基于Copula函數(shù)的青藏鐵路多年凍土區(qū)路基變形相關(guān)性分析

李 林

（中鐵十二局集團(tuán)鐵路養(yǎng)護(hù)工程有限公司，拉薩 250014）

青藏高原海拔平均4 000 m 以上，大部分屬于高海拔區(qū)域，年平均氣溫低至-3 ℃～-7 ℃，導(dǎo)致了多年凍土的形成與保存。青藏鐵路全線穿過長達(dá)632 km 的多年凍土區(qū)，其中包括102 km 的融區(qū)［1］。鐵路路基左、右兩側(cè)變形的較大差異會(huì)導(dǎo)致路基傾斜、滑坡、坍塌和側(cè)向熱侵蝕等嚴(yán)重的工程問題，不僅影響乘客舒適度，嚴(yán)重時(shí)還會(huì)威脅行車安全，增加后期維修成本。因此，研究路基兩側(cè)變形的相關(guān)性以及主導(dǎo)變形的方位對鐵路養(yǎng)護(hù)部門進(jìn)行路基維修與治理有極其重要的意義。

目前，國內(nèi)外已有多種指標(biāo)可用來刻畫兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)程度，但都有一定局限性［2-3］。而Copula作為一種靈活且穩(wěn)健的統(tǒng)計(jì)工具，得到了廣泛的應(yīng)用。唐家銀等［4］敘述到可通過Copula 產(chǎn)生多種相關(guān)性量化指標(biāo)進(jìn)行相關(guān)結(jié)構(gòu)屬性的初判，且具有對分析對象的邊緣分布無要求、數(shù)學(xué)處理方便等許多獨(dú)特優(yōu)勢。Li 等［5］提出一種Copula 增強(qiáng)卷積技術(shù)，解決了交叉變量的相關(guān)性；XU 等［6］建立了以混合Copula 函數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析的數(shù)學(xué)模型，解決風(fēng)能與PV 功率輸出最佳容量分配方案。除了相關(guān)性上的應(yīng)用，Chen等［7］以Copula 函數(shù)為基礎(chǔ)，構(gòu)造了以殘差最小為目標(biāo)的優(yōu)化模型，得到了退化相關(guān)可靠性模型；Zhao 等［8］利用Copula 函數(shù)將邊際故障分布綁定以求得子系統(tǒng)聯(lián)合分布；牛富俊等［9］基于實(shí)際觀測數(shù)據(jù)分析了過渡段沉降變形的相關(guān)因素并求出了相關(guān)系數(shù)；徐東升［10］以有限元軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，對凍土區(qū)路基的融沉進(jìn)行了可靠性分析；袁莉芬等［11］基于Copula 函數(shù)針對光纖陀螺可靠性評(píng)估中的多性能退化量間的相關(guān)性，研究了光纖陀螺貯存可靠性評(píng)估方法。目前，國內(nèi)外針對多年凍土區(qū)鐵路觀測站點(diǎn)觀測的數(shù)據(jù)對路基兩側(cè)變形相關(guān)性的研究較少，基于Copula 函數(shù)對多年凍土區(qū)路基兩側(cè)變形進(jìn)行相關(guān)性研究的文獻(xiàn)就更為鮮見。

本文以相關(guān)性數(shù)據(jù)分析的統(tǒng)計(jì)工具——Copula相關(guān)性理論為基礎(chǔ)，結(jié)合過去10年測得的凍土區(qū)路基特征的真實(shí)數(shù)據(jù)，擬合性選擇多年凍土區(qū)路基兩側(cè)變形相關(guān)性結(jié)構(gòu)的最優(yōu)Copula，從而進(jìn)行其相關(guān)性分析，并在線性回歸效應(yīng)下實(shí)現(xiàn)路基兩側(cè)變形主導(dǎo)判定。研究成果可為保護(hù)凍土路基以及鐵路養(yǎng)護(hù)部門及時(shí)采取保護(hù)措施、維修與治理提供理論依據(jù)，還可用于路基變形的可靠性分析和預(yù)測。

1 路基兩側(cè)變形相關(guān)性分析的Copula理論基礎(chǔ)

定義1［12-13］：二維Copula 是一個(gè)函數(shù)C：I2=［0，1］2→I=［0，1］且 滿 足C（u，0）C（0，v）=0，C（u，1）=u，C（1,v）=v，當(dāng)≤u1≤u2≤1、A≤v1≤v2≤1 的存在

定義1 實(shí)質(zhì)上是強(qiáng)調(diào)對任意u，v∈［0，1］，二維Copula 函數(shù)C（u，v）均保持非減的性質(zhì)。

定理1（Sklar 定理）：令（X，Y）是待考察隨機(jī)變量，其邊緣分布函數(shù)分別是F（x）、G（y），那么存在著唯一的二維Copula CXY（u，v），使得對任意（x，y）∈R2有:

定理1 使用二維Copula 函數(shù)考慮了隨機(jī)變量（x，y）的相關(guān)性，不僅克服傳統(tǒng)意義上各隨機(jī)變量相互獨(dú)立的限制條件，而且為二維隨機(jī)變量（X，Y）相關(guān)分析提供了框架基礎(chǔ)。

二維Copula 函數(shù)還可被看作是服從［0，1］上均勻分布的變量的聯(lián)合分布函數(shù)，當(dāng)二維Copula 函數(shù)絕對連續(xù)時(shí)，存在密度函數(shù)C（u，v），由定理1 知（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為：

式中：f（x），g（y）——分別表示兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y的邊緣密度函數(shù)，實(shí)質(zhì)上Copula 函數(shù)能夠把隨機(jī)變量邊緣分布進(jìn)行組合研究，這種思路在青藏鐵路多年凍土區(qū)路基變形的探究中起到重要作用。

Copula 函數(shù)由生成函數(shù)決定，在研究中使用最多的 Copula 函數(shù)主要有橢圓 Copula 函數(shù)族和阿基米德Copula 函數(shù)族，幾種經(jīng)典Copula函數(shù)特征如表1所示。

表1 經(jīng)典Copula 函數(shù)特征表

2 路基兩側(cè)變形的相關(guān)性主導(dǎo)統(tǒng)計(jì)分析

2.1 基于Copula函數(shù)的路基兩側(cè)變形相關(guān)性統(tǒng)計(jì)分析處理算法

（1）選取各不同路基類型的觀測站點(diǎn)，對數(shù)據(jù)組利用箱線圖原理，即對N 組數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行異常值檢驗(yàn)（xi，yi）過高或過低，利用異常值檢驗(yàn)結(jié)果給出不同路基類型觀測站點(diǎn)左、右路基異常值點(diǎn)情況表，并用邊界值代替異常值。

（2）計(jì)算各不同觀測站點(diǎn)數(shù)據(jù)的Spearman 相關(guān)系數(shù)［15］，根據(jù)正負(fù)性初步判斷不同路基類型的路基