凸顯“聯系·結構·建構”促學生數學思維深度發展
——以人教版《平行四邊形的面積》為例

方雪蓉

（漳州市龍文區教師進修學校，福建 漳州 363005）

認知心理學家布魯納提出，學習就是認知結構的組織和重新組織，學習結構就是學習事物是如何聯系的。新課標更強調知識整體性、關聯性、系統性以及學習的建構性，特別強調要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。幫助學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發展核心素養。

—、緊扣舊知激活經驗

“平行四邊形的面積”是人教版五年級上冊第六單元多邊形面積的第一課時，之前學生已學完長方形、正方形面積計算公式和平行四邊形的認識。本節課是學生首次用轉化的方法來探索圖形的面積公式，也是促進學生空間觀念發展、滲透轉化、變與不變等數學思想方法的關鍵課，對學生后續探索更多平面圖形面積以至立體圖形的學習都至關重要。筆者認為本節課學習的重點是如何讓學生自主地調動已有的知識經驗探索平行四邊形面積的計算方法。課前，筆者進行簡單的前測發現：給出一個沒有畫高的平行四邊形，很多學生認為求面積用“鄰邊相乘”，并振振有詞。或許這才是學生最真實的認知經驗、最近的知識生長點。

（一）喚醒舊知

課件出示平行四邊形。

師：認識它嗎？關于它，你都知道些什么？

生：兩組對邊分別相等；每組對邊之間有無數條高；容易變形。

師：如果這個平行四邊形是一個框架的話，它的形狀還可以不斷地發生變化。（師拿框架演示），這些都是前面所學的大家都知道的知識。今天這節課繼續研究平行四邊形新的知識（板書：平行四邊形的面積）。

（二）引發猜想

師：根據你的經驗，要求平行四邊形的面積，需要哪些數據？大膽猜猜怎么算？

根據學生回答，課件出示相應條件：

生：底乘鄰邊；底乘高

師：能說說你是怎么想的嗎？

生1：因為長方形的面積等于長×寬，所以平行四邊形的面積=底×鄰邊。

生2：剛才平行四邊形可以拉成長方形，所以平行四邊形的面積等于相鄰的兩條邊相乘。

師：聽起來有點道理。

生3：因為把左邊的三角形移到右邊，就變成長方形，長就是底，寬就是高，所以平行四邊形的面積=底×高。

師：也蠻有道理的，兩種不同的猜想，究竟哪種才是對呢？

【說明】本環節改變了教材的呈現方式，直截了當，緊扣舊知，用簡約樸素的素材，開放而又富有挑戰的問題，讓學生形成認知沖突，產生進一步探究的欲望。

二、尋找聯系自主建構

建構主義學習理論認為，學習不是簡單的信息積累，也不是由教師傳授而獲得的，而是學習者根據已有的知識、經驗、方法，（在同伴及教師的幫助下）主動地選擇、加工和處理，通過意義建構的活動而獲得的。數學教學，就是要幫助學生學會尋找前后知識間蘊含的關聯，進而從不同的角度理解和認識問題，創造性地解決問題，并逐步建構起自己的“思想體系”“方法體系”，促進數學思維的深度發展。

（一）自我建構

師：如果你有足夠的本事，就在這個平行四邊形里面自己來研究為什么平行四邊形的面積=底×高？

師：如果你覺得你還要有一些小幫助，在紙的背面還有一個友情支持，你可以在有格點的圖中，畫一畫，標一標，寫一寫，用數學的方法讓別人一眼就看明白看你是怎么想的，選擇你喜歡的開始研究吧！（學生動手數格子，教師巡視，搜集典型作品）

1.挑選三種不同方法的學生作品上臺展示（課件）

一格一格數——部分拼組——整體拼組

2.結合課件比較兩種方法

匯報一：先數整格數，然后再把其他不足整格的進行拼湊

匯報二：將平行四邊形分割成三部分

匯報三：直接把平行四邊形的一個角剪下來放到另一個角上去，拼成一個長方形

（二）比較完善

師：你喜歡感那種方法？為什么？

師：有沒有發現這個6×4 里面隱藏著什么奧秘呢？

師：看來平行四邊形的面積很有可能等于底×高。

【說明】本環節整體性地呈現學習材料，讓學生自主選擇探究方法，沒了教師的牽引，學生自帶經驗、自我研究、自我建構，“催生真學習”，“培養思維力”。

三、合作探究完善建構

數學對象的建構事實上是一種整體性的建構活動。結構的本質是元素及其關系的整體關聯，因此，教學學習應基于知識整體單元的發生與發展，凸顯知識元素間的溝通與聯系，是將教材的學科結構高效率地轉變為學生認識結構的學習，使學生的認知發展規律與知識發生規律相融合。學習應是意義建構過程中的探險，唯有經過充滿挑戰、疑惑、探索、苦思、頓悟、驚喜……曲折多變，才能建構起數學知識的完整樣態，促進數學思維的深度發展，實現數學核心素養的關聯生長。

師：是不是任意一個平行四邊形的面積都等于底×高呢？

沒了方格圖的支持，你還能求出它的面積嗎？請同桌一起來研究？

（一）剪拼轉化

1.想一想：可以將平行四邊形轉化成什么圖形來研究？

2.畫一畫，剪一剪，拼一拼：怎樣轉化？

師：請拿出準備好的平行四邊形和學具，開始研究吧!

