一類次線性Hill型方程的無窮小周期解

王梓歡, 王 超

(鹽城師范學院 數學與統計學院, 江蘇 鹽城 224002)

本文考慮二階Hill型微分方程

x″+q(t)g(x)=0,

(1)

(g0)g(x)·x>0,

(g1)

非線性Hill型方程是一類重要的時變位勢方程,它因具有實際的應用背景而廣受關注.針對方程

x″+a(t)|x|γ-1x=0,γ>0,

(2)

在a(t)允許變號的前提下,Waltman[1]首先研究了方程

x″+a(t)x2n+1=0,n∈N

解的振動性.針對方程(1)的周期解問題,當g(x)在無窮遠處滿足超線性條件

(3)

時(例如,在方程(2)中γ>1),Butler[2]證明了無窮多個大范數的周期解的存在性;在原點處滿足超線性條件

(4)

時(例如,在方程(2)中γ<1),Butler[3]證明了在原點附近存在無窮多個周期解.

在超線性條件(3)下,Papini[4]運用Butler的證明方法證明了方程(1)的Floquet-type邊值問題無窮多個解的存在性,這個結果也包含了Butler的結果.同時,Papini運用這個邊值問題的結果也證明了方程

x″+cx′+q(t)g(x)=0

有無窮多個周期解的存在性.在條件(g0)、g∈C1(0,+∞)、g(0)=0以及在原點處滿足超線性條件

的情況下,關于小范數周期解的存在性,Bandle等[5]推廣了Butler的結果.另外,在一些超線性條件下,有關方程(1)周期解和其他動力行為研究的一些結果可見文獻[6-11].

最近,針對權函數q(t)為正函數的情形,文獻[12]在一類關于時間映射的超線性條件下,證明了帶強迫項的對稱非線性Hill型方程

x″+q(t)g(x)=p(t)

有無窮多個對稱調和解，同時，證明了對稱次調和解具有稠密性分布.當周期解的最小正周期T0等于系統的最小正周期T時稱為調和解,當T0=mT(m>1為正整數)時稱為次調和解,相關的定義可見文獻[13]的定義1.文獻[14]在g(x)是有界函數的條件下,證明了方程(1)無窮多個次調和解的存在性,且當q(t)是偶函數時,證明了無窮多個偶次調和解的存在性和偶次調和解的稠密性分布結果.

在上述結果中,絕大多數都是大振幅的周期解.文獻[3]和[5]的小振幅的周期解的存在性結果是在原點附近滿足超線性條件下得到的,而且在文獻[5]中要求g∈C1(0,+∞).一個有趣的問題是,當g(x)僅僅是連續函數且在原點附近滿足次線性條件(g1)時,方程(1)是否有無窮多個周期解?

本文在第1節首先運用相平面分析的方法對等價系統解的動力行為進行分析,得到了在充分小的圓盤內系統解的動力行為.第2節在充分小的區域內構造了一系列的圓盤使得系統的Poincaré映射在圓盤的邊界具有扭轉性,從而運用推廣的Poincaré-Birkhoff扭轉定理[15]證明無窮多個小振幅的次調和解的存在性.

本文的主要結論是:

定理 A假設(g0)、(g1)成立,則方程(1)至少存在一個調和解和無窮多個次調和解.

1 引理

令x′=y,則y′=-q(t)g(x),方程(1)等價于

(5)

設連續截斷函數η:R2→R為

且滿足0≤η(x,y)≤1.

(6)

的解(x(t),y(t))滿足

|(x(t),y(t)|≤1, ?t∈I,

則(x(t),y(t))就是(5)定義在區間I上的解.

下面首先研究方程(6)的周期解的存在性和重性問題.

由g(0)=0知原點為系統(6)的平衡點,由解的唯一性可知從原點外任一點出發的解都不會經過原點.在半徑為2的圓域之外系統(6)為

x′=y,y′=0,

易見系統(6)的解在有限時間內不會跑到無窮遠處.

下面總假設(x(t;x0,y0),y(t;x0,y0))為方程(6)滿足初值(x(0),y(0))=(x0,y0)的解.

