對冪級數性質的分析研究

陽平華，張清平

(廣州城市理工學院 計算機工程學院，廣州 510800)

高等數學中冪級數內容對于學生來說難度較大，對冪級數性質的內在因素做了進一步探索，以期為教學帶來一定的啟示，提高教學質量。

1 冪級數概述

如果沒有特殊聲明，后面涉及的冪級數都為冪級數的標準形式。對冪級數的研究內容包括三方面：①冪級數在哪些點收斂，在哪些點發散，冪級數的收斂域及發散域；②求冪級數的和函數；③將函數展開為冪級數。

2 冪級數的性質

說明：①定理的證明跟正項級數的比較審斂法、比值審斂法有直接關系，所以說正項級數是基礎；②定理表明：|x1|<|x2|,并且冪級數在區間(-|x1|,|x1|)收斂，在區間(-∞,-|x2|)和(|x2|,+∞)發散，在區間(-|x2|,|x1|)和(-|x1|,|x2|)的收斂性不確定(可畫圖直觀了解)，進一步結果需要發掘更多信息去加以研究；③收斂區間或收斂域的確定是基于Abel定理，收斂半徑的求法是基于比值審斂法。

說明：①通常情況ρ≠0時可以直接寫出R與ρ的數值關系，極端情況ρ=0或ρ=+∞時只能直接寫出結果；②R的確定正是通過正項級數的比值審斂法得到的。

①冪級數的和函數s(x)在收斂區間(-R,R)內連續；②冪級數的和函數s(x)在收斂區間(-R,R)內可導，且對?x∈(-R,R)有逐項求導公式：

③冪級數的和函數s(x)在收斂區間(-R,R)內可積，且對?x∈(-R,R)有逐項積分公式：

定理3中①的內容是和函數的基本性質，②、③的內容是求和函數的理論基礎。②、③概括來說就是“逐項求導，逐項積分”。

3 冪級數性質的基本應用

冪級數性質的應用主要介紹定理3，即“逐項求導，逐項積分”的一些應用，包括求一些冪級數的和函數及一些數項級數的和。

3.1 基本題型

對一些簡單的冪級數，直接通過“逐項求導或逐項積分”對冪級數變形化簡，再用已知冪級數的和函數。

上式兩邊同時從0到x(-1

上式兩邊同時對x(-1

3.2 深化題型

在教學中發現，學生對逐項求導比較習慣，對逐項積分比較生疏，而且逐項求導確實比用逐項積分用起來方便。實際上，通過分析發現“逐項求導，逐項積分”都只是表面現象。用逐項積分來解的題都可以用逐項求導來解，關鍵在于思考問題的角度。一般用“逐項求導，逐項積分”是相對和函數，即求和“∑”與求導或積分交換順序，直觀來說就是“由外向內”的運算，如果從通項開始“由內向外”交換運算順序，就能避免用逐項積分，這樣“逐項求導或逐項積分”就成為了“逐項求導”一種情況，只不過需要對和函數s(x)求導用“由外向內逐項求導”，需要對和函數s(x)積分用“由內向外逐項求導”，下面通過兩個例子加以解析。如例2是用逐項積分求解的，也可以用逐項求導來求解，而且比較簡練。冪級數求和函數也可以利用冪級數的性質結合微分方程求解的方法。

解：

解法一(逐項求導)：

設：

設：

又：

解法二(逐項積分)：

解法三(通過變量代換)：

令x=z2z∈(-1,1)

解法一(結合一階線性微分方程)：

該級數缺偶次冪項，它的收斂域為 (-∞,+∞)。

設：

則：

于是有：

解此一階線性微分方程，得：

又：

解法二(結合二階線性微分方程)：

原級數的收斂域為(-∞,+∞)。

設：

于是s″(x)=s(x)。該二階方程的特征方程為r2-1=0,解得r1=-1,r2=1。

其通解為s(x)=C1e-x+C2ex。又s(0)=0,s′(0)=1,代入上式得：

故：

解法三(直接用展開式)：

3.3 數項級數的和

對數項級數的研究應包括定性的和定量的兩方面內容。定性的內容即是討論級數的收斂性，定量的內容就是要求級數的和。在數項級數中求和的內容講解的少即是暗示需要借助冪級數來求和。

所以：

4 結語

闡述了Abel定理的內涵、冪級數收斂域的本質，發現了冪級數“逐項積分”和“逐項求導”的內在關系，對和函數求導是“由外向內逐項求導”，而對和函數積分是“由內向外逐項求導”，將較難處理的“逐項積分”法轉化為較易掌握的“逐項求導”法，挖掘了冪級數求和函數與微分方程之間的關系，即冪級數求和函數的問題也可以利用冪級數的性質結合微分方程的求解方法。