平板形、圓柱形、圓錐形石英燈陣列熱流計算方法

張肖肖，張賜寶，趙旭升，叢琳華

中國飛機強度研究所，陜西 西安 710065

石英燈是地面熱強度試驗中常用的輻射加熱元件，用于模擬高速飛行器飛行過程中的瞬態(tài)氣動熱效應(yīng)[1]，進而開展相應(yīng)熱環(huán)境下的強度驗證[2]。在加熱器設(shè)計中需要根據(jù)試驗件表面形狀進行設(shè)計，如對于翼面、舵面等大面積平直表面的加熱，一般設(shè)計為平板形加熱器；對于等直艙段等圓柱形表面的加熱，一般設(shè)計為圓柱形加熱器；對于天線罩或變徑非等直艙段等圓錐形或近似圓錐形表面的加熱，一般設(shè)計為圓錐形加熱器，如圖1所示。

圖1 加熱陣列Fig.1 Heating array

試驗件表面熱流分布是評估加熱器設(shè)計合理性的直接依據(jù)。楊曉寧等[3]建立了使用紅外燈陣作為外熱流模擬裝置時到達被加熱面熱流密度的計算模型，對影響熱流密度均勻性的因素進行了分析。劉守文等[4]采用蒙特卡羅法對紅外燈能束輻射過程的物理模型進行了分析，建立了能束輻射隨機位置、隨機方向的數(shù)學(xué)模型和燈絲溫度計算模型，給出了輻射波長、燈管反射率、吸收率、透射率的確定方法，進而提出了紅外燈熱流分布計算流程。同時，為了提高紅外燈陣熱流分布均勻度，應(yīng)用單燈熱流分布計算模型生成單燈熱流分布數(shù)據(jù)庫，解決了反光板反射熱流問題，建立了紅外燈陣熱流分布仿真計算方法[5]。楊國巍等[6]利用蒙特卡羅法計算了紅外單燈熱流分布，并據(jù)此建立了數(shù)據(jù)庫，綜合考慮紅外燈直射熱流、擋板反射率以及間隙漏光量等影響因素，得到紅外燈陣熱流分布結(jié)果。王智勇等[7]基于蒙特卡羅法對單一石英燈加熱器內(nèi)部熱流分布進行了數(shù)值模擬仿真，為更合理優(yōu)化加熱器內(nèi)部熱場分布提供了理論參考。夏吝時等[8]也采用蒙特卡羅法對平板形石英燈加熱器中水冷反光板面積、水冷反光板與燈陣間距離、熱源疏密程度、熱源陣列與材料受熱面間距等因素對輻射熱場中典型隔熱材料受熱面溫度分布均勻性和熱流密度進行了模擬計算。朱言旦等[9]為了掌握石英燈單燈及燈陣熱流分布規(guī)律，提高石英燈陣熱流分布預(yù)測能力，對石英燈陣熱流分布進行了計算分析與試驗研究，發(fā)展了基于蒙特卡羅法的石英燈陣熱流分布預(yù)測方法及計算程序。

以上研究對象多為平板形石英燈陣列，對圓柱、圓錐等熱強度試驗常見曲面形狀的加熱陣列熱流計算方法研究報道較少。目前在加熱器設(shè)計中受試驗周期影響，往往依賴于經(jīng)驗選取加熱陣列設(shè)計參數(shù)，缺少對表面熱流分布狀態(tài)的計算分析，而上述文獻中廣為采用的蒙特卡羅法在熱流分布計算方面耗時較長，不能滿足試驗設(shè)計主管對于熱流分布快速計算的需求。因此，需要建立一種能夠滿足平板形、圓柱形和圓錐形等常見形狀陣列的輻射熱流快速預(yù)測要求的計算方法，能對熱強度試驗中的加熱器設(shè)計、試驗件表面的熱環(huán)境模擬快速給出直觀的評估依據(jù)。

本文主要針對平板形、圓柱形和圓錐形的石英燈加熱陣列，基于輻射傳熱學(xué)中的斯忒藩-玻耳茲曼定律和蘭貝特定律，簡化石英燈燈絲模型，忽略周圍環(huán)境的折射、反射效應(yīng)，將輻射加熱元件離散成點光源，在試驗件表面布置離散的網(wǎng)格節(jié)點，結(jié)合點光源與節(jié)點距離、加熱元件和節(jié)點法線方向以及照射范圍進行判斷，分別計算各節(jié)點接收到各加熱元件的輻射熱流，之后將每個節(jié)點處的輻射熱流進行累加，進而實現(xiàn)熱試驗常用石英燈陣列的熱流分布快速計算。與蒙特卡羅法相比，在計算精度方面有所降低，在計算速度方面大幅提高。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 斯忒藩-玻耳茲曼定律

