基于多星座衛星定位與慣性導航全狀態融合的列車組合導航系統

王 劍，凌 浩，姜 維，蔡伯根

(1.北京交通大學 電子信息工程學院,北京 100044；2.北京市軌道交通電磁兼容與衛星導航工程技術研究中心，北京 100044)

隨著我國鐵路運輸的發展，基于全球導航衛星系統(Global Navigation Satellite System, GNSS)和慣性導航系統(Inertial Navigation System, INS)構成的組合導航系統已經成為列車定位的方式之一。然而目前組合導航系統主要應用于列車的測速定位，如何繼續改善和提高其性能，并且應用于更多鐵路方向成為組合導航系統的主要研究方向。

GNSS/INS組合導航系統多是利用GNSS輸出的位置對INS的誤差進行校正，但INS位置、速度的解算都需要利用姿態，并且姿態的變化可以反映列車振動的大小和線路的變化。因此針對姿態的長期高精度測量，已經成為國內外學者研究的重點。王冰等[1]對基于基線和模糊度參數的單基線，以及基于姿態和模糊度參數的多基線兩種模型進行了實驗分析。姜維等[2-3]提出基于仰角約束的最優分布參考衛星選擇方法，以提高雙差整周模糊度的固定效率，從而實現雙天線相對位置的解算。Zhang等[4]提出通過安裝多個天線，使用自適應Kalman濾波對歐拉角和角速度進行估計，并通過靜態實驗和仿真實驗進行了驗證。梅玲玉等[5]則提出INS/GPS/磁力計三組合，利用磁力計實現航向角測量，利用慣性測量單元中加速度計測得的橫向、垂向加速度實現橫滾角和俯仰角的測量，進而實現位置、速度、姿態的全狀態組合。綜上所述，目前針對除慣性導航外的姿態測量方法主要集中在多天線測姿、加速度計和磁力計上，對GNSS/INS全狀態組合在列車上的應用研究相對較少。而我國鐵路沿線環境復雜，列車運行時間較長，單GPS難以滿足使用要求。隨著北斗導航系統(BeiDou Navigation Satellite System, BDS)中北斗三代的成功布置，BDS的研究與應用也越來越多。為此本文提出采用BDS和GPS多星座相結合的方式實現雙天線測姿，將GPS/BDS雙天線測姿系統的長期穩定性和慣性導航短期高精度的姿態測量相結合，從而實現長時間、高精度的姿態輸出，進而提高定位測速效果。

1 雙天線測姿

1.1 測姿原理

載體的三維姿態是指載體相對當地導航坐標系的3個角。利用衛星導航進行載體姿態測量，是獲取多個天線相對主天線在當地導航坐標系下的坐標和在載體坐標系下的坐標，然后利用這兩坐標系之間的旋轉關系進行姿態的求解。

坐標旋轉轉換示意見圖1，當地導航坐標系(Xn,Yn,Zn)依次繞著Z、X、Y軸進行旋轉可以得到載體坐標系(Xb,Yb,Zb)[6]，旋轉的3個角度依次為航向角ψ、俯仰角θ和橫滾角φ。

圖1 坐標旋轉轉換示意

載體坐標系與當地導航坐標系的原點相同，兩坐標系之間存在轉換關系為

(1)

(2)

當放置一根基線時，可以根據坐標旋轉關系計算出2個姿態角，基線放置方向為橫向，垂直于列車運行方向，此時可以計算出航向角ψ和橫滾角φ分別為

(3)

(4)

式中：Len為基線長度。

1.2 雙差載波相位

在使用GPS/BDS測姿時，一根輔助天線和一根主天線構成一條基線，通過計算基線在載體坐標系和當地導航坐標系下的坐標，再利用坐標轉換關系即可求解姿態角。其中，載體坐標系下的坐標可以在安裝時通過測量獲得，當地導航坐標系下的位置坐標則需要利用雙差載波相位進行計算。雙差載波相位原理見圖2。與偽距相比，載波相位具有更高的精度，而站間差分和星間差分可以消除大部分的誤差，故其測量值主要為衛星鐘差、電離層和對流層的傳播誤差，以及接收機鐘差。

