冪等矩陣線性組合的可逆性及逆的表示

馮福存, 常莉紅, 韓惠麗

(寧夏師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 寧夏 固原 756000)

0 引言

近年來(lái),國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)各種特殊矩陣的組合及組合的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了廣泛和深入的研究,并得到了一些很好的結(jié)果[1-3].冪等矩陣作為一類重要且性質(zhì)豐富的特殊矩陣，具有廣泛的應(yīng)用,國(guó)內(nèi)外許多從事相關(guān)研究的專家發(fā)表了一系列文章[4-5].由于密碼學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)和系統(tǒng)理論中的很多問(wèn)題都與冪等矩陣的線性組合密切相關(guān),因此很多學(xué)者對(duì)兩個(gè)冪等矩陣組合的性質(zhì)產(chǎn)生了濃厚的興趣,并對(duì)其進(jìn)行了深入的研究和探索.文獻(xiàn)[6]研究了兩個(gè)冪等矩陣線性組合的可逆性問(wèn)題,得到兩冪等矩陣線性組合可逆的若干充分必要條件.文獻(xiàn)[7]給出了在Banach空間中兩個(gè)冪等算子線性組合的局部性定理.文獻(xiàn)[8]討論了兩個(gè)冪等矩陣的和、差與線性組合非奇異性之間的一些關(guān)系.文獻(xiàn)[9]研究了3個(gè)互不相同的同階冪等矩陣,在任意兩個(gè)可交換的條件下它們線性組合的冪等性和可逆性.通過(guò)對(duì)它們的研究,使得算子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的內(nèi)在關(guān)系變得更加清晰,也讓相關(guān)的矩陣?yán)碚摰恼n題研究有了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).

本文在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步討論一組冪等矩陣在特定條件下的可逆性問(wèn)題,討論任意方陣分解為冪等矩陣線性組合或冪等矩陣與冪零矩陣的線性組合問(wèn)題,并在此基礎(chǔ)上給出任意可逆矩陣分解為一組冪等矩陣線性組合的表示形式.

1 基本概念和記號(hào)

定義 1.1[10]設(shè)A是n階矩陣,如果A2=A,則稱A為冪等矩陣.

關(guān)于冪等矩陣有如下結(jié)論:

結(jié)論 1.1[11]冪等矩陣A可對(duì)角化,且特征值只能為0或1.

結(jié)論 1.2[12]冪等矩陣不一定是對(duì)稱矩陣.

結(jié)論 1.3[12]冪等矩陣A滿足r(A)=tr(A).

結(jié)論 1.4[11]A是冪等矩陣的充要條件是r(A)+r(I-A)=n成立.

結(jié)論 1.5[12]若A是冪等矩陣,則A可逆當(dāng)且僅當(dāng)A=I.

2 冪等矩陣線性組合的可逆性

首先給出滿足特定條件的一組對(duì)稱冪等矩陣所具備的性質(zhì),然后給出滿足特定條件的這組對(duì)稱冪等矩陣線性組合的可逆性判定.

定理 2.1若A1,A2,…,Am均是n階對(duì)稱冪等矩陣,其中r(Ai)=ri,且A1+A2+…+Am=I.則：

1)r1+r2+…+rm=n;

2)Ai+Aj(i≠j)是對(duì)稱冪等矩陣;

3)AiAj=AjAi=0(i≠j).

2) 令B=Ai+Aj,C=I-B,則B為對(duì)稱矩陣,且

n=r(I)=r(B+C)≤

r(B)+r(C)=

r(Ai+A

所以

n=r(B)+r(C)=r(B)+r(I-B)，

得B是冪等矩陣,因此,Ai+Aj是對(duì)稱冪等矩陣.

3) 由Ai+Aj是冪等矩陣,可得

AiAj+AjAi=0,

(1)

(1)式兩邊分別左乘和右乘Ai，得

AiAj=AjAi=-AiAjAi,

得

AiAj+AjAi=2AiAj=2AjAi=0,

所以

AiAj=AjAi=0,i≠j.

定理 2.2A1,A2,…,Am均是n階對(duì)稱冪等矩陣,其中r(Ai)=ri,且A1+A2+…+Am=I.若A=α1A1+α2A2+…+αmAm,則A是對(duì)稱矩陣,且A可逆的充要條件是αi≠0.

