任務(wù)驅(qū)動 建構(gòu)聯(lián)系
——以“立體圖形體積測量總復(fù)習(xí)”為例

江蘇省揚州市工人新村小學(xué) 高峰齡

小學(xué)階段，學(xué)生經(jīng)歷“線—面—體”的認知過程，運用已有的長度、面積測量方法、經(jīng)驗，逐步深入研究立體圖形的相關(guān)知識，構(gòu)建圖形測量體系。立體圖形體的積測量不僅要讓學(xué)生學(xué)會測量的基本方法、策略，還要讓學(xué)生通過對立體圖形體積測量的復(fù)習(xí)，把握測量本質(zhì)，建立測量方法聯(lián)系，滲透感悟推理、數(shù)學(xué)模型思想，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

對于六年級的總復(fù)習(xí)，教師不能僅著眼于知識點的梳理，還要關(guān)注小學(xué)階段知識的結(jié)構(gòu)化。立體圖形體積測量需要讓學(xué)生知道度量的意義，理解度量的相關(guān)屬性，在抓住知識本質(zhì)的同時，注重整體性建構(gòu)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

教學(xué)中，筆者采用任務(wù)驅(qū)動的方式，立足測量本質(zhì)，設(shè)計研究任務(wù)，架構(gòu)測量方法之間的聯(lián)系。本文以立體圖形的體積測量為主題，提煉測量核心概念，明晰單位體積累加的基本意義，運用轉(zhuǎn)化、推理等數(shù)學(xué)思想方法，構(gòu)建體積測量一體化結(jié)構(gòu)。從學(xué)生已有認知中，筆者梳理能夠進行的任務(wù)，在任務(wù)驅(qū)動下，形成復(fù)習(xí)基本模式：喚醒知識點，回顧概念本質(zhì)；關(guān)聯(lián)知識點，整理建構(gòu)聯(lián)系；拓展知識點，運用解決問題。

一、回顧——凸顯單位體積累加的基本測量方法

1.同學(xué)們打算從哪些方面進行立體圖形體積測量的整理和復(fù)習(xí)？（體積怎樣算？為什么這樣算？有什么關(guān)系？）

2.先獨立回顧，選一個立體圖形，匯報體積測量的過程。

（1）長方體、正方體體積

把5個1立方厘米的正方體擺成一排，組成長方體，可以看出這個長方體的體積是多少嗎？

如果每層擺4排，擺3層，組成長方體，你知道這個長方體的體積是多少嗎？怎么想？歸納測量長方體中有多少個單位體積的算法，得出測量其體積的方法。

運用長方體體積測量的經(jīng)驗，得到正方體的體積測量方法。

（2）圓柱、圓錐體積

不能直接測量圓柱里有多少個單位體積，怎么辦？

受到把圓轉(zhuǎn)化為近似長方形的啟發(fā)，由面推想到體，把圓柱轉(zhuǎn)化成長方體，找到各部分間的關(guān)系，得出圓柱的體積測量方法。

通過實驗，把圓錐轉(zhuǎn)化成與它等底等高的圓柱，從而發(fā)現(xiàn)圓錐體積。

3.同學(xué)們在回顧立體圖形體積測量時，還可以聯(lián)系長度、面積的測量，看看它們有沒有什么相通的地方。

測量長度，就是多少個單位長度的累加；測量面積，就是多少個單位面積的累加；類推出測量體積，就是多少個單位體積的累加。

在測量過程中，會用到轉(zhuǎn)化、類推等策略。

【設(shè)計意圖】學(xué)生完成一維空間圖形長度測量、二維空間圖形面積測量后又學(xué)習(xí)了三維空間圖形體積測量，在體積測量總復(fù)習(xí)中通過回顧環(huán)節(jié)，引發(fā)對立體圖形體積測量的本質(zhì)思考，測量體積就是數(shù)出有多少個單位體積，概括數(shù)的方法，歸納長方體的體積測量方法。回顧圓柱體積測量方法，重點突出不能直接數(shù)單位體積個數(shù)時應(yīng)用化歸思想，將其轉(zhuǎn)化成熟悉的形體進行探究。轉(zhuǎn)化思想的運用來源于學(xué)生對平面圖形“圓—長方形”的理解。學(xué)生在回憶如何轉(zhuǎn)化以及轉(zhuǎn)化后圖形之間的關(guān)系時，提升了空間觀念。