圖2 雙差載波相位原理

圖2中，點o為主天線M的位置，認為是載體坐標系和當地導航坐標系的原點；點O(X，Y，Z)為輔助天線S的位置。根據載波相位的傳播路徑，主輔兩天線的載波相位觀測方程為

(5)

(6)

式中：φ、λ、f分別為載波相位的測量值、波長、頻率；ρM、ρS分別為衛星與主天線、輔助天線之間距離的真實值；I為電離層誤差；T為對流層誤差；tR、ts分別為接收機、衛星的鐘差；N為整周模糊度；ε為其他誤差；i為接受衛星的編號。

(7)

(8)

(9)

式中：上標i為關于衛星i的站間差分；上標j為關于衛星j的站間差分；上標i_j為衛星i與衛星j之間差；下標M_S為主天線與輔助天線之間差。

(10)

(11)

將式(11)在原點處展開為泰勒級數

(12)

式中：(Xi,Yi,Zi)、(X,Y,Z)分別為衛星i、輔助天線在當地導航坐標系下的位置；ρM為衛星到主天線的距離；(Δx,Δy,Δz)為泰勒展開的偏差。由于衛星到主天線的距離遠大于基線長度，可以認為輔助天線的位置即為主天線位置泰勒展開的大約位置[7]，因此(Δx,Δy,Δz)也就是基線坐標。

對于衛星j同樣進行泰勒展開

(13)

式中：(Xj,Yj,Zj)為衛星j在當地導航坐標系下的位置。

將系數參數記為

(14)

則式(10)可以簡化為

(15)

式中：l(i_j)為系數l(j)與l(j)之差；m(i_j)、d(i_j)含義同l(i_j)。將式(15)代入式(9)，忽略其他誤差可得

(16)

式(16)中只有基線坐標和雙差整周模糊度未知，當主輔天線收到n顆共同衛星時，雙差時GPS和BDS需要各選取一顆主星，所以存在n-2個雙差模糊度，其基線坐標和模糊度可以通過Kalman濾波計算。

1.3 多星座融合

相較于單星座系統，多星座系統可以有效增加可視衛星數和改善定位精度因子，提高系統的可用性、穩定性和精度。而要想實現不同導航系統的聯合解算，需要將其統一到相同的時空參考框架下，其中空間參考框架的影響較小，本文不進行考慮[8]。對于GPS時間系統(GPS Time System, GPST)的時間TGPS與BDS時間系統(BDS Time System, BDST)的時間TBDS，由于閏秒的原因[9]，兩者之間存在一個時間差，其轉換關系為

TBDS=TGPS-14

(17)

BDS相較于GPS增加了GEO、IGSO軌道的衛星，IGSO衛星的位置計算與MEO衛星相同，而GEO衛星位置的計算需要進行轉換。衛星位置計算流程見圖3，具體算法見文獻[9-10]。

圖3 衛星位置計算流程

1.4 基線坐標解算

基線的計算需要利用Kalman濾波進行，其系統模型為

Xk=FXk-1+Qk

(18)

(19)

(20)

(21)

系統的量測模型為

(22)

(23)

Hk=[l(n-2)×1m(n-2)×1d(n-2)×10(n-2)×3

-λ·I(n-2)×(n-2)]

(24)

為GPS與BDS的雙差載波相位，共n-2個。

1.5 模糊度固定

雙差載波相位模糊度具有整數特性，而利用Kalman濾波計算的模糊度為浮點解，通過固定整周模糊度可以實現厘米級甚至毫米級的精度，并且由于天線基線長度不變，可以利用基線長度約束提高固定效率和成功率。模糊度固定流程見圖4。

