“自動控制原理”難點知識的背景教學法

孫明瑋，孫 月，陳增強

（南開大學人工智能學院 天津 300350）

自動化專業是一個與各個具體工業行業都有緊密聯系的通用專業，包括航空航天、機械、化工、電力、冶金、汽車等國民經濟和國防安全領域的支柱行業都與自動化密不可分，因此，自動化一直以來都是一個“萬金油”專業。自動化專業作為工科專業的一門相對抽象學科，類似于科學中的數學學科，從不同行業提煉不同表象問題的共同特征點而加以研究。因此，與“機械原理”“通信原理”“電路基礎”“模擬電路”等具體行業存在直觀平臺依托的基礎課相比，自動化專業的基礎課“自動控制原理”的理解難度更大，對于初學者來說比較吃力，尤其是對于沒有任何行業背景的通用自動化專業學生而言，難以建立起所學概念與背景的對應關系，又不似純粹數學那樣與實際背景徹底脫離。事實上，從事“自動控制原理”教學的一線教師一直在努力改善相應教法，以期提高授課理解效果，并取得了一定成績[1-3]。筆者長期從事自動控制理論與應用的教學工作，對上述問題有更深的體會[4]。“自動控制原理”知識點比較零散，體系同時包容近似和解析，對于初學者來說難以把握。

上述共性問題的形成是有歷史原因的。由于中華人民共和國成立初期高等教育一切向蘇聯學習的方針，將各個工業學科中的共同問題集中形成單獨的自動化學科，這種策略在短期內集中培養了國民經濟建設和國防安全迫切需要的大批自動化專業人才，具有歷史的積極意義。但是隨著時代的發展，特別是進入過剩經濟時代之后，自動化人才的培養也呈現出一定的過剩性，自動化專業學生的就業熱點逐漸轉向計算機等新經濟方向，“自動控制原理”的授課吸引性進一步降低，加上其本身的難度和抽象性，使得課程的講授難度進一步提高。歐美的高校中一般沒有單獨的自動化專業，控制理論課程在各個行業專業作為必修課開設，因此學生在掌握行業對象特點的同時，更加有利于深刻掌握自動化的一些通用概念，抽象比較容易落地，便于建立物理對應關系。因此，在現有教學體制下尋求高效而面向學生受眾的“自動控制原理”難點知識講解策略，是一個十分有意義的工作。目前，其他類似比較抽象課程的教學人員已經進行了一些有益的嘗試[5-8]。

筆者在多年的教學實踐中，根據“自動控制原理”誕生的時代背景，將一些難點和抽象概念嵌入到當時的需求根源上，幫助同學理解相應體系的形成起因。同時，對于一些難點概念進行了物理本質上的剖析，學生通過進行相應的Matlab仿真，有利于深刻直觀的理解。通過這些嘗試力圖在目前的教學環境背景下幫助學生有效掌握“自動控制原理”的重要概念，同時通過科技發展史的講解也給學生初步展示科技發展歷程的必然規律，對于一些未來將要從事科研事業的學生進行啟蒙教育。經過多年的教學實踐和一代代傳承，“自動控制原理”的講授體系已經相對完善，本文歸納的背景教學法只是一個增量式完善，強調少而精和畫龍點睛，避免對教學體系的過大影響。最后分析了這種授課法對于教師的要求。

2 “自動控制原理”誕生的歷史背景講解

學科的重要概念在學科體系上都具有關鍵性的支點作用，從而編織成相應的網絡，而了解初創的歷史背景對于學生掌握一門課程的整體框架具有十分重要的作用。在教學過程中根據調研資料和積累，給學生補充介紹相關歷史背景，不僅有利于幫助學生宏觀理解整個課程的脈絡體系，而且可以極大增強課程的趣味性和吸引力。在教學實踐中發現，每當講到相關的歷史趣味故事時，學生的注意力更加集中，因此要學會利用這種機會把相關知識點附著講授，這樣顯得更加自然。

