三階非線性薛定諤方程新的精確解

劉靜靜, 曹 彧, 孫峪懷

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

非線性薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程.這里,討論如下形式的三階非線性薛定諤方程[1-4]

iqx+α2(qtt+2q|q|2)-iα3(qttt+

6qt|q|2)=0,

(1)

其中i是虛數(shù)單位,i2=-1,x表示沿傳播方向的歸一化距離,t表示延遲時(shí)間,q=q(x,t)表示電場的緩變包絡(luò)線,α2、α3是實(shí)參數(shù).對(duì)非線性薛定諤方程,已經(jīng)有很多求解方法,例如:修正的簡單方程方法[5]、拉格朗日恒等式法[6]、tan(φ(ξ)/2)展開法[7]、變分法[8]以及文獻(xiàn)[9-12]給出的方法.特別地,一些學(xué)者對(duì)三階非線性薛定諤方程的精確解進(jìn)行了研究,例如,Liu等[1]通過Hirota雙線性法,Zkan等[13]通過擴(kuò)展的修正子方程方法與Lie對(duì)稱群方法分別求得了三階非線性薛定諤方程的精確解.本文通過動(dòng)力系統(tǒng)分支理論[14-18],試圖分析了此三階非線性薛定諤方程的演化規(guī)律,構(gòu)建了其精確解及一些解所對(duì)應(yīng)的圖像,具體過程與結(jié)果如下.

1 求解過程

將方程(1)表示成如下形式:

q(x,t)=u(ξ)eiφ(x,t),ξ=x-vt,

φ=-kx+wt+θ,

(2)

其中，u和φ分別代表q的振幅分量和相位分量,v和k分別代表孤子速度和波矢,w是頻率,θ是相位常數(shù).現(xiàn)將方程(2)帶入方程(1),分離實(shí)部虛部得

(3)

α3u?v3+u′+(6α3u2u′-

2α2wu′-3α3w2u′)v=0.

(4)

對(duì)方程(4)積分一次并令其積分常數(shù)為0,可得

(5)

比較方程(3)和(5)得到

(6)

其中參數(shù)滿足如下條件:

對(duì)于(5)式,令u′=y,可得如下Hamilton系統(tǒng):

(8)

以及Hamilton量

(9)

其中

為了得到(8)式平面相圖,令

f(u)=-Au3+Bu.

(10)

1) 當(dāng)AB>0,得到f(u)的3個(gè)零點(diǎn)

(11)

零點(diǎn)處的Hamilton量分別為:

h1=H(u1,0)=0,h2=H(u0,0)=

(12)

2) 當(dāng)AB<0,得到f(u)的一個(gè)零點(diǎn)

u3=0.

(13)

假設(shè)Si(ui,0)(i=0,1,2)是系統(tǒng)(8)的一個(gè)平衡點(diǎn),則該平衡點(diǎn)處的特征值為

(14)

由動(dòng)力系統(tǒng)定性理論可得:

1) 當(dāng)f′(ui)>0時(shí),則平衡點(diǎn)Si(ui,0)是鞍點(diǎn);

2) 當(dāng)f′(ui)=0時(shí),則平衡點(diǎn)Si(ui,0)是退化的鞍點(diǎn);

3) 當(dāng)f′(ui)<0時(shí),則平衡點(diǎn)Si(ui,0)是中心點(diǎn).

由上述定理,根據(jù)系數(shù)A,B可得到系統(tǒng)(8)不同的分支相圖,如圖1～2所示.

圖1 當(dāng)A>0,B>0時(shí),系統(tǒng)(8)的分支相圖

圖2 當(dāng)A>0,B<0時(shí),系統(tǒng)(8)的分支相圖

由圖1知,當(dāng)A>0,B>0時(shí),系統(tǒng)(8)有一個(gè)唯一平衡點(diǎn).

是中心點(diǎn),原點(diǎn)(u0,0)=(0,0)是鞍點(diǎn).

情況 1當(dāng)h=h1=0,由過點(diǎn)(u1,0)、(u2,0)、(0,0)的軌道τ1、τ2:

(15)

求解并化簡得

(17)

即得到方程(1)的亮孤立波解

exp[i(-kx+wt+θ)],

(18)

其中

當(dāng)參數(shù)A=1,B=4,c=1,-10

圖3 A=1,B=4,v=1,-10

情況 2當(dāng)h>h1=0,由過點(diǎn)(u3,0)、(u4,0)軌道

τ3:y=

其中

(20)

求解并化簡得:

(21)

其中

即得到方程(1)的周期波解:

其中

r1=

exp[i(-kx+ωt+θ)].

(23)

圖 -10

圖 -10

圖-10

τ4,τ5:y=

其中,

(25)

求解并化簡得:

(26)

exp[i(-kx+wt+θ)],

(27)

其中

2 總結(jié)與討論

為進(jìn)一步分析、理解和構(gòu)建光纖傳輸中的孤波的演化,首先通過波變換將三階非線性Schr?dinger方程化為平面動(dòng)力系統(tǒng),進(jìn)而分析出奇點(diǎn)及其分類、演化軌道.同時(shí)還得到系統(tǒng)色散關(guān)系和哈密頓量.沿不同演化軌道積分,構(gòu)建了系列精確解.通過與先前文獻(xiàn)[1,13]結(jié)果的比較,發(fā)現(xiàn)q2.1、q2.2、q3.1、q3.2結(jié)果是新的孤立波.研究過程與結(jié)果表明,上述方法對(duì)求解其他類型的薛定諤方程具有普適性.