中國古籍中的勾股定理

文／潘華偉

“折竹抵地”

《九章算術》是中國古代的一部數學專著，是《算經十書》中最重要的一部，成書于公元一世紀左右。全書總結了戰國、秦、漢時期的數學成就，是一本綜合性的歷史著作，也是當時世界上最簡練、有效的應用數學著作。它的出現標志著中國古代數學形成了完整的體系。

《九章算術》中有一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。問：折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1 丈（1 丈=10 尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3 尺。試問折斷處離地面多高（如圖1）？

圖1

圖2

我們可以設竹子折斷處離地面x尺，如圖2，構造直角三角形，則斜邊為（10-x）尺，根據勾股定理，得x2+32=（10-x）2，解得。故折斷處離地面尺。

“秋千蕩高”

《直指算法統宗》也是中國古代數學名著。該書共17 卷，卷1 和卷2 介紹數學名詞、大數、小數和度量衡單位以及珠算盤式圖、珠算各種算法口訣等，并舉例說明具體用法；卷3 至卷12 按“九章”次序列舉各種應用題及解法；卷13 到卷16 為“難題”解法匯編；卷17 是“雜法”。書后附錄《算經源流》一篇，著錄了北宋元豐七年（1084 年）以來的數學書目51 種。從中國古代數學的整個發展過程來看，從流傳的長久、廣泛和深入程度來講，這是任何一部數學著作都不能相比的。

《直指算法統宗》中曾以《西江月》為詞牌，敘述了一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地。送行二步與人齊，五尺人高曾記。仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉。良工高士素好奇，算出索長有幾？”

譯文：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1 尺，將它往前推送10 尺（水平距離）時，踏板就和人一樣高。這個人的身高為5 尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？

圖3

我們可以將原問題轉化為數學問題，得到圖3。其中AC=1 尺，EB=10 尺，BD=5 尺。我們可以設OA=OB=x尺，因為EC=BD=5 尺，AC=1 尺，所以EA=4 尺，OE=OA-AE=（x-4）尺。在Rt△OEB中，根據勾股定 理，得x2=（x-4）2+102，解 得x=14.5。故秋千繩索的長度是14.5 尺。

同學們，你能用剛才的知識和方法解答下面這道中考題嗎？

勘測隊按實際需要構建了平面直角坐標系，并標示了A、B、C三地的坐標，數據如圖4 所示（單位：km）。筆直鐵路經過A、B兩地。

（1）A、B間的距離為______km；

（2）計劃修建一條從C到鐵路AB的最短公路l，并在l上建一個維修站D，使D到A、C的距離相等，則C、D間的距離為 km。

圖4

因為A、B兩點的縱坐標相同，我們得到AB∥x軸，所以AB=12-（-8）=20，所以A、B間的距離為20km。根據“兩點之間垂線段最短”，我們可以求出最短公路l，即過C點作l⊥AB于點E。連接AC，作AC的垂直平分線交直線l于點D，則點D是所求的位置（如圖5）。由（1）可知：CE=1-（-17）=18，AE=12，設CD=x，所以AD=CD=x，由勾股定理得x2=（18-x）2+122，解得x=13，所以CD=13。故C、D間的距離為13km。

圖5