引理 1.1?(x0,y0)∈R2,解(x(t;x0,v0),y(t;y0,v0))在(-∞,+∞)上有定義.

引進極坐標.假設(x0,y0)∈R2,則解(x(t;x0,y0),y(t;x0,y0))可以用極坐標表示

(7)

其中r(t),θ(t)是連續函數.易證,在坐標變換(7)下,(r(t;r0,θ0),θ(t;r0,θ0))滿足方程

其中x0=r0cosθ0,y0=r0sinθ0.

1) 若r1≤r0≤RL,則

r(t;r0,θ0)≥r2, ?|t|≤L;

2) 若0

則由(8)式知

其中q0=從而

r0ee

從而,有

r0ee

取RL>0使得RL則

對?0

引理 1.3對方程(8)的任意解(r(t),θ(t)),若0

引理 1.4設(g0)和(g1)成立.若(r(t),θ(t))是方程(8)的解且滿足

0

和

θ(t2)-θ(t1)=-2π,

則

由條件(g1),對上述的ε,存在δ>0使得當0

從而

得證.

引理 1.4指出,在條件(g1)下,方程(8)的解的范數越小,則解在相平面上經過區域I:={(x,y):-ε≤θ≤0}就越慢,從而繞原點轉一圈所需要的時間就越長.下面,類似于文獻[16-17]中的證明方法,可以證明下面的引理.

L(R)≤r(t)≤R, ?t∈[t1,t2],

則

θ(t2)-θ(t1)<-π.

證明只證明r(t1)=R,r(t2)=L(R)的情況,r(t1)=L(R),r(t2)=R的情況可以類似證明.

由(g0),對任意的x≠0有g(x)·sgn(x)>0.定義連續函數g1:[-1,1]→R如下:

由構造知,g1是單調非減函數.易見,當00,當-1

g2(x)

對所有的x∈(0,1]有

g2(x)

其中，q0:=類似地,定義一個[-1,1]上的連續的單調非減函數h(x),使得h(0)=0且對所有的x∈[-1,0)有

h(x)>q1g1(x),

對所有的x∈(0,1]有

h(x)>q0g1(x).

定義上凹函數

顯然,

00;

G(x)>H(x)>0,x<0.

易見,

對任意的r∈(0,1],記

B(r):={(x,y):x2+y2

且取k>0使得對任意的

有

取-R

易見,曲線Γ1與Γ2均在圓B(R)內.

因為H是上凹的,對每一個y∈R,最多有兩個數x1,x2使得(x1,y)∈Γ1,(x2,y)∈Γ1.對Γ2也有相同的結論.顯然,存在0H(a).因為當x>0時G(x)b.現在,令(x(t),y(t))是方程(6)的解.如果曲線t(x(t),y(t))穿過Γ1,則必然是從內部向外部穿過.事實上,沿著方程(6)的解,對y(t)>0,有

這意味著在Γ1上的每一點處,方程(6)的向量場都是從內指向外的.對Γ2也有相同的結論.同時,易證,在線段{(x,0):γ≤x≤1}上,向量場指向下方.

因此,若(x(t),y(t)):[t1,t2]→R2是方程(6)的以

(x(t1),y(t1))∈{(x,y):y≤0,|(x,y)|=R}

為初始條件的解,滿足|(x(t2),y(t2))|=L(R)以及|(x(t),y(t))|≤R,?t∈[t1,t2],則一定存在t1<ω

(i)β≤x(ω)≤γ,y(ω)=0;

(ii) ?t∈[t1,ω),(x(t),y(t))與Γ1與Γ2均不相交;

(iii)u′(t)在[t1,ω]內至少有兩個零點.

這意味著曲線t(x(t),y(t))在穿過線段{(x,0):β≤x≤γ}之前繞原點至少旋轉了π,即θ(ω)-θ(t1)≤-π.由引理1.3知θ(t2)-θ(t1)<-π.

