六相永磁直線同步電機電磁特性分析及數學模型建立*

楊 歸,許 金,朱俊杰,李明珂

(海軍工程大學 艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室,湖北 武漢 430033)

0 引 言

近年來，對于永磁材料的不斷研究和開發，永磁電機得到迅速的發展[1-4]。永磁直線同步電機(PMLSM)與傳統電勵磁電機相比，具有結構簡單，運行可靠；體積小，質量輕；損耗小，效率高；電機形狀和尺寸可以靈活多樣等諸多優點，廣泛應用于航天航空、交通運輸、艦船推進、電磁彈射等領域[5-6]。與長次級短初級結構相比，PMLSM采用長初級短次級結構不僅可以節省材料成本，而且可避免高速運動導致端部開斷引起動態邊端效應，以及改善供電線纜初級繞組運動導致電機壽命降低等問題，更兼備較低不對稱性等明顯優勢。

在研究電機設計和控制方法時，通常需要建立準確有效的數學模型[7]。數學模型主要分為兩種：以有限元模型為代表的分布參數模型[8-10]與以相空間模型和dq0軸坐標模型為代表的集總參數模型[11-14]。有限元模型由于其具備計算結果精確以及便捷可視化操作界面等優點而被廣泛應用，然而同時具有建模成本高、計算時間長等不足。傳統集總參數模型具備建模成本低、計算效率高等優點也得到了廣泛應用。相空間模型可以考慮電機不對稱、邊端效應、飽和效應以及諧波磁場等非線性影響因素，而dq0軸模型具備便于控制以及易于計算等優點，通?？赏ㄟ^變換矩陣實現兩種模型之間的相互解耦變換。

目前永磁電機多為三相電機，而多相電機具備冗余度高、推力脈動小、單相容量低以及安全可靠等諸多優點，已廣泛應用于旋轉電機。文獻[15]以分段供電雙三相PMLSM作為研究對象，考慮氣隙磁場脈動以及暫態過程，建立了非線性相空間非線性數學模型，但未對dq0軸數學模型以及電磁特性進行研究[15]；文獻[16]針對永磁電機飽和效應以及磁場諧波問題，基于有限元建立了dq0軸數學模型，并對電磁特性進行分析，但是以旋轉電機作為研究對象。目前大多數電機數學模型的建立均是基于大量假設條件進行分析，而假設條件的設立缺少詳細的電磁特性分析。

綜上，本文以新型動次級PMLSM作為研究對象，首先針對電機暫態時間、飽和特性及不對稱性等電磁特性進行有效分析，然后建立自然坐標系abc數學模型，由此推導出同步坐標系dq0數學模型，繼而建立等效電路，并對瞬態工作特性開展相關計算；最后，通過電壓測試值和瞬態推力有限元值與解析計算值進行對比，其結果吻合度較高，驗證了數學模型的正確性。

1 電磁特性分析

1.1 暫態時間計算及分析

在發射電機磁路中，永磁動子為氣隙提供恒定磁源，定子采用電勵磁的方式為氣隙提供磁源，而初級繞加載激勵是從無到有的過程，即初級定子提供的磁場是從產生到穩定具有一定的暫態時間。電機的定子電路為LR回路，電感的電壓和電流達到穩定狀態需要一定的過程，其波形符合指數變化，電感電壓電流變化式為

(1)

(2)

式中:Uin為輸入電壓；Rs為單相電阻；t1為時間常數，t1=Lp/R,Lp為相總電感，Lp=Lm+Ls，Lm為激磁電感，Ls為漏感。

通常規定5t1時間后電感參數達到穩定狀態。根據出廠試驗測得發射電機單相電阻與電感值計算暫態時間為0.009 s，電感參數電壓電流暫態曲線如圖1所示。為驗證暫態時間計算的正確性，利用有限元瞬態各相感應電壓變化曲線驗證各相暫態時間如圖2所示。

圖1 歸一化參數變化曲線

圖2 有限元各相電流暫態變化曲線

由圖2可以看出電機各相繞組電壓暫態時間與理論上基本一致。根據以上分析可知，電磁場達到穩態的暫態時間遠小于實際工作時間，可以忽略電機暫態過程。

1.2 飽和特性分析

當初級繞組激勵增大時，電機電感會出現非線性，電機繞組電感需增加飽和系數ks，即電感是以電流變化的非線性函數，其關系可以用一個簡化函數表示為

L′m=ksILm

(3)

為確定電機線性工作時加載電流激勵范圍，根據硅鋼片線性B-H曲線范圍及永磁體作用于初級鐵心表面的徑向磁場，推斷出初級繞組加載激勵時作用于鐵心表面的徑向磁場區間，從而根據磁場計算公式得到初級繞組加載電流激勵的范圍。