圍繞體積測量的本質(zhì)，溝通形體間的聯(lián)系，通過對立體圖形體積測量方法的回顧，喚醒知識形成過程。學(xué)生主動進行任務(wù)回顧時，不限于對單個形體體積計算方法的回憶，更深入地感受不同形體間的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生主動勾連長度、面積的測量方法，形成知識的生長鏈，為開展下一個任務(wù)的研究做好準備，使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，會用數(shù)學(xué)的思維進行學(xué)習(xí)。

二、整理——凸顯不同形體體積測量的聯(lián)系

1.這些立體圖形的體積之間有什么關(guān)系呢？試一試能不能用一張圖表示出它們之間的關(guān)系。在作業(yè)紙上貼上立體圖形，用線或箭頭表示出它們之間的關(guān)系。

（1）長方體、正方體、圓柱、圓錐的體積都與底面積、高有關(guān)。

（2）如圖1，長方體體積測量是基礎(chǔ)，正方體體積可以由長方體推導(dǎo)得到，圓柱可轉(zhuǎn)化為長方體，圓錐可轉(zhuǎn)化為等底等高的圓柱。找到基礎(chǔ)形體，其他的形體可運用化歸思想轉(zhuǎn)化為基礎(chǔ)形體進行探究。

（3）如圖2，由長方體體積的測量方法可以推導(dǎo)出正方體、圓柱等立體圖形體積的測量方法，即底面積×高。由圓柱體積可以推導(dǎo)出等底等高的圓錐體積。

2.在整理復(fù)習(xí)過程中，我們發(fā)現(xiàn)了這些立體圖形的體積測量之間的關(guān)系。如圖3中的立體圖形的體積，你會算嗎？

（1）猜測：它的體積可以怎樣算？你為什么會有這樣的猜測？這樣算有道理嗎？

將我們整理得到的知識結(jié)構(gòu)用于問題解決中，引發(fā)合適的猜測，很有價值。

（2）驗證：

生1：可以想象成若干個三角形底面疊加形成的立體圖形，體積可以用底面積×高來計算。

生2：我們可以把它想象成長方體切成兩半后得到的圖形體積=長方體體積÷2=底面積×高÷2=3×4×10÷2，和我們猜想的直接用底面積×高=3×4÷2×10是一樣的。

證實我們的猜想是可行的，像這樣的直柱體體積都可以通過底面積×高來計算。

3.如圖4所示，底面大正方形邊長4厘米，小正方形邊長2厘米，高5厘米，這個中間空心的立體圖形體積是多少？

通過討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（1）陰影部分的體積可以用大長方體的體積減去小長方體的體積來計算；（2）用底面積×高，底是用大正方形面積減小正方形面積來計算；（3）算出底面可以放12個單位體積的小立方體，總共可以放5層，所以，體積等于60立方厘米。

在大膽猜想之后，學(xué)生運用不同的思維解決問題，再次驗證直柱體體積測量方法，將測量的策略遷移內(nèi)化，提升學(xué)習(xí)素養(yǎng)。

我們從體積怎樣測量、為什么這樣測量、不同立體圖形體積間的關(guān)系這三個問題入手，回顧整理立體圖形體積，梳理出不同形體體積測量方法之間的聯(lián)系。

【設(shè)計意圖】學(xué)生立足體積測量的本質(zhì)意義，自主整理，聯(lián)系不同形體體積測量方法的相通之處，對體積測量的思想方法有整體的認識，形成結(jié)構(gòu)化認知策略，整體構(gòu)建體積測量知識網(wǎng)絡(luò)，形成體積測量體系。學(xué)生經(jīng)歷整理環(huán)節(jié)，架構(gòu)知識縱橫聯(lián)系，促進學(xué)習(xí)方法內(nèi)化，顯現(xiàn)框架體系的張力，由基礎(chǔ)形體體積測量拓展到未知形體體積測量，從而對體積測量的思想、方法有了更深的認識和理解。學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗證過程，尤其是通過不同維度方法的驗證，打通了直柱體體積測量的原理方法，培養(yǎng)了抽象能力和推理意識。

