有界線性算子的a-Browder 定理及(R1)性質

車雨紅，戴磊

（渭南師范學院數學與統計學院，陜西 渭南 714099）

1909年，WEYL［1］發現Hilbert 空間中自伴算子的Weyl 譜等于該算子的譜集去掉有限重的孤立特征值，該結論被稱作Weyl 定理。之后，出現了許多Weyl 定理的變形和推廣，如定義了a-Browder 定理及(R1) 性質等［2-9］；(R1) 性質是Weyl 定理的變形［10-13］。本文將討論有界線性算子的a-Browder 定理與(R1)性質之間的關系，給出并討論有界線性算子滿足a-Browder 定理且具有(R1)性質的條件。作為應用，給出一類重要算子及其函數滿足a-Browder 定理且具有(R1)性質的判別定理。

1 預備知識

文中，H表示無限維復可分的Hilbert 空間，B(H)為H上有界線性算子的全體。若T∈B(H)，N(T)和R(T)分別表示T的零空間和值域，則可用T的零空間N(T)的維數n(T)和R(T)的余維數d(T)的有限性定義半Fredholm 算子：若n(T)<∞且R(T)為閉集，則稱T為上半Fredholm 算子。若T為上半Fredholm 算子且n(T)=0，則稱T為下有界算子。若d(T)<∞，則稱T為下半Fredholm 算子。若n(T)<∞且d(T)<∞，則稱T為Fredholm算子。當算子T為半Fredholm 算子（上半Fredholm算子或下半Fredholm 算子）時，其指標定義為ind(T)=n(T)?d(T)。若ind(T)=0，則稱T為Weyl算子。算子T的升標asc(T) 為滿足N(Tn)=N(Tn+1)的最小非負整數，當這樣的整數不存在時，記asc(T)=+∞；算子T的降標des(T)為滿足R(Tn)=R(Tn+1)的最小非負整數，當這樣的整數不存在時，記des(T)=+∞。若asc(T)<∞且des(T)<∞，則可證明asc(T)=des(T)。若算子T有有限的升降標，則稱T為Drazin 可逆算子。若算子T為有有限升標和有限降標的Fredholm 算子，則稱T為Browder 算子。可證明T為Browder 算子當且僅當T為半Fredholm 算子，且當λ充分小時，T?λI可逆。用σ(T)表示算子T∈B(H)的譜集，通過上述敘述，算子T的逼近點譜σa(T)、上半Fredholm譜σSF+(T)、Browder譜σb(T) 可分別定義為：

其中，C 表示復數域。分別記σ(T)，σa(T)，和σb(T)的余集為ρ(T)=Cσ(T)，ρa(T)=Cσa(T)，ρb(T)=Cσb(T)，ρSF+(T)=CσSF+(T)。ρSF(T)表示算子T的半Fredholm 預解集，ρSF(T)={λ∈C：T?λI為半Fredholm算子}。令ρea(T)={λ∈C：T?λI為上半Fredholm 算子且 ind(T?λI)≤0}，ρab(T)={λ∈C：T?λI為上半Fredholm算子且asc(T?λI)有限}，則σea(T)=Cρea(T)和σab(T)=Cρab(T)分別表示算子T的本質逼近點譜和Browder 本質逼近點譜。

算子值域的閉性及算子的Kato 性質在算子理論中具有重要作用，設ρk(T)={λ∈C：N(T?R((T?λI)n)}，其余集σk(T)=Cρk(T)稱為算子T的Kato 譜。記σc(T)={λ∈C：R(T?λI)不閉}，令ρc(T)=Cσc(T)。另，記σ0(T)為由算子T的所有正規特征值組成的集合，即σ0(T)=σ(T)σb(T)。若集合E為復數集C的子集，則isoE，accE，?E和intE分別表示集合E的孤立點的全體、聚點的全體、邊界點的全體及內點的全體。

