xe)。

將式(4)和式(5)代入到式(1)中，可得：

g-1(X)[e(n)+kne(n-1)+…+k1e]=

定義跟蹤誤差的導數為：

式(9)對于時間的導數可以寫成狀態空間方程，其形式如下：

(10)

其中

且B=B0+ΔB。其中

假設5ΔB表示參數的不確定性，并具有以下結構：

ΔB=MFN

式中：M和N是具有適當維數的已知常數矩陣；F∈R2n×2n是未知Lebesgue可測矩陣。F邊界為：

FTF≤I2n×2n

引理1設X、Y和F是具有適當維數的實矩陣且FTF≤I2n×2n。此外，對于任意標量α>0，

XFY+YTFTXT≤αXXT+α-1YTY

為達到一定的跟蹤性能，式(4)中的補償器uc可以設計為：

uc=uw+uh

(11)

式中：uw是消除RBFNN重構誤差和逼近誤差的滑模控制器；uh是H∞控制器，其任務是消除未知外部干擾的影響，同時實現特定的H∞跟蹤性能。

對于基于RBF神經網絡的自適應魯棒反饋控制的設計，考慮采用式(4)所示的RBFNN控制器和魯棒補償器。假設存在一個矩陣P=PT>0，使得下面的不等式成立：

利用式(12)的矩陣P，選取自適應訓練律為平滑投影[2]。考慮到當DΘ>0，δ>0時，有Ω0={Θ:ΘTΘ≤DΘ}，ΩΘ={Θ:ΘTΘ≤DΘ+δ}。定義平滑投影映射：

因此，RBF神經網絡控制器的訓練規律可以定義為：

式中：Γ是學習率。

uw=uwr+uwa

(15)

式中：uwr和uwa分別是消除RBFNN重構誤差ε(xe)和逼近誤差的滑模控制器。uwr和uwa定義為：

然后，混合控制器式(4)、式(5)、式(11)、式(15)-式(18)可以保證閉環系統的所有變量有界，并且可實現如下的H∞跟蹤性能：

證明：定義Lyapunov函數為：

取Lyapunov函數對時間的導數，并代入式(10)和式(12)，得：

(uwr-ε(xe))TBTPz+

考慮式(16)中的重構誤差補償器uwr和假設2，可以得到：

(uwr-ε(xe))TBTPz≤

-κ(xe)|BTPz|+|ε(xe)||BTPz|≤0

(22)

根據式(18)中的H∞控制器uh，將式(22)和式(23)代入式(21)中，可得：

根據假設5，有：

對式(25)從t=0到t=T進行積分，可以得到：

(26)

由于V(T)≥0，上述不等式導致了如下的L2準則：

由于Q是正定矩陣，考慮λmin(Q)zTz≤zTQz可得：

(28)

(29)

3 仿真實驗

本文將所提出的方法應用于控制質量-彈簧-阻尼器機械系統中，以驗證所提出的智能魯棒控制方法的有效性，如圖1所示是一個質量-彈簧-阻尼器機械系統。質量-彈簧-阻尼器-機械系統的動力學方程可以表示為[11]：

定義：

圖1 質量-彈簧-阻尼器系統

為了進行比較，將提出的自適應神經網絡魯棒二次鎮定反饋控制(ANNRQSFC)方法與基于計算力矩方法(CTC)和文獻[11]提出的神經網絡魯棒控制(NNRC)方法進行比較。文獻[11]中所用的神經網絡與本文所描述的結構相同。圖2(a)和圖2(b)分別給出了質量塊1和質量塊2的位置跟蹤結果；圖3(a)和圖3(b)給出了位置跟蹤誤差；圖4(a)和圖4(b)分別給出了質量塊1和質量塊2的速度跟蹤結果；圖5(a)和圖5(b)給出了速度跟蹤誤差。跟蹤誤差的均方誤差(MSE)如表1所示。

(a) 質量塊1的位置跟蹤

(b) 質量塊2的位置跟蹤圖2 位置跟蹤結果

(a) 質量塊1的位置跟蹤誤差

(b) 質量塊2的位置跟蹤誤差圖3 位置跟蹤誤差

(a) 質量塊1的速度跟蹤

(b) 質量塊2的速度跟蹤圖4 速度跟蹤結果

(a) 質量塊1的速度跟蹤誤差

(b) 質量塊2的速度跟蹤誤差圖5 速度跟蹤誤差

表1 跟蹤誤差的均方誤差 單位：m/s

根據圖3(a)-圖3(b)、圖5(a)-圖5(b)和表1，通過將所提出的控制方法與CTC和NNRC進行比較，可以看出由于CTC方法僅利用系統的標稱值進行控制器設計，受系統中的不確定性和外界干擾的影響較大，跟蹤效果也較差。NNRC和本文所提出的ANNRQSFC方法均采用神經網絡對系統中的不確定性進行逼近，然后用魯棒補償項來消除神經網絡逼近誤差和外界干擾的影響，跟蹤誤差顯著減小。而本文所提出的ANNRQSFC方法采用二次鎮定方法，減小了魯棒項設計時對于逼近誤差和外界干擾上界的依賴，從而得到比NNRC方法更好的跟蹤效果。圖2-圖5和表1也可以驗證在存在不確定性和外界干擾的情況下，本文方法可以獲得更好的性能。

4 結 語

針對具有不確定性和干擾的非線性MIMO系統，提出一種基于自適應神經網絡的魯棒反饋控制方案。該控制方法將神經網絡與自適應魯棒補償器相結合，其中神經網絡控制器作為主控制器，自適應魯棒補償器用于補償神經網絡的逼近誤差和外部干擾。此外，采用二次鎮定方法減小了傳統魯棒控制算法的保守性，實現閉環系統的穩定性和給定的跟蹤性能。仿真結果表明，本文方法在具有不確定性的非線性系統的控制上表現出很好的魯棒性和有效的控制性能，并具有良好的抗干擾能力。