由無激勵單定子鐵心表面磁場分布，如圖3所示，可知無激勵永磁體磁場作用于初級鐵心表面最大電磁感應強度為0.678 6 T；由硅鋼片B-H曲線，如圖4所示，可知鐵心開始飽和時的電磁感應強度約為1.5 T。根據單定子磁場計算式推算出鐵心出現飽和時初級繞組加載激勵最大值約為13 740 A。

圖3 鐵心表面徑向磁場

圖4 鐵心B-H曲線

為分析電機飽和規律，基于發射電機有限元模型進行電感隨電流激勵變化關系求解，圖5所示為電流變化時的飽和系數曲線。

由圖5可知電流達到14 000 A左右時，電感開始些微下降，鐵心開始出現飽和現象，仿真結果與理論計算值基本符合。實際工況下電流遠達不到14 000 A，電機發射過程中基本處于線性工作區間內。

圖5 飽和系數曲線

1.3 不對稱性分析

對于圓筒PMLSM:(1) 初級鐵心開斷，繞組端部將產生漏磁，初級繞組端部某相繞組產生的磁場與其他相繞組磁場耦合程度不同，將導致電感矩陣不對稱；(2) 發射電機要求工作在大推力狀態下，從而導致電磁負荷較大，需考慮初級鐵心飽和對電感參數帶來的影響。在發射電機同步工作過程中，永磁體動子產生的磁場與初次電樞磁場相對靜止，因此永磁體磁場不會影響電機初級繞組電感參數變化，即電流不對稱性主要受初級定子影響。

為探索電流不對稱影響，設置工況(電壓幅值為35 V，頻率為20 Hz)進行單定子電壓測試試驗，并對所測的六相電流響應進行正負序分解，分析六相電流不對稱性影響程度。六相電流波形如圖6所示。根據六相電流響應時域波形圖6可以看出六相電流B2相電流幅值略大，C1相電流幅值略小。

圖6 六相電流測量曲線

圖7 正負序電流頻譜

對六相電流進行頻域分析，分析結果如圖7所示。由圖7可以看出正序電流只包含基頻，而負序電流除了基頻分量外還包含倍頻諧波，整體負序電流遠小于正序電流。不對稱度計算式為

(4)

由式(4)計算出試驗工況所測六相電流不對稱度約為1.97%，可知不對稱性對電機影響較小。

2 數學模型的建立

2.1 初級繞組結構分析

圖8 初級繞組相位圖

圖9 無槽整距繞組布置

2.2 自然坐標系數學模型的建立

為便于PMLSM分析，建立切實可行的數學模型，根據上節電磁特性分析，可以提出以下5點合理假設：(1)忽略暫態過程，近似認為PMLSM一直同步工作；(2)忽略鐵心磁滯、渦流損耗及飽和，即電機磁路線性變化，磁場可以通過疊加原理進行分析；(3)初級繞組及次級永磁體無阻尼作用；(4)定子初級磁動勢沿氣隙按正弦規律變化，忽略磁路的高次諧波磁動勢；(5)將次級永磁體材料視為理想磁源，即為電機氣隙提供恒定磁場。

abc坐標系中磁鏈方程為

ψabc=LijIabc+ψabcf

(5)

式中:ψabc、Iabc分別為abc坐標系中電機磁鏈向量、電流向量，ψabc=[ψa1ψb1ψc1ψa2ψb2ψc2]T，Iabc=[Ia1Ib1Ic1Ia2Ib2Ic2]T。

ψabcf為abc坐標系下磁體交鏈與初級繞組磁鏈矩陣，其表達式為

(6)

式中:ψf為初永磁體交鏈于初級繞組磁鏈幅值;θ為次級d軸與初級繞組A1相之間夾角。

Lij為各相繞組自感互感矩陣，為6階方陣，i、j=a1、b1、c1、a2、b2、c2,若i=j則表示各相自感，其表達式為

Lij=Lss+Labc_s1=

(7)

式中:Lss為六相繞組氣隙磁場對應主電感矩陣;Labc_s1為初級繞組漏感矩陣。

abc坐標系中電壓方程為

Uabc=RabcIabc+pψabc

(8)

式中:p為求導因子d/dt;Uabc為初級繞組在abc坐標系中外加電壓向量，其表達式為Uabc=[Ua1Ub1Uc1Ua2Ub2Uc2]T;Rabc為初級繞組在abc坐標系中電阻矩陣，其表達式為Rabc=RsE6，Rs為每相初級繞組電阻，E6為6階單位矩陣。

結合式(5)將式(8)進一步化解為

Uabc=RabcIabc+Lij(pIabc)+pψabcf

(9)

式(9)第三項為空載反電動勢Eabc，即:

(10)

式中:ωr為動子相對定子運動速度v對應的角速度;ωr=βv，β為極距系數。

在電機同步情況下:

v=2fτ

(11)

式中:f為初級繞組輸入激勵頻率;τ為電機極距。

abc坐標系中電磁推力Fthrust為

(12)

式中:We為電機輸出有用功率。

2.3 同步旋轉坐標系模型的建立

由2.2節可知電機磁鏈隨定子與動子相對位置變化而變化，為簡化其表達式，將abc坐標系中相關方程轉化至dq0坐標系。PMLSM繞組軸線分布圖如圖10所示。

圖10 dq0坐標系繞組軸線圖

根據橫幅值等效變換，將abc坐標系轉換至dq0坐標系的變換矩陣為

(13)

式中：當i=1時，θi=θ；當i=2時,θi=θ-π/6。

dq0坐標系變換至abc坐標系的變換矩陣為

(14)

通過變換矩陣式(13)將abc坐標系中磁鏈、電流和電壓轉換至dq0坐標系中，則dq0坐標系中磁鏈方程為

ψdq0=Ldq0Idq0+ψdq0f

(15)

式中:ψdq0、Idq0分別為dq0坐標中電機磁鏈、電流，ψdq0=[ψd1ψq1ψ01ψd2ψq2ψ02],Idq0=[Id1Iq1I01Id2Iq2I02];ψdq0f為永磁體與初級繞組交流的磁鏈，ψdq0f=[ψf0 0ψf0 0]。

dq0坐標系中電壓方程為

Udq0=Rdq0Idq0+pLdq0Idq0+ALdq0Idq0+Aψdq0f

(16)

dq0坐標系中電磁力計算式為

(17)

式中:pr為電機動子極對數;Idn、Iqn分別為d、q軸電流；Ldn、Lqn分別為d、q軸電感；n為第n套繞組。

3 等效電路的建立及瞬態工作特性分析

3.1 等效電路的建立

建立等效電路可以生動形象地描述電機初級繞組之間的耦合關系，便于電機控制模型設計及工作特性分析。

結合式(16)建立d軸與q軸等效電路，如圖11和圖12所示，電機兩套初級繞組等效電路相同，統一用下標s表示初次繞組。

圖11 六相PMLSM的q軸等效電路

圖12 六相PMLSM的d軸等效電路

3.2 瞬態工作特性計算

電機控制通常采用Id=0電流控制方式，該控制方式具備控制方法簡單，計算量小，且可避免電樞反應導致永磁體去磁等優點。電機在瞬態工作過程中并不是時刻保持同步運行，存在電機失步現象，即動子磁場相對定子磁場存在一定的功角差Δδt，t0時刻功角為

(18)

式中:xt0為t0時刻拉力傳感器反饋得到的觀測位置;ωs(t)為電樞磁場變化速度。

根據電機學相關理論，可知電機t0時刻的有功功率為

(19)

式中:Um為單相端口電壓有效值；Xq與Xd分別為交、直軸電抗。

當Xq和Xd相等時，將式(19)簡化為

(20)

進而可得到推力計算式為

(21)

電機總輸入功率為

Ps=6IsqUsq

(22)

電機工作效率為

(23)

4 試驗驗證

為驗證新型PMLSM數學模型建立的正確性，設計新型PMLSM電壓測試，利用羅氏線圈電流傳感器以及高采樣頻率力高力采集器構成電流采集系統，得到電壓測試分析系統控制端輸入幅值為150 V，頻率為38 Hz六相對稱電壓條件下輸出電流特性，六相電流解析計算值與測量值對比結果如圖13所示。

圖13 六相PMLSM電流對比

由圖13可以看出六相電流計算值與試驗測量值吻合度較好。圖13中計算電流曲線超前于試驗測量電流曲線現象，是由于電能變換柜以及測量設備電抗作用導致電流滯后于電壓。

為驗證瞬態電磁力計算的準確性，將動子最大速度18 m/s瞬態運動試驗工況中拉繩傳感器所測得的速度數據與電流傳感器測得的電流數據加載到有限元模型中，將有限元計算得到的電磁推力數值與解析值進行對比，對比結果如圖14所示，數值對比結果表明數值最大誤差為3.6%。

圖14 六相PMLSM推力對比

5 結 語

本文以新型六相永磁直線電機作為研究對象，在分析電機暫態時間、飽和特性及電流不對稱性等電磁基礎上，建立了abc與dq0坐標系數學模型，由此闡明了磁鏈、電壓和電流相互之間的約束關系，在此基礎上對瞬態工作特性開展相關計算，并利用電流試驗測量值與推力有限元計算值驗證了數學模型建立的正確性及瞬態工作特性計算的準確性。