基于Simulink 的水箱加熱過程模擬與分析

謝天

（廣東省建筑設計研究院有限公司，廣東 廣州 510010）

0 引言

水箱是空調系統中的常用設備，根據功能可以將其分為膨脹水箱、緩沖水箱和蓄能水箱。空調系統中的水箱通常同時負責多種功能，水箱的設計過程往往需要綜合考慮定壓補水、提高系統水量和穩定出水溫度等多種要求。在采暖季，通常需要在水箱內部設置加熱器以穩定出水溫度，加熱器以及溫度傳感器的放置位置會影響水箱出水溫度的波動偏差。因此，本文利用Simulink 模擬分析方法，考慮加熱器和傳感器的實際響應時間，以探究水箱內部加熱器和溫度傳感器的最佳放置位置。

1 模型描述及簡化

本文主要探討的問題是在只通過加熱器的啟停控制（on/off）來保證水箱出水溫度的相對穩定時，加熱器及溫度傳感器的最佳放置位置。模擬水箱加熱過程需要先建立水箱模型，本文以長為0.25m，寬為0.25m，高為0.5m 的水箱作為模型，水箱材料假設為鋁。水箱進水和出水流量平衡為2kg/s，水箱進水溫度為tin=20℃，水箱出水口溫度設置為tset=60℃，溫度傳感器的回差為Δt=1℃；水箱懸空，底部距離地板0.5m；空氣溫度t0=20℃。

加熱器加熱過程水箱的水溫為非均勻分布，加熱器附近的水溫較高，通過導熱和對流作用逐漸加熱其他水體。由于實際加熱過程的水溫在三維空間上為非均勻分布，直接對其加熱過程進行模擬會導致模型過于復雜，計算速度慢。本文假定水箱中的水體在相同高度上溫度相同，將三維問題簡化成二維問題。由于水箱中相近高度的水溫幾乎相同，為了減少計算量，本文采用水層高度相近且水溫相近的水體，并采用水層的平均溫度作為水層的水溫。基于前文水箱模型的高度數據，本文將水箱分為5 層，認為每層水體的水溫相同。簡化后的水箱模型如圖1 所示。

圖1 模型

在只通過控制加熱器的on/off 來保證出水口處水溫較恒定時，影響該模型的主要因素有以下三點：加熱器的時間常數；溫度傳感器的時間常數以及加熱器的加熱量。

2 模型求解

2.1 傳熱系數的求解

2.1.1 水箱與空氣之間的傳熱系數

本模型中假設水箱壁溫與水溫相等，故不同水層所對應的壁溫不同。由傳熱學知識可得，水箱壁與空氣之間進行自然對流傳熱，故采用自然對流傳熱準則關聯式[1]，如式（1）、式（2）所示。

式中：Ra——瑞利準則[2]，Ra=Gr·Pr；Gr——格拉曉夫準則[3]；α——體積膨脹系數，1/K；ν——運動粘度，m2/s；l——定型尺寸，m；Δt——壁溫與空氣溫度之差，℃；C、n——由實驗確定的常數，各式的定性溫度為tm=（t1+t0）/2。各種條件下的C、n 取值參考文獻[4]內相關數值。

經過分析，水箱側面應該按豎平壁的對流換熱條件計算，水箱下側壁面按熱面朝下的水平壁的對流換熱條件計算，水箱上側表面按熱面朝上的水平壁的對流換熱條件計算。由于水箱中各水層的水溫不是恒定，故取dτ 時間內進行分析，認為短暫時間內各水層的水溫是恒定的，故第一層水層與空氣接觸面包含下側壁面與側面，對流換熱系數的計算如式（3）～式（5）所示。

其中：U1——第一層水層與空氣的對流換熱系數，W/K；U1x——第一層水層下側面與空氣的對流換熱系數，W/K；U1c——第一層水層側面與空氣的對流換熱系數，W/K；Nu1x——下壁面的努謝爾特準則數；Nu1c——側壁面的努謝爾特準則數，其中的定性溫度是個變量，通過simulink 即時更換壁面溫度計算而得；λ1x、λ1c——定性溫度下的空氣導熱系數，W/（m·K）。同理，由上述分析可知，第二至第四水層只有側面與空氣進行對流換熱，對流換熱系數的計算如式（6）所示。

其中：j——第j 層水層。

第5 層水層與空氣進行熱交換的壁面包含側壁和上壁，故其與空氣的換熱系數如式（7）～式（9）所示。

其中：s——水箱上壁面。

以上水箱與空氣的對流換熱系數計算可通過Simulink 搭建模型實現，并根據傳熱學知識得到C、n 值進而可以計算出各水層各壁面的努謝爾特準則數，從而求得各個時刻的水箱各部分與空氣的對流換熱系數。

2.1.2 水層之間的換熱系數

由于兩層水間的傳熱系數與兩層水間的自然對流狀況有關，當上層水溫較高時，認為兩層水層之間只進行簡單熱傳導，由傅里葉導熱方程計算式（10）[4]。

其中：φj——第j 層與第j+1 層水層間的導熱量，W；λj——第j 層水層的導熱系數，W/（m·K），由定性溫度tmj=（tj+tj+1）/2 確定；δj——第j 層水層的厚度，m；Mj=λj/δj——第j 層與第j+1 層水層間的換熱系數，W/K。