黑體的輻射力與熱力學(xué)溫度的關(guān)系由斯忒藩-玻耳茲曼定律所規(guī)定[10]

式中，σ為黑體輻射常數(shù)，其值為5.67×10-8W/(m2·K4)。

1.2 蘭貝特定律

如圖2 所示，用三維空間的立體角來表示某一方向的空間所占的大小[10]，定義為

圖2 可見面積示意圖Fig.2 Sketch map of visible area

設(shè)面積為dA的黑體微元面積向圍繞空間緯度角θ方向的微元立體角dΩ內(nèi)輻射出去的能量為dΦ(θ)，則試驗測定表明

式中，I是從黑體單位可見面積發(fā)射出去的落到空間任意方向的單位立體角中的能量，稱為定向輻射強度。其與黑體的輻射力之間的關(guān)系為

2 計算方法

考慮燈絲面向試驗件表面的半圓柱段，將燈絲沿長度方向N等分，將每一半圓柱段視為平面微元處理，其向半球空間內(nèi)輻射的總熱流為

式中，L為燈管長度；r為燈絲半徑；T為燈絲溫度。

需要說明的是，第1節(jié)中所述公式雖針對黑體，在將其應(yīng)用于燈絲時發(fā)射率的差異僅體現(xiàn)為燈絲溫度的差異，因此為簡化分析，本文中將燈絲發(fā)射率視為1。

2.1 平板形加熱陣列

平板形加熱陣列如圖3所示，二維平面的法矢量a可寫為[0，0，1]，對于平面上A點處面積為dA1的微元接收到某一微元dA（中心點為B）的輻射熱流為

圖3 平板形陣列點光源與節(jié)點位置關(guān)系示意圖Fig.3 Sketch map of relation between light source point of plane array and receiving point

所以A點處受B點照射獲得的熱流密度為

將所有燈絲的微元對A點的熱流密度累加，便得到了在此平板燈陣作用下A點的熱流密度，按照此過程計算平面上所有布點獲得的熱流密度，便可以給出整個預(yù)測區(qū)域內(nèi)的熱流分布云圖。

2.2 圓柱形外加熱陣列

圓柱形外加熱陣列如圖4所示，對于圓柱面上接收點A點處的法矢量a可寫為[Rcosα1，Rsinα1，0]，對于圓柱形陣列點光源B處的法矢量b可寫為[-(R+d)cosα2，-(R+d)sinα2，0]，其中d為燈陣到圓柱面的距離，R為圓柱面半徑。對于圓柱面上A點處面積為dA1的微元接收到面積為dA的微元B的輻射熱流為

圖4 圓柱陣列點光源與節(jié)點位置關(guān)系示意圖Fig.4 Sketch map of relation between light source point of cylindrical array and receiving point

式中，θ1為點光源法線與AB連線的夾角；θ2為柱面上點的法線與AB連線的夾角。θ1與θ2二者的余弦值可通過矢量點積與矢量的模計算得到，如將A、B之間的矢量記為c，則

所以A點處受B點照射獲得的熱流密度為

需要注意的是，在圓柱燈陣中，每一根燈管的可照射范圍是有限的，如在圖4中，通過B點的切線BC、BD與圓的切點C、D之間的圓弧CD上的接收點可受到點光源B的照射。因此，在計算圓柱表面熱流分布時，需要對表面節(jié)點A是否受到某個點光源B的照射進行判斷，判斷依據(jù)為燈管所在直線和接收點所在母線與圓柱圓心夾角小于相切時夾角（∠BOD），即

2.3 圓錐形外加熱陣列

圓錐外加熱陣列如圖5所示，對于圓錐面上接收點A點處的法矢量a可寫為[Rcosα1，Rsinα1，Rtanβ]，對于圓錐形陣列點光源B處的法矢量b可寫為[-(R+d/cosβ)cosα2，-(R+d/cosβ)sinα2，-(R+d/cosβ)tanβ]，其中d為燈陣到圓錐面的距離，R為圓錐底面半徑，β為半錐角，α1、α2分別為A點所在母線、B點所在陣列母線在xOy平面的投影與x軸的夾角。對于圓錐面上A點