（二）展示互動

1.師：同桌互相說說你們是怎么剪拼轉化的。

三種不同的平行四邊形+沿著不同位置的高剪。

師：有沒有沿著不同位置剪的？

準備兩個高沒畫在定點上的，讓學生剪開上臺展示是否能拼成長方形。

師：有沒有哪位同學的平行四邊形不能剪拼成長方形的？

師：為什么要沿著高剪？

2.課件出示沿著不同的高剪拼的過程

質疑：一定要沿著高剪嗎？

師：想得到直角除了沿著高剪，沿著垂線剪可不可以呢？請看屏幕（課件展示沿著垂線剪）。

（三）公式推導

師：看來任意一個平行四邊形，都可以沿高剪開，再拼成長方形，那我們就可以說所有的平行四邊形都可以轉化成長方形（板書），轉化——是數學研究中非常重要的思想方法，它讓我們找到了新舊知識之間的聯系。接著繼續研究轉化后的長方形和原來的平行四邊形之間究竟有什么關系？

請看活動3 要求：

（1）觀察轉化前后的圖形有怎樣的等量關系？（2）你能得到什么結論？（3）填寫公式推導學習單。

1.分享研究成果

長方形的面積=平行四邊形的面積，長方形的長=平行四邊形的底（板書），長方形的寬=平行四邊形的高（板書），因為長方形的面積=長×寬（板書），所以平行四邊形的面積=底×高。（板書）

如果我們用S 表示面積，a 表示底，h 表示高那么我們就可以用更簡潔字母公式：S=ah（板書）來表示平行四邊形的面積計算公式。

2.課件演示推導過程

3.平行四邊形對拉，面積的變化情況。

師：仔細觀察，老師手中平行四邊形框架在拉動的過程中，什么變了，什么沒變？

學生觀察得出：周長不變，面積變了。底邊不變，面積隨著高的變化而變化。拉成長方形的時候面積最大。

【說明】本環節著眼于促進學生高質量思維的形成，通過參與對話、合作探究、展示互動等活動，以關鍵問題串為“腳手架”，讓學生深刻地領悟到平行四邊形的“高”在面積計算中的特殊意義，幫助學生打破長方形、正方形面積計算時建立起來的根據圖形的邊線長度計算面積思維定勢。不僅揭示了知識的內在聯系、規律的形成過程；還提煉數學的思想方法、體驗了數學的理性精神。讓學生不僅學得知識、習得方法，還能生成智慧。

四、多層練習深化理解

師：有了這個計算公式，現在要求平行四邊形的面積是不是很簡單了，只要知道什么條件？

（一）公式應用

1.出示例題1：平行四邊形花壇的底是4m，高是3m，它的面積是多少？

2.出示完成課本89 頁的第2 題。著重強調底和高要相對應。

3.依次出現：底和高不相對應，能求出面積嗎？

再給一條高，求出面積，再求出另外一條底。

師：有沒有要提醒自己和同學們特別注意什么？

師：看來同學們都學的很好，有沒有信心再接受挑戰？

（二）等底等高的平行四邊形面積一定相等嗎？

課件依次出示四個形狀不同，但等底等高的平行四邊形。

師：你有什么發現？等底等高？

生：等底等高，面積都相等。

師：還能畫嗎？

生：“我覺得可以畫無數個”“只要底都是4 厘米，高都是5 厘米就可以了。”“底和高不變，所以面積就不變”“雖然它們的樣子不一樣，但面積是一樣的”。

師：也就是說，平行四邊形只要等底等高，不管什么樣子，它們的面積都相等。

（三）面積相等的平行四邊形一定等底等高嗎？

師：反著說，面積相等的平行四邊形一定等底等高？對嗎？

屏幕出現4 個底和高不相等的平行四邊形。

師：怎么說是正確的？

生：面積相等的平行四邊形不一定等底等高。

師：真是一字之差，謬之千里。這就是數學的嚴謹之美。

【說明】本環節練習設計層次性與整體性相結合，由淺入深、分層遞進、環環緊扣，在“變”與“不變”的辨析中，不僅加深了學生對知識深層次的理解、還進一步幫助學生完善知識的整體建構結構與聯系。

五、總結延伸整體建構

問題1：同學們通過哪些方法驗證找到了平行四邊形面積的計算方法？你覺得在研究過程中，最應該感謝哪個圖形的幫忙？為什么？

問題2：同學們，今天這節課我們通過了轉化、找聯系、推導公式，求出了平行四邊形的面積，猜猜還有什么圖形的面積計算利可能用到類似的方法？

問題3：把平行四邊形剪拼成長方形，什么變了，什么不變？

問題4：除了知識上的收獲，在學習方法上有什么收獲？

【說明】本環節通過四個問題，不僅再現回顧學習過程，幫助學生承上啟下，前伸后延，還幫助學生在“變”與“不變”中學會辨析，使原本隱藏在教材背后的知識凸顯出來，抓住聯系，更好地把握結構、理解結構，以及獲得知識的方法結構，以結構關聯的模型保存在學生的大腦皮層，方便在后續的學習中能迅速、有效地提取與轉化。