圖4 模糊度固定流程

模糊度固定首先是人為地以Kalman濾波求解的浮點解和誤差協方差矩陣為中心構建一個置信搜索空間，將所有可能的模糊度整數組合包含在內。但模糊度之間存在相關性，搜索空間的最長軸與最短軸相差較大，呈橢圓體，模糊度方差矩陣為非對角陣，因此需要進行去相關處理，將其方差矩陣變為對角陣。處理后搜索空間轉為接近球體，這樣使得搜索空間減小，提高搜索效率。隨后在變換后的搜索空間中進行搜索，并依據一定的約束條件進行校驗和回代。

首先定義包含所有可能的整周模糊度組合的整數搜索空間為

(25)

(26)

此時變換后整周模糊度的搜索空間可以表示為

(27)

變換矩陣Z的求解需要對協方差矩陣進行Cholesky分解[11]

(28)

(29)

式中：L1為下三角矩陣；D1為對角陣，其對角線上的元素為di；Q1為變換矩陣，具有對稱性和正定性。

(30)

通過矩陣Z進行變換后，置信空間由橢圓體變為近似球體，可以將式(27)展開為[12]

(31)

式(31)就是判斷模糊度是否符合要求的不等式，而模糊度搜索是依次對每個模糊度單獨搜索，從第n個開始，建立搜索邊界，對第n-1個模糊度進行搜索，依次直到第一個模糊度完成搜索。對式(31)進行數學變換確立搜索邊界為

(32)

(33)

由于天線基線長度不變，當確定好存在多個整周模糊度集合時，可以將模糊度集合帶入式(16)進行驗證，并與實際基線長度進行比較，獲取最優解。

2 GPS/BDS/INS融合

2.1 慣性導航遞推算法

慣性導航系統包含慣性測量部分和導航處理器推算導航系統。慣性測量部分包含三軸加速度計和三軸陀螺儀，可以提供運動物體的運行加速度和角速度。推算導航系統包含姿態、速度、位置更新，可以計算出運動物體的姿態、速度和位置。

(1)在捷聯慣性導航系統中，常用四元數來更新姿態矩陣，其微分方程為

(34)

(35)

(36)

(37)

(2)慣性導航系統速度更新的微分方程為

(38)

式中：fn為載體上加速度計測量的比力；gn為當地重力加速度；V為速度。

(3)慣性導航系統的緯度L、經度B、高程H的微分方程為

(39)

(40)

(41)

式中：Vu為天向的速度。

2.2 全狀態松組合模型

通過接收機可以直接讀取到位置的一維速度，利用雙天線測姿結果可以將速度進行分解，從而實現位置、速度、姿態的全狀態組合。GPS/BDS/INS全狀態組合結構見圖5。

圖5 GPS/BDS/INS全狀態組合結構

將GPS/BDS和INS的計算結果傳給松組合Kalman濾波，通過對傳感器的系統誤差和噪聲源進行建模，實現對INS的誤差估計，從而減小甚至消除INS的漂移誤差[13]。

(42)

對應的系統轉移矩陣則是根據捷聯慣性導航的誤差方程進行設置，位置、姿態、速度誤差方程依次為

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

系統的觀測向量為

(48)

式中：PI、VI、ψI、φI分別為INS輸出的位置、速度、航向角、橫滾角；PG、VG、ψG、φG分別為雙天線測姿系統輸出的位置、速度、航向角、橫滾角。

量測矩陣為

(49)

由于慣性導航元器件的誤差，慣性系統從載體坐標系到當地導航坐標系之間的轉換矩陣在計算時會產生一個平臺失準角的誤差，狀態方程中姿態部分的設置與平臺失準角有關[14]，所以量測矩陣中HA為

(50)

全狀態組合系統的噪聲矩陣QAk為

(51)

式中：bf為加速度計零偏；bω為陀螺儀零偏。

3 實驗驗證與結果分析

為了驗證本文算法的有效性，選用在2020年12月6日朔黃線的一段10 min左右的數據進行實驗。其間列車運行狀況正常，位于定州東站—定州西站之間，場景開闊，衛星信號良好。