對于滿足

(x(t1),y(t1))∈{(x,y):y≥0,|(x,y)|=R}

的解也有類似的構造及相應的討論.因此,可以選擇一個適當小的正數L(R)

R≤r(t)≤L(R,j), ?t∈[t1,t2],

則

θ(t2)-θ(t1)<-2jπ.

證明由引理1.5,令R1:=L(R)

θ(t2)-θ(t1)=(θ(t2)-θ(s2))+

(θ(s2)-θ(s1))+(θ(s1)-θ(t1))<

-π-π=-2π.

令L(R,1):=R2,則結論對j=1成立.

令R3:=L(R2)及R4:=L(R3),類似可證,如果(r(t),θ(t))是方程(8)的滿足r(t1)=R,r(t2)=R4(或者r(t1)=R4,r(t1)=R)及

R4≤r(t)≤R, ?t∈[t1,t2]

的解,則

θ(t2)-θ(t1)<-2·2π=-4π.

令L(R,2):=R4,則結論對j=2成立.反復進行上述討論,則對每一個j>0,可以找到一個正數L(R,j)

R2≤r(t)≤R1, ?t∈[t1,t2],

則

證明將圓環分成兩個區域:

當(x,y)∈Ⅰ時,

|x|≥R2

其中q1:=當(x,y)∈Ⅱ時,

θ′<-

因此,存在b>0使得θ′≤-b.從而θ(t2)-θ(t1)≤-b(t2-t1).得證.

2 定理A的證明

證明下面,先證明方程(1)存在無窮多個次調和解.

θ(mT)-θ(0)<-2jπ.

設(r(t),θ(t))是方程(8)的解,r(0)=R2,滿足:

情況1或者(x(t),y(t))∈A,?t∈[0,mT],其中(x(t),y(t))由(7)給出;

對前一種情況,已知θ(mT)-θ(0)<-2jπ.

對后一種情況,可以選擇一個區間[t1,t2]?[0,mT]使得:

情況3或者r(t1)=R2,r(t2)=R1且對?t∈[t1,t2]有R2≤r(t)≤R1;

情況4或者r(t1)=R2,r(t2)=R3且對?t∈[t1,t2]有R3≤r(t)≤R2.

由R1、R2和R3的選取,無論哪種情況都有θ(t2)-θ(t1)<-2jπ.由引理1.3得θ(mT)-θ(0)<-2jπ.綜上所述,若(r(t),θ(t))是方程(8)的解,則

r(0)=R2?θ(mT)-θ(0)<-2jπ.

r(t)≤S1, ?t∈[0,mT].

所以

r(0)=S2?θ(mT)-θ(0)>-2π.

考慮mT-Poincaré映射:

[S2,R2]×R(r0,θ0)(r(mT;0,r0,θ0),

θ(mT;0,r0,θ0)),

則由推廣的Poincaré-Birkhoff扭轉不動點定理知,至少存在兩個點(ri,θi)∈(S2,R2)×R(i=1,2),使得方程(8)的解(r(t;ri,θi)、θ(t;ri,θi))滿足

r(mT;ri,θi)=ri

并且

θ(mT;ri,θi)-θi=-2jπ,i=1,2.

它們對應系統(6)的兩個mT-周期解(x(t;xi,yi),y(t;xi,yi))(i=1,2),其中

xi=ricosθi,yi=risinθi,

并且x(t;xi,yi)在[0,mT)內恰好有2j個零點.

由R2的選取可知,對?t∈[0,mT],r(t;0,ri,θi)

θ(mT)-θ(0)<-2jπ,

這與θ(mT)-θi=-2jπ矛盾.因此,(x(t;xi,yi),y(t;xi,yi))(i=1,2)是方程(5)的兩個mT-周期解,即x(t;xi,yi)是方程(1)的兩個mT-周期解.

顯然,當j和m互素時,mT恰好就是x(t)的最小周期,從而x(t)是方程(1)的次調和解.

調和解的存在性由上述結論與Massera定理[18]即得.

注 1.1由解的彈性性質(引理1.2)知,在定理1.1的證明中,當R1→0時所得到的周期解x(t)滿足