從一道平拋運動練習題看數學與物理的結合

栗麒婷

筆者近期從一道平拋運動練習題中，深刻體會到了數學知識在物理解題中的應用，有些時候數學手段可以幫助我們更好地分析解決問題，現與大家分享。

題目如下：如圖所示，豎直平面內有一個四分之一圓弧AB，0A為水平半徑，現從圓心0處以不同的初速度水平拋出一系列質量相同的小球，這些小球都落到圓弧上，不計空氣阻力，則小球落到圓弧上時（D）

A.越靠近A點飛行時間越長

B.速度方向可能沿半徑向外

C.越靠近A點速度越大

D.越靠近A點初速度越大

解析如下：從排除法結合正確選項分析判斷的角度來講，此題很容易選出正確答案。A選項飛行時間的長短主要看豎直方向下落的距離，距離越大，下落時間越長，故A錯誤。B選項：根據速度的反向延長線過水平位移的中點可知，速度方向不可能沿半徑向外，故B錯誤。D選項：根據以及可知，越靠近A點，水平位移x越大，時間t越小，則初速度越大。故D正確。C選項：越靠近A點，水平速度（即初速度）越大；根據可知，越靠近A點，豎直方向速度越小，那么合速度怎樣變化呢，我們并不清楚。但不影響選出正確選項。

那C選項合速度究竟是怎樣的變化情況？我重新思考，寫出表達式并將數學和物理相結合進行推導，得出合速度先減小再增大的結論，并求出了合速度的最小值。

推導過程如下，與大家分享：

設小球落在四分之一圓弧上的點與拋出點0的連線與水平方向的角為θ，則可列如下三個式子：

（1）

（2）

（3）

再帶入 （4）整理可得

（）? （5）

這個時候我們需要用到數學的處理方法，令，則，同時（5）式可整理為

（6）

從數學的角度看，這顯然是一個對號函數，當（即，）時，速度有最小值，此時落點與水平方向的夾角為。當時，速度隨角度的增大而減小；當時，速度隨角度的增大而增大。綜上，在靠近A點的過程中，速度先減小再增大，C選項錯誤。

從這個題目中，我們可以看到數學知識在物理學習和解題中的重要性，希望老師能有意識地引導學生學好數學，并把數學知識應用到物理解題中去。