格林函數(shù)變號時二階離散周期邊值問題正解的存在性

胡文豐，王晶晶

（1.寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部，浙江 寧波 315800；2.西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

0 引言

周期邊值問題古老又富有生命力，近年來，二階周期邊值問題正解的存在性研究取得了豐碩的成果［1-10］。ATICI等［1］利用錐上的不動點定理研究了二階離散周期邊值問題

解的存在性，其中p(n)>0，q(n)>0且f：[1，N]Z×[0，+∞)→[0，+∞)關(guān)于第2個變量連續(xù)，[1，N]Z={1，2，…，N}。ATICI等［2］運用上下解方法研究了當p(n)≡1 時的二階離散周期邊值問題

解的存在性，其中q：[1，N]Z→(?∞，0]滿足q(?)≠0，f：[1，N]Z×R →R。王麗穎等［3］和李曉月等［4］運用錐上的不動點定理研究了式（1）和式（2）正解的存在性和多解性。MA等［5］運用錐上的不動點定理證明了二階離散周期邊值問題

正解的存在性，其中q：[1，N]Z→(0，∞)。蔣玲芳［6］運用錐上不動點定理研究了二階離散周期邊值問題

正解的存在性和多解性。

值得注意的是，以上文獻在研究周期問題時格林函數(shù)G(t，s)均嚴格為正，保證了相應(yīng)的分算子為正，即可以構(gòu)造一個非負錐，運用錐上的不動點定理證明其正解的存在性。一個有趣的問題是，G(t，s)變號后式（3）是否仍存在正解？

當G(t，s)定號、有零點或變號時，有關(guān)連續(xù)的二階周期邊值問題正解的存在性已有不少重要結(jié)果［7-10］，但至今未見當G(t，s)變號時離散的二階周期問題式（3）正解的存在性報道。受文獻［3-10］的啟發(fā)，本文討論邊值問題

本文將通過討論G(t，s)變號后的性質(zhì)，構(gòu)造一個新錐，結(jié)合錐上的不動點指數(shù)理論獲得式（5）正解的存在性結(jié)論，同時給出式（5）正解不存在性的結(jié)果。

1 預(yù)備知識

當θ1=0時，λ1=k2為式（12）的主特征值且相應(yīng)的特征函數(shù)為?(t)≡1>0。

本文用到的主要引理：

引理1［11］令E為Banach空間，K?E為E中的一個閉凸錐。L：K→K為一個全連續(xù)算子，i(L，Kr，K)表示算子L的不動點指數(shù)。

（i）如果對于任意的u∈?Kr有μLu≠u，那么i(L，Kr，K)=1；

（ii）如果對于任意的u∈?Kr有且μLu≠u，μ≥1，那么i(L，Kr，K)=0。

2 存在性結(jié)果

給出當λb(t)≡1時，式（5）正解的存在性。

假設(shè)非線性項f滿足：

且假設(shè)f0，f∞∈[0，∞]。

定理1假設(shè)（H1）～（H3）成立，另假設(shè)當γ=+∞時，f0>k2，f∞

定義算子L：K→E

不難驗證u∈K是算子L的一個不動點當且僅當u為式（5）的1個正解。

引理2假設(shè)（H1）～（H3）成立，則L(K)?K，且L：E→E全連續(xù)。

證明對任意的u∈K，當γ=+∞時，G(t，s)>0，從而Lu(t)≥0，t∈[0，n+1]Z。

當γ<+∞時，

且對任意的t∈[1，n]Z，有

3 不存在性結(jié)果

考慮帶參數(shù)的二階離散周期邊值問題

由式（23），可得

利用式（21）、式（25）和定理2的條件，可得

故當λ充分小時，u λ(t)<0，即式（19）不存在正解。

定理3假設(shè)（H5）成立，若f：R+→R 連續(xù)且為凸函數(shù)，滿足

則對充分大的λ>0，式（19）不存在正解。

證明反設(shè){(μn，un)}是式（19）的一列正解序列且滿足

這與式（26）矛盾，即當λ充分大時，式（19）不存在正解。

例2討論二階離散周期邊值問題

正解的存在性，其中f(u)=eu。

顯見，f為[0，∞)上的凸函數(shù)且滿足

故定理3的條件均成立。由定理3，對于充分大的λ，式（27）不存在正解。