圖5 圓錐陣列點光源與節(jié)點位置關(guān)系示意圖Fig.5 Sketch map of relation between light source point of conical array and receiving point

處面積為dA1的微元接收到面積為dA的微元B的輻射熱流為

式中，θ1為點光源法線與AB連線的夾角；θ2為錐面上點的法線與AB連線的夾角。θ1與θ2二者的余弦值可通過矢量點積與矢量的模計算得到，如將A、B之間的矢量記為c，則

所以B點處受A點照射獲得的熱流密度為

在計算圓錐表面熱流分布時，需要對表面節(jié)點是否受到某個點光源的照射進行判斷。選定圓錐面上任一母線C'D'（C'為圓錐頂點，D'為圓錐下底面上一點），通過該母線做出圓錐面的切面，石英燈所在直線CD與C'D'平行，則該切面與除CD以外其他石英燈所在直線均產(chǎn)生一交點（如圖6 中的E、F），可以看到各石英燈中位于該交點以上的部分可對母線C'D'上的點產(chǎn)生照射，而位于該交點以下的部分無法對母線C'D'上的點產(chǎn)生照射，而沿直線CD的石英燈各部分均可對母線C'D'上的點產(chǎn)生照射。如圖7所示，圓錐面上母線C'D'處的法矢量d可寫為（Rcosθ，Rsinθ，Rtanβ），θ為C'D'在xOy平面投影OD'與x軸的夾角。由于E點位于過母線C'D'的切面上，因此矢量d與由C'指向E的矢量e垂直，圓錐頂點C'坐標(biāo)為（0，0，h），其中h為圓錐面高度。石英燈上點E坐標(biāo)可寫為（rcosθ3，rsinθ3，z1），其中z1為交點E的z向坐標(biāo)，r為輻射加熱元件所在圓錐體高度為z1處的切面圓半徑，θ3為CG在xOy平面投影OE與x軸的夾角。矢量e可寫為（rcosθ3，rsinθ3，z1-h），根據(jù)d?e= 0可得

圖6 圓錐面輻射加熱示意圖Fig.6 Sketch map of radiation heating to conical surface

圖7 圓錐面輻射加熱幾何模型Fig.7 Geometrical model of radiation heating to conical surface

對圓錐面有tanβ?h=R，代入式（17）整理可得

根據(jù)相似三角形特性，石英燈陣列所在圓錐面高度為z1處的截面圓半徑r與z1的關(guān)系可表示為

式中，r1為石英燈陣列所在圓錐面的底面圓半徑（如圖7 中的OG），h1為石英燈陣列所在圓錐面的高度（如圖7 中的OC）。根據(jù)解析幾何知識，r1和h1分別可表示為

即對于投影與x軸夾角分別為θ的母線C'D'，各石英燈中位于z向坐標(biāo)為z1的E點以上的部分可對母線C'D'上的點產(chǎn)生照射，而位于E點以下的部分無法對母線C'D'上的點產(chǎn)生照射，而與C'D'平行的直線CD的石英燈各部分均可對母線C'D'上的點產(chǎn)生照射。

2.4 內(nèi)加熱與外加熱情況下的算法區(qū)別

圓柱形和圓錐形加熱陣列如圖8、圖9 所示，與外加熱相比，相當(dāng)于是將燈管與試驗件交換了方向，在照射范圍判斷上沒有本質(zhì)不同，都是判斷光源與接收點能否在不受遮擋的情況下連出一條直線，所以只需在判斷依據(jù)中將光源相關(guān)位置信息與接收點相關(guān)位置信息進行交換，就可以作為內(nèi)加熱情況的照射范圍判斷依據(jù)。需要注意的是，由于照射與接收的相對位置發(fā)生了變化，燈管點光源和試驗件表面接收點的法矢量表達式也相應(yīng)改變，見表1。

表1 內(nèi)加熱與外加熱情況下法矢量表達式Table 1 Expression of normal vector of inner heating and outer heating