證明A是對(duì)稱矩陣,顯然由定理2.1可知,AiAj=0(i≠j)，故

A(Aix)=αi(Aix).

(2)

由定理2.2的證明過(guò)程,考慮其逆過(guò)程可得.

定理 2.3A是對(duì)稱矩陣,若A的特征值為λ1,λ2,…,λm,則存在一組對(duì)稱冪等矩陣A1,A2,…,Am,使得A=λ1A1+λ2A2+…+λmAm成立.

證明A是對(duì)稱矩陣,A的特征值為λ1,λ2,…,λm,則存在正交矩陣P使得(3)式成立,

A=PΛPT,

(3)

其中Λ為對(duì)角矩陣,對(duì)角線上元素由A的特征值λ1,λ2,…,λm構(gòu)成.

設(shè)特征值λi的特征子空間Vλi的維數(shù)為ri,(3)式可寫為

λ=

λ1A1+λ2A2+…+λmAm,

其中

A,

(4)

推論 2.1A是可對(duì)角化(非對(duì)稱)矩陣,若A的特征值為λ1,λ2,…,λm,則存在一組冪等矩陣A1,A2,…,Am,使得A=λ1A1+λ2A2+…+λmAm成立.

在定理2.3中，若A的特征值滿足λi≠0(i=1,2,…,m),即A可逆,則有A1+A2+…+Am=I.

定理 2.4A是不可對(duì)角化矩陣,若A的特征值為λ1,λ2,…,λm,則存在一組冪等矩陣A1,A2,…,Am和一個(gè)冪零矩陣B,使得A=λ1A1+λ2A2+…+λmAm+B成立.

證明A是不可對(duì)角化矩陣,設(shè)A的特征值為λ1,λ2,…,λm,則存在可逆矩陣P使得

A=PJP-1,

(5)

其中,J=diag(J1,J2,…,Jm)為A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,Ji是由A的特征值λi構(gòu)成的若爾當(dāng)塊.

設(shè)特征值λi的根子空間V的維數(shù)為ri,(5)式可寫為

A=

λ

λ1A1+λ2A2+…+λmAm+B,

(6)

滿足(Hri)ri=0,令H=(lij)n×n,則

由于A不可對(duì)角化,可知lii+1不全為零.取s=max(r1,r2,…,rm),可得Hs=0.Bs=PHsP-1=0.證畢.

3 冪等矩陣線性組合的逆

在前文討論的基礎(chǔ)上,可對(duì)應(yīng)依次給出相應(yīng)條件的逆矩陣.

證明A是可逆的對(duì)稱矩陣,則

(A-1)T)*=

故A-1是對(duì)稱矩陣.

由定理2.3的證明可知

兩邊取逆,由P是正交矩陣可得

所以

引理 3.1若H是冪零矩陣,f(x)=a1x+a1x2+…+anxn,f(x)∈C[x],則f(H)也是冪零的.

證明因?yàn)镠是冪零矩陣,不妨設(shè)存在正整數(shù)t,使得Ht=0,則

f(H)=a1H+a1H2+…+anHn=

(a1I+a1H+…+anHn-1)H,

可得

[f(H)]t=(a1I+a1H+…+anHn-1)tHt=0.

引理 3.2設(shè)H=(hij)n×n,其中

hii+1不全為零,則Hn=0,且對(duì)任意λ≠0,有

證明

(λI+H)(λI+H)-1=

證明A的特征值為λ1,λ2,…,λm,由A是可逆的,可知λi≠0(i=1,2,…,m).

由定理2.4的證明,對(duì)(6)式兩邊取逆，可得

由引理3.2可得

A-1=

其中

gi(H

(-1)

則(7)式可寫為

其中Ai如(4)式所示,滿足

H=diag(h1(H),h2(H),…,hm(H)),

hi(Hri)=H

(-1)

取s=max(r1,r2,…,rm),由引理3.1,可得Hs=0,Ds=PHsP-1=0.證畢.

致謝寧夏師范學(xué)院課程思政示范課程建設(shè)(NSSZ2021011)對(duì)本文給予了支持，謹(jǐn)致謝意！