目前公認的控制論開篇之作Cybernetics作者是美國麻省理工學院(MIT)的維納(Wiener)教授。專著嚴格意義上是維納教授在二戰期間于美國本土定期召開學術討論班內容的提煉，其中參與者包括數學家、生理學家、醫生、通信工程師和火炮工程師等。維納對于其中的一些共同點特別是反饋的概念進行了抽象提煉，形成了現代意義上控制的雛形。但是Cybernetics的出版，當時并沒有引起很大的轟動，原因在于維納是個數學家，抽象能力強，但是專著寫出來晦澀難懂，基本沒有多大反響。1950年代當時在美國彈道導彈和火箭研制機構并且處于學術巔峰的錢學森，是一個集豐富空氣動力學和飛行控制知識于一身并且具有深厚工程經驗的大師，由于受到麥卡錫政策的影響，被迫強制離開尖端國防科技工業部門，返回加州理工大學(Caltec)從事教學工作。在此期間，錢學森把在彈道導彈和火箭研制中的相關動力學分析和控制系統設計流程和當時使用的一些基本設計工具進行了系統化的整理，形成講義。這就是“工程控制論”或者說“自動控制原理”的雛形，“自動控制原理”只是去除了其中的空氣動力學部分從而進一步抽象化。這一著作避免了Cybernetics過于抽象費解缺乏系統性的問題。這段歷史在“自動控制原理”的課程中很少有人介紹，但是可以極大地激發起學生的學習興趣。從這段歷史中可以看到錢學森這樣的偉人，在職業黃金歲月突遭厄運，并不是萎靡不振或者怨天怨地，而是在自己力所能及的范圍內繼續為人類文明進步貢獻力量。對于學生而言，這樣的處世方式教育自然地融入課程學習中，也激發了學生對于后續專業課程的好奇心。此外，錢學森能夠系統集成當時已有的研究成果，并且以深入淺出的形式撰寫和講解教材，內中體現了對于基礎抽象理論和具體問題的同時深入掌握，實現了理論與實際的有機結合。這些歷史背景無論對于理解“自動控制原理”的精髓核心，還是引導學生在人生道路上同時注重理論、工程與社會認識的協同進步，都具有重要價值。

除了對于“自動控制原理”誕生的思想背景進行歷史背景浸入外，還需要對于這門學科誕生的物質基礎條件進行充分講解，有利于同學認清這套體系的形成動因。“自動控制原理”中的主要成果成形于20世紀20~40年代，這一階段計算機還沒有誕生，但是工業自動化和軍事需求已經產生，工程師如何在有限的算力下依然能夠完成控制系統的設計和分析，就是一個重要的矛盾體。在教學過程中，通過大家熟悉的例子進行類比。聯想代數中高次方程的求解問題，盡管幾百年前伽羅華和阿貝爾就已經證明了高于5次的方程沒有通用的代數解析求解公式，但是實際中碰到類似的問題怎么辦？聰明的先人用圖解法解決了這個問題：當不存在計算條件的時候，繪圖不僅形象而且是解決問題的重要途徑。這也可以幫助學生理解為何“自動控制原理”中存在大量的圖解方法，如Bode圖、Nyquist曲線、Nichols曲線和根軌跡等。在講解Nyquist曲線的過程中，引導學生理解這是一種控制系統設計如何影響閉環穩定性的直觀圖解法，而且還能直接觀察到穩定性邊界的大小，可以與后面的穩定裕度概念建立起聯系。盡管控制理論誕生的年代沒有計算機等高性能輔助工具，但是圖解法直到今天依然是現場工程師喜歡使用的工具，煥發著持久的生命力。引導學生體會到在工程上存在靈活的變通方法。直觀圖形顯示比計算機計算更能揭示系統的本質，同時設計結果的可解釋性具有強大的吸引力，因此以后即使不直接從事自動控制工作，這個原則也是需要認真考慮的。結合技術發展史背景的講解，可以使得學生對于體系的把握更加清晰。

2 “自動控制原理”難點的物理背景講解

“自動控制原理”主要包括頻域和時域兩大模塊，其中頻域分析是比較獨特的部分，對于大多數學生而言顯得比較抽象。對于重要概念進行物理背景解釋，可以幫助學生加深理解。本文以兩個典型例子展示這一過程。

根軌跡是課程的一個重要內容，核心目的是研究可變增益對于閉環系統極點的影響，在教材中給出了大量的規則，可以輔助生成近似的根軌跡。隨著今天Matlab軟件的普及，這個以前通過繪圖紙繪制的過程，已經可以通過專用的rlocus函數自動生成了。然而，這一過程完成后，學生往往反映不知道這一工具解決了怎樣的問題，因此難以深刻掌握思想深邃。為此，在課堂上給學生布置一個分別采用幾何法和代數法求取臨界穩定增益的作業。首先通過根軌跡函數rlocus繪制出完整根軌跡，然后采用目視法確定出根軌跡穿越虛軸時刻的可調增益近似值。其次，采用解析求解方法，根據穿越的充分必要條件，列寫出實部和虛部方程，利用多項式求根函數roots函數得到數值解，并與圖解法進行對比。最后，搭建simulink仿真模型，對于可調增益的上述求取值進行時域響應驗算。通過這幾個角度思考同一個問題，可以加深學生對于根軌跡的理解。

