一般旋轉曲面方程研究

丁尚文

（合肥工業大學宣城校區基礎部，安徽宣城 242000）

0 引言

旋轉曲面方程及其性質是高等數學教學的重要內容。高等數學教材給出了平面曲線繞平面內定直線旋轉一周所成的旋轉曲面的定義及方程［1］，主要給出的是旋轉軸與坐標軸重合條件下的一類旋轉曲面方程［1-2］。2013 年全國碩士研究生入學統一考試（數學一）試卷中出現旋轉軸與坐標軸不重合條件下旋轉曲面求解試題。對于空間曲線繞任意定直線旋轉所成的旋轉曲面方程，文獻［3］將旋轉曲面想象成由空間曲線上的動點圍繞定直線旋轉一周所成的一系列平行圓堆疊而成，并將平行圓方程和曲線方程聯立推導出旋轉曲面方程。文獻［4］聯立平行圓方程和空間曲線方程，并借助多項式理想的Groebner基理論方法對旋轉曲面方程組進行去參數化處理［5］，得到旋轉曲面方程。本文以坐標平面上曲線繞坐標軸旋轉所成的旋轉曲面方程為基礎，通過尋找2個坐標系之間的姿態和相對位置，利用方向角和轉軸公式推導空間曲線繞定直線旋轉所成的一般旋轉曲面方程。

高等數學教材關于旋轉曲面的定義及方程的敘述：

定義1［1-2］平面上曲線C繞該平面上一條定直線L旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。

結論1［1-2］若旋轉曲面Σ是由yoz坐標面上的曲線C：f(y，z)=0繞z軸旋轉一周所成（如圖1 所示），則該旋轉曲面Σ的方程為f(±，z)=0。

圖1 平面曲線C繞z 軸旋轉Fig.1 Plane curve C revolves around z axis

1 主要結果及其推導

稱空間曲線繞定直線旋轉一周所成的曲面為旋轉曲面，拓展了旋轉曲面的概念。首先討論空間曲線與定直線共面條件下，空間曲線繞定直線旋轉一周所成的旋轉曲面方程的求解問題（簡稱問題1），然后討論更具一般性的旋轉曲面方程求解問題（分別簡稱問題2 和問題3）。

引理1［6］設坐標系o?xyz和o?x′y′z′為具有相同坐標原點的2 組直角坐標系（符合右手坐標系規則），又ox′軸、oy′軸和oz′軸在坐標系o?xyz下的方向角分別為α1，β1，γ1；α2，β2，γ2；α3，β3，γ3，設空間一點p在坐標系o?xyz和o?x′y′z′下的坐標分別為(x，y，z)和(x′，y′，z′)，則2組坐標之間的關系為

稱式（1）和式（2）為坐標變換，簡稱轉軸公式。

問題1已知空間曲線Γ由平面π：Ax+By+Cz+D=0和空間曲面Σ0：f(x，y，z)=0相交而成，空間直線L的方程為，且L在平面π 上。設旋轉曲面Σ由曲線Γ繞定直線L旋轉一周而成，求旋轉曲面Σ的方程。

解在直線L上任取一點作為新坐標系的坐標原點o′，且設點o′在坐標系o?xyz下的坐標為(x0，y0，z0)。在平面π 上過點o′作垂直于L的垂線，并將該垂線選為y′軸。x′軸、y′軸與z′軸符合右手坐標系規則，坐標系位置如圖2 所示。為方便敘述，將文中新坐標系簡記為o′?x′y′z′，原坐標系記為o?xyz。分別在x′軸、y′軸和z′軸正方向各取一點p1，p2和p3，且有o′p1∥x′軸，o′p2∥y′軸，o′p3∥z′軸，其中，∥表示平行或共線。分別對向量o′p1，o′p2和o′p3單位化，得到單位向量：

圖2 空間曲線Γ繞z′軸旋轉Fig.2 Space curve Γ revolves around z′axis

由方向角和方向余弦的定義，知α1，β1，γ1；α2，β2，γ2和α3，β3，γ3分別為x′軸、y′軸、z′軸在坐標系o?xyz下的方向角。由引理1可得對應的轉軸公式為