在實驗車車頭前部橫向放置一對天線，兩天線相距2.8 m。實驗設備包括1臺SPAN INS(NovAtel OEM6 GNSS接收機和IMAR-FSAS IMU)、1臺UR380接收機和STIM300 INS。其中SPAN是商用高精度GPS/INS組合導航系統，在開闊環境下可以作為結果參考；NovAtel OEM6 GNSS接收機和UR380接收機分別記錄兩根天線的數據；MEMS慣性導航STIM300是一款較低精度的慣性測量單元，采集頻率為125 Hz，用于GPS/BDS/INS全狀態組合算法驗證。

實驗過程中公共可見衛星數見圖6。從圖6可見，大部分時刻GPS衛星存在5顆，但是其數目變化頻繁，在此基礎上又選取了5顆高度角大的北斗衛星，以增強雙天線測姿系統的穩定性和可用性。

圖6 可見衛星數

(1)雙天線測姿結果見圖7。從圖7中可以看出，在衛星數發生變化時，單GPS測姿結果波動較大，橫滾角尤為明顯；當衛星數過少時，如在600 s之后衛星顆數快速降低，單GPS測姿結果離參考值較大，而采用GPS/BDS聯合解算可以有效降低衛星顆數過少帶來的誤差增大；在衛星數目穩定時，當姿態發生較大變化，如在300 s附近，雙天線測姿可以有效跟蹤姿態的變化。

圖7 雙天線測姿結果

雙天線測姿誤差分析見表1。從表1中可以看出，相較于單GPS，GPS/BDS聯合測姿的誤差的標準差STD和均方根誤差RMS均有較大改善，BDS系統的加入可以有效提高多天線測姿系統的穩定性和精度。

表1 雙天線測姿誤差分析 (°)

(2)組合測姿結果見圖8。從圖8(a)～圖8(d)可以看出，單位置組合的姿態結果會不斷偏離參考值，誤差不斷增大，而全狀態組合的姿態結果相對穩定。由于單位置組合的姿態主要依靠于慣性導航的遞推，而全狀態組合則利用雙天線測姿的結果對慣性導航遞推的姿態誤差進行估計與修正，從而有效抑制了INS的姿態漂移，航向角、橫滾角的RMS也分別從0.310 0°、0.590 1°降至0.111 8°、0.080 0°。在300 s附近列車姿態有較為明顯的改變，此時列車正在經過道岔，因此姿態有較大變化，兩種組合方式都有效跟蹤了姿態的變化趨勢，其中全狀態組合的效果更為明顯，但由于列車在經過道岔時振動較大，導致其組合解算的結果出現了一定的突變。

從圖8(e)～圖8(j)可以明顯看出，全狀態組合的位置、速度相較于單位置組合更加平滑，具有更高的穩定性，其中測速精度的改善較為明顯。

圖8 組合測姿結果

組合測姿的位置誤差分析見表2，速度誤差分析見表3。從表2、表3中可以看出，全狀態組合的位置誤差的標準差有明顯下降，均方根誤差有一定的改善；速度測量有明顯提升，其中北向和天向提升較為明顯。

表2 位置誤差分析 m

表3 速度誤差分析 m/s

4 結論

(1)基于GPS/BDS/INS的全狀態組合導航系統，可以有效實現INS的姿態校正，從而提高組合導航的整體精度。

(2)為了克服雙接收機接收到的GPS共同衛星數目波動頻繁的問題，在系統中加入BDS衛星，可以有效提高雙天線測姿的穩定性和精度，并在傳統的松組合基礎上加入速度和姿態實現全狀態融合，可以有效抑制INS的發散，使航向角和橫滾角的均方根誤差分別為0.305 9和0.132 4，有效提高了組合導航系統的精度和穩定性。