圖8 圓柱內(nèi)加熱陣列Fig.8 Cylindrical inner array

圖9 圓錐內(nèi)加熱陣列Fig.9 Conical inner array

2.5 具有解析表達式的曲面熱流計算

對于形狀復(fù)雜但具有解析表達式的空間三維曲面F(x,y,z)=0，其上一點(x,y,z)處的曲面法矢量為(Fx,Fy,Fz)，其中Fx、Fy、Fz分別為F(x,y,z)對x、y、z的偏導(dǎo)數(shù)。而石英燈陣列，受加熱元件外形限制，所在平面或曲面的法矢量表達式不難確定，因此上述熱流計算方法對于任意具有解析表達式的曲面也適用，均能得到類似式（11）的表達式，但需要根據(jù)具體曲面形狀和陣列形狀建立正確的照射范圍判據(jù)。

3 熱流計算結(jié)果

3.1 平板形加熱陣列計算結(jié)果

取燈管長度為310mm，燈絲直徑為3mm，燈絲溫度為2500K，計算區(qū)域為350mm×300mm，燈管高度為50mm，燈管間距為30mm，陣列上下左右居中放置。圖10 給出了1支和10支燈管組成的陣列在試驗件表面的熱流分布情況，圖中虛線為燈管在計算區(qū)域平面上的投影?？梢钥吹?，單支燈管照射下試驗件表面熱流沿?zé)艄苤卸蜗蛩闹艹尸F(xiàn)由高到低的梯度分布；隨著燈管排布密度的增加，加熱陣列覆蓋的試驗件中部區(qū)域的熱流密度接近同一水平，四周仍呈現(xiàn)出較為明顯的熱流梯度。

圖10 平板形加熱陣列熱流分布結(jié)果Fig.10 Heat flux distribution of plane heating array

3.2 圓柱形外加熱陣列計算結(jié)果

取燈管長度為310mm，燈絲直徑為3mm，燈絲溫度為2500K，圓柱試驗件直徑為400mm、高度為350mm，燈管距試驗件表面高度為50mm，陣列上下居中放置。圖11 給出了1支和20支燈管組成的陣列在試驗件表面的熱流分布情況。可以看到，單支燈管的照射范圍較為有限，試驗件表面熱流呈現(xiàn)上下左右對稱分布，并且具有顯著的熱流梯度；隨著燈管排布密度的增加，加熱陣列覆蓋的試驗件中部區(qū)域的熱流密度趨于均勻，燈管正下方區(qū)域的熱流偏高。

圖11 圓柱形外加熱陣列熱流分布結(jié)果Fig.11 Heat flux distribution of cylindrical outer heating array

3.3 圓錐形外加熱陣列計算結(jié)果

取燈管長度為310mm，燈絲直徑為3mm，燈絲溫度為2500K，試驗件底面直徑為150mm、高為500mm，燈管距圓錐試驗件表面高度為30mm，陣列距試驗件底面高度為50mm。圖12 給出了1 支和9 支燈管組成的陣列在試驗件表面的熱流分布情況?？梢钥吹?，單支燈管照射下試驗件表面熱流呈現(xiàn)沿母線兩側(cè)左右對稱分布，但受隨高度漸變的截面圓曲率影響，沿母線上下并不對稱，越接近圓錐底部，照射范圍越大，但平均熱流越小，這種趨勢隨著燈管排布密度的增加，可以觀察得更為明顯。

圖12 圓錐形外加熱陣列熱流分布結(jié)果Fig.12 Heat flux distribution of conical outer heating array

4 結(jié)論

針對熱強度試驗中常見的平板形、圓柱形、圓錐形石英燈加熱陣列，本文建立了三種內(nèi)加熱陣列的解析傳熱模型，提出了基于解析法的熱流快速計算方法，分析了內(nèi)加熱與外加熱情況下算法的區(qū)別，給出了典型燈管排布下熱流分布結(jié)果，得出了以下結(jié)論:

（1）通過將平板形、圓柱形、圓錐形結(jié)構(gòu)表面離散化以及石英燈管離散化，按照蘭貝特定律逐點計算各接收點接收到燈管上各點光源的輻射熱流，再計算各接收點接收到所有點光源的輻射熱流之和，可以快速得到合理的結(jié)構(gòu)表面熱流分布結(jié)果。

（2）單支石英燈在圓柱面上照射范圍有限，在熱流分布計算過程中需要采用照射范圍判斷依據(jù)來判斷圓柱面上母線與燈管所在直線的相對位置關(guān)系。

（3）不同石英燈對圓錐面上同一條母線的照射程度不同，在熱流分布計算過程中需要采用照射范圍判斷依據(jù)來判斷石英燈上光源點與圓錐面上母線之間的照射關(guān)系。