將式（3）分別代入平面方程π：Ax+By+Cz+D=0 和空間曲面方程Σ0：f(x，y，z)=0，聯立兩方程并消去x′，可得空間曲線Γ在坐標系y′o′z′下的曲線方程，簡記為g(y′，z′)=0。旋轉曲面Σ可由曲線Γ繞與z′軸重合的直線L旋轉一周而成。由結論1，可知該旋轉曲面方程為

解若空間曲線Γ與空間直線L共面，則可采用問題1 方法求解旋轉曲面Σ的方程。若空間曲線Γ與空間直線L不共面，則按照以下方法求解。

建立新坐標系o′?x′y′z′：在空間直線L上任取一點作為新坐標系的原點o′，設o′在坐標系o?xyz下的坐標為(x0，y0，z0)。選取直線L為z′軸，并將過坐標原點o′與該直線L垂直的直線選為y′軸，x′軸、y′軸與z′軸符合右手坐標系規則（圖3）。在x′軸、y′軸和z′軸正方向各取一點p1，p2和p3，得到與坐標軸共線的3個向量o′p1、o′p2和o′p3。對向量o′p1、o′p2和o′p3單位化，得到

圖3 空間曲線Γ繞z′軸旋轉Fig.3 Space curve Γ revolves around z′axis

由方向角和方向余弦的定義，知α1，β1，γ1；α2，β2，γ2和α3，β3，γ3分別為x′軸，y′軸，z′軸在o?xyz系下的方向角。由式（4），可得到空間曲線Γ在坐標系o′?x′y′z′下的參數方程

對參數t0，θ消元，可得到一般旋轉曲面方程H(x′，y′，z′)=0。再由式（4），得到在坐標系o?xyz下旋轉曲面Σ的方程

2 應用舉例

解由題中條件，可知空間直線L和空間曲線Γ在平面π：x?2y+2z+2=0 上。選取在空間直線L上的點p0(0，1，0)為新坐標系下的坐標原點o′。z′軸與空間直線L重合，在平面π上過點p0(0，1，0)作垂直于直線L的垂線，并將該垂線取作y′軸；x′軸、y′軸與z′軸相互垂直，符合右手坐標系規則，見圖4。

圖4 空間曲線Γ繞z′軸旋轉Fig.4 Space curve Γ revolves around z′axis

消去參數t和θ，得到一般方程

由式（12），則可得旋轉曲面Σ在坐標系o?xyz下的一般方程

解以o′(1，0，0)為新坐標系下的原點，將直線L選為z′軸，采用與問題2相同的方法建立坐標系。坐標系o′?x′y′z′的位置見圖5，將原坐標系記為o?xyz。分別在x′軸、y′軸和z′軸正方向各取一點p1，p2和p3，點p1，p2，p3的坐標和向量o′p1，o′p2，o′p3的求解與例1類似，得到p1(1，1，0)，p2(0，0，1)，p3(2，0，1)，o′p1={0，1，0}，o′p2={?1，0，1}，o′p3={1，0，1}。分別將向量o′p1，o′p2，o′p3單位化，得到與x′軸、y′軸和z′軸同向的由方向余弦組成的單位向量{0，1，0}，。設點p在坐標系o?xyz和o′?x′y′z′下的坐標分別為(x，y，z)和(x′，y′，z′)，它們之間的關系可由式（3）和式（4）得到，分別為：

圖5 空間曲線Γ繞z′軸旋轉Fig.5 Space curve Γ revolves around z′axis

將式（18）代入式（20），得到在坐標系o?xyz下的旋轉曲面Σ方程

3 結論

討論了空間曲線Γ與定直線L共面和不共面條件下，空間曲線Γ繞定直線L旋轉一周所成的旋轉曲面方程的求解方法。利用向量的方向角尋找2個坐標系之間的姿態是求解一般旋轉曲面方程的新教學工具。本研究是對旋轉曲面方程教學內容的有益補充。