當下層水溫較高時，兩層水層之間進行較為強烈的熱交換，水層之間的換熱系數按式（11）計算。

其中：Δt——水層間溫差，℃，即Δt=|tj-tj+1|。

2.1.3 加熱器與所在水層之間的換熱系數

本模型加熱器簡化為長Lh=20cm，直徑dh=2cm 的四根并排鐵棍，置于某被加熱水層的中間。查閱資料可得：鐵的密度為7272kg/m3，鐵的比熱容為420J/（kg·K）。故加熱器熱容Ch按式（12）計算。

其中：mh=ρhVh是加熱器是質量，kg。

由于電加熱器工作時，熱量在電加熱器上釋放，使其本身溫度升高，然后依靠加熱器與水間的溫差把熱量傳給水，這導致加熱器與水在獲取熱量上的不同步。加熱器傳熱過程方程如式（13）所示。

其中：Q——傳熱器的工作功率，W；Uh-w——加熱器與水間的換熱系數，W/K；tj——加熱器所在水層的水溫，℃。

由式（13）可得到加熱器的時間常數Th=Ch/Uh-w。該參數可通過對加熱器進行實驗測得，在本模型中，加熱器的時間常數假定已知，故可以求得加熱器與水之間的傳熱系數。

2.1.4 溫度傳感器的傳熱系數

溫度傳感器是通過與水箱中的水進行熱交換而感知水的溫度，故傳熱器與水之間的傳熱方程如式（14）所示[5]。

其中：Cs——傳感器的熱容，J/k；Us——傳感器與水之間的換熱系數，W/K。定義傳感器的時間常數為：Ts=Cs/Us，可通過實驗測得使用的傳感器時間常數，在本模型中直接給定傳感器的時間常數。

2.2 模型涉及的方程

每個水層可能設涉及的傳熱對象有：與空氣的換熱；與上下水層之間的換熱；與加熱器的換熱器過程；水層之間的水流動產生的換熱；與傳感器之間的換熱，由于傳感器的換熱量較少，本模型中忽略水層與傳感器的換熱。對上述換熱過程進行分析，可得第j 水層的傳熱方程如式（15）所示。

其中：hj——加熱器的安裝標志，當j 層安裝有加熱器時，hj=1，否則，hj=0；Mj-1——第j 層水層與第j-1 層水層之間的換熱系數，W/K；Mj——第j+1 層水層與第j 層水層之間的換熱系數，W/K。

2.3 模型的求解

通過上述分析，可發現本模型中，傳感器和加熱器都分別可以設置于五個水層，故會產生25 種實際模型。以下以其中一個實際模型為例，進行求解。設該模型的加熱器設置在第一層，傳感器設置在第五水層，模型中所涉及的傳熱方程如式（16）所示。

對上述式子進行拉普拉斯變換[6]后，可在Simulink中建立上述模型的閉環傳遞函數。同理，可得其余24種水箱模型在simulink 中的閉環傳遞函數。由于本模型主要研究的問題是傳感器和加熱器放置在何種位置時，出水口水溫的控制效果最好，從前文的分析可知，影響出控制效果的因素可能有傳感器和加熱器的時間常數以及加熱器的加熱功率，故本模型運用Simulink模擬，找出不同時間常數和加熱功率下產生最好控制效果時，傳感器和加熱器的放置位置。本模型分別設置加熱器時間常數Th=5s、10s、30s；加熱器功率Q=2000W、3000W、3500W；傳感器時間常數Ts=2s、10s、100s。

3 計算結果與分析

通過Simulink 對模型進行仿真，發現當傳感器置于加熱器所在水層之下時，加熱器底部水層溫度較低，上層水溫較高，水層之間的傳熱系數很低，導致底層水溫無法達到加熱器停止加熱的溫度，故加熱器一直處于開啟狀態，此時的出水口處水溫遠遠偏離設定值，故不可以將傳感器放于加熱器所在水層之下。

對傳感器放于加熱器水層之上的所有情況進行仿真后發現，傳感器所在水層越接近加熱器所在水層則出口處的水溫波動越小。但也會導致加熱器的啟停周期越小，綜合考慮后取傳感器在加熱器上一層水層中為較優放置位置，能在保證出水口溫度波動較為穩定的同時減小加熱器的啟停頻率。

將所有傳感器位于加熱器上一層水層的仿真結果進行對比后發現，改變加熱器的時間常數和加熱量，或者改變傳感器的時間常數，都是加熱器在第一水層，傳感器在第二水層時，出水口水溫的波動最小；在Th、Q、Ts不變時，只要加熱器和傳感器的相對位置不變，則不論加熱器和傳感器的具體位置如何變化，出水口處的水溫波動周期近似相等，即在加熱器和傳感器相對位置不變時，加熱器的啟停頻率與加熱器的具體位置放置水層無關。

4 結語

通過Simulink 對水箱中加熱器的加熱功率、加熱器和溫度傳感器的放置位置以及時間常數的多種組合進行模擬分析，結果表明，加熱器放置在溫度傳感器的上一水層時，水箱的出水溫度最穩定；當加熱器與溫度傳感器的相對位置不發生變化時，水箱的出水溫度波動周期相似，但加熱器放置在出水口相同水層時，水箱出水溫度的波動范圍最小。因此，當認為水箱水溫不均勻時，要只通過加熱器的on/off 控制來保證出水口處水溫較恒定，加熱器最好設置在水箱出水口相同水層，溫度傳感器則設置在加熱器下一水層。