穩定裕度是經典自動控制中非常重要的概念，至今依然是控制工程師系統設計的最重要指標。但是在與幾屆學生的交流中，絕大多數學生對于穩定裕度的概念十分困惑，往往只是對于穩定裕度在Bode圖上的定義形式有一些淺顯印象，而對于其物理本質不甚理解。在改進授課過程中，以穩定裕度為突破口，詳細講解控制系統對于不確定性的魯棒容忍性問題，引導學生建立控制系統設計的基本理念。為此，針對圖1講解穩定裕度的概念。事實上，這里的A表示被控對象的增益不確定性，表示被控對象的時延不確定性，二者集中刻畫了實際對象在空間和時間尺度上可能存在的不確定性范圍，它們的攝動上界就分別對應幅值裕度和相位裕度。特別強調前提要求是這些不確定性必須發生在對象上，而不是其他地方。在實操作業中，讓學生針對一個具體的對象傳遞函數，利用Matlab中的margin函數，計算出相應的幅值裕度A*和相位裕度；然后在simulink仿真中，引導學生將A*從1逐漸增加到A*，觀察階躍響應波形從過阻尼逐漸過渡到欠阻尼模式，連續歷經衰減振蕩、等幅振蕩和發散振蕩階段，而對應于等幅振蕩的A基本上就是計算出來的A*，這樣就建立起了穩定裕度的直接物理概念。為了進一步提高學生對于穩定裕度的深入理解，進一步引入圖2的存在3個控制器的串級控制結構，分析其穩定裕度的計算方法。

先布置作業要求學生計算這個控制結構的穩定裕度。學生得到結果后，將幅值裕度代入真正反映對象不確定性的位置，也就是與對象進行乘積，大概率發現臨界穩定點的仿真結果與計算結果不一致。這樣可以促進學生思考問題出在哪里。事實上，計算穩定裕度需要得到開環傳遞函數，但是串級多回路系統的傳統計算都是由里到外依次計算的，很容易使得最終的整個開環傳遞函數與真正的被控對象不是嚴格的正比例函數關系，這樣計算的結果必然導致與真實結果的不一致。讓學生觀察到這一現象后，再循循善誘地給他們解釋原因。當學生真正理解穩定裕度的物理背景后，再引導準確計算開環傳遞函數的基本思路，以保證在閉環極點不變的前提下使得開環傳遞函數與實際被控對象的嚴格正比例關系，最終得到正確的結果，這就需要學生產生一定的創新了，因為目前的教科書基本都不涉及這一點。沒有問題就沒有思考，也就沒有深入的認識，這一點融入教學中可以起到事半功倍的效果。在這一過程中，從穩定裕度的嚴格物理背景概念出發，師生之間講授、練習與點撥互動，可以幫助學生洞悉概念本質，形成感性認識，同時對于前期學習過的環路變換知識也有新的認識，達到一舉多得的目的。在這一過程中，還可以結合模擬控制與數字控制時代的差別，理解二者對于穩定裕度的計算存在差異，根源在于前者的控制器也存在不確定性，而后者的控制器則完全是確定的。這樣通過進一步延伸，保證了學生對于這個概念的準確理解。通過恰當合理的討論形式[9]，制造一個爭議而容易引起學生好奇心的問題，促進學生的思考[10]，最后歸納出準確的概念理解。此外，與穩定裕度相關的一些指標，也需要從物理背景上知其所以然，例如常用的6dB幅值裕度的出處，詳細解釋就是對應2倍的不確定性，這樣學生學習起來目標更明確，印象也更深刻。

3 背景教學法對于任課教師的要求

“自動控制原理”的背景教學法是在我國目前現有體制下，尊重已經成熟的教學方式和經驗而開展的一項增量型教學改革方式，與傳統的教學方式具有繼承關系，而不是互相排斥。根據學生的特點，重點提煉出一些難點關鍵問題，放置在誕生年代的歷史背景中，結合最初期望解決的問題，尋根溯源，將抽象概念形象化。為此，任課老師對于自動控制發展史、數學史和科學技術史都要有一定的了解，而不能僅僅局限于技術本身。特別的，要求任課老師對于某一具體行業領域具有比較清晰的認識，才能將抽象概念具體化。因此，任課老師需要在業余時間多了解一些相關知識，才有利于深入淺出地將“自動控制原理”的一些關鍵抽象概念給學生講解明白。這種講法也有利于學生充分吸收課程的思想精髓，體會到學科協調、自洽和自然的美感[11-12]，即使大多數學生未來不直接從事自動化行業的工作，也對學生的人生具有一定的啟迪作用。