以學(xué)科知識整理為任務(wù)驅(qū)動，重在建立結(jié)構(gòu)化體系，并能夠拓展。學(xué)生運用構(gòu)建的體系，用以解決未知的問題，將研究任務(wù)引向深入。

三、運用——凸顯體積測量中策略方法的應(yīng)用

教師通過練習(xí)設(shè)計，激發(fā)學(xué)生主動運用體積測量方法之間的聯(lián)系，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同形體間的關(guān)系，提升綜合運用策略解決問題的能力。

1.不計算體積，請你在下面的立體圖形中找出體積相等的圖形，并說明為什么。（如圖5）

2.用同樣大小的正方形鐵皮分別圍成長方體和圓柱形狀的通風管，圍成的哪一種形體體積大？為什么？

3.一個長12厘米、寬10厘米、高8厘米的長方體紙箱。

（1）可以裝多少個棱長為2厘米的正方體積木？

（2）如果裝底面直徑為5厘米、高4厘米的圓柱體積木，可以裝多少個？

4.有一塊不規(guī)則的鐵塊，你能想辦法測量出鐵塊的體積嗎？

【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)課中的習(xí)題，要體現(xiàn)綜合運用策略解決問題、加強思想方法的滲透與運用、強化聯(lián)系、整體構(gòu)建立體圖形體積的測量體系。在第1題中，學(xué)生通過觀察圖形和比較數(shù)據(jù)，靈活運用體積測量方法，用聯(lián)系的觀念形成體積測量方法知識結(jié)構(gòu)。第2、3題，在理解不同立體圖形特征的基礎(chǔ)上，立足體積測量本質(zhì)，聯(lián)系體積測量方法的相通之處，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。第4題，以實際問題解決為任務(wù)驅(qū)動，提升學(xué)生綜合運用體積測量方法的能力。教師通過對學(xué)生解決問題過程的分析，發(fā)現(xiàn)思維差異，展示出學(xué)生不同層次的思維水平，運用多種立體圖形體積測量的關(guān)聯(lián)，優(yōu)化策略，在思辨中提升學(xué)生能力。

學(xué)生在本節(jié)課中，以“立體圖形體積測量”為主題，開展“回顧、整理、運用”研究任務(wù)，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)體系。教師的眼光不能僅停留在立體圖形上，還需從圖形測量的整體不斷擴張其結(jié)構(gòu)，構(gòu)建一維、二維、三維圖形間的聯(lián)系，從而形成可持續(xù)發(fā)展的學(xué)習(xí)能力。習(xí)題第2題可以作為很好的嘗試，通過實驗、推理等數(shù)學(xué)活動，運用舉例、比較等學(xué)習(xí)方法，教師引導(dǎo)學(xué)生建立圖形特征、面積、體積等多維度關(guān)聯(lián)。

任務(wù)驅(qū)動下的立體圖形體積測量總復(fù)習(xí)，旨在引導(dǎo)學(xué)生自主開展探究性任務(wù)，在完成任務(wù)的過程中構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，并加以運用。學(xué)生學(xué)習(xí)的過程實際上是利用已有的認知結(jié)構(gòu)，對新的知識經(jīng)驗進行加工改造并形成新的認知結(jié)構(gòu)的過程。立體圖形體積測量總復(fù)習(xí)，要建立測量知識間的聯(lián)系，同時要在原有知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上促進認知深入，形成方法遷移，構(gòu)建測量體系，學(xué)會數(shù)學(xué)思考，實現(xiàn)測量認知結(jié)構(gòu)的內(nèi)化與運用。