2 有界線性算子的a-Browder 定理及(R1)性質

注1（1）算子具有(R1)性質，并不能推出其滿足a-Browder 定理。

例1設A，B∈B(?2)，定義

可見，算子T既不滿足a-Browder 定理，又不具有(R1)性質。

（4）當算子T滿足a-Browder 定理且具有(R1)性質時，ρea(T)=ρa(T)∪ρb(T)。

由注1，知a-Browder 定理和(R1)性質在形式上較相似，但并無必然聯系。下面討論算子T滿足a-Browder 定理且具有(R1)性質的充要條件。

定理1設T∈B(H)，T滿足a-Browder定理且具有(R1)性質等價于σb(T)=σea(T)∪[ρa(T)∩σ(T)]。

推論2設T∈B(H)，則下列敘述等價：

（1）T滿足a-Browder 定理且具有(R1)性質；

由于算子的本質逼近點譜σea(?)不滿足譜映射定理，所以對任意多項式p，p(σea(T))=σea(p(T))當且僅當對任意的λ，μ∈(T)，ind(T?λI)ind(T?μI)≥0［15］。由定理1，可得：

推論3設算子T∈B(H)，則下列敘述等價：

（1）σb(T)=σea(T)；

（2）σ(T)=σa(T)，T滿足a-Browder 定理且具有(R1)性質；

（3）σb(T)=σea(T)，對任意多項式p，p(T)均滿足a-Browder 定理且具有(R1)性質。

證明由定理1，知（1）?（2）成立。

（1）?（3）。假設（1）成立，則對任意的λ∈(T)，有ind(T?λI)≥0。事實上，若存在λ0∈(T)，使得ind(T?λ0I)<0，即λ0?σea(T)，λ0?σb(T)，從而ind(T?λ0I)=0，矛盾。此時σea(?) 滿足譜映射定理，即對任意多項式p，有p(σea(T))=σea(p(T))。由于Browder譜σb(?)滿足譜映射定理，所以對任意多項式p，有

σb(p(T))=p(σb(T))=p(σea(T))=σea(p(T))。由定理1，知p(T)滿足a-Browder 定理且具有(R1)性質。

（1）?（2）?（3）得證！

繼續討論算子函數滿足a-Browder 定理且具有(R1)性質的條件。

注3（1）當T滿足a-Browder 定理且具有(R1)性質時，并不能推出T的算子函數滿足a-Browder定理且具有(R1)性質。

例5設A，B，C∈B(?2)，定義

（2）若存在多項式p，使得p(T)滿足a-Browder定理且具有(R1)性質，并不能推出算子T滿足a-Browder 定理且具有(R1)性質。

由注3 可知，T滿足a-Browder定理且具有(R1)性質并不等價于T的所有算子函數滿足a-Browder定理且具有(R1)性質。

令(T)={λ∈C：T?λI為半Fredholm 算子且ind(T?λI)<0}。

定理2設T∈B(H)，則對任意多項式p，p(T)滿足a-Browder 定理且具有(R1)性質當且僅當

實際上，定理2（2）等價于對任意的λ，μ∈(T)，有ind(T?λI)ind(T?μI)≥0，于是有：

推論4設T∈B(H)，則對任意多項式p，p(T)滿足a-Browder 定理且具有(R1)性質等價于：

（1）T滿足a-Browder 定理且具有(R1)性質；（2）對任意的λ，μ∈(T)，有ind(T?λI)ind(T?μI)≥0；

（3）若σ0(T)≠?，則σb(T)=σea(T)。

對算子T∈B(H)，若σb(T)=σea(T)或σa(T)=σea(T)，則算子T滿足a-Browder 定理且具有(R1)性質。

推論5設T∈B(H)，則對任意多項式p，p(T)滿足a-Browder 定理且具有(R1)性質等價于：

定義1［16］若x∈H，則稱T∈B(H)為?-paranormal 算子；若對任意的λ∈C，T?λI均為 ?-paranormal算子，則稱T∈B(H)為完全?-paranormal 算子。

當T為完全?-paranormal 算子時，對任意的λ∈C，T?λI有有限升標，有：

（1）σea(T)=σab(T)，即T滿足a-Browder 定理；

（2）對任意的λ∈(T)，有ind(T?λI)≤0；

（3）對任意多項式p，p(T)滿足a-Browder 定理。

推論6設T∈B(H)為完全?-paranormal 算子，則對任意多項式p，p(T)具有(R1)性質等價于：

（1）T具有(R1)性質；

（2）若σ0(T)≠?，則σb(T)=σea(T)?σb(T)=σea(T)或σa(T)=σea(T)。

當T?為完全?-paranormal 算子時（T*為T的共軛算子），σb(T)=σea(T)。

推論7設T∈B(H)，若T?為完全?-paranormal算子，則對任意多項式p，p(T)滿足a-Browder 定理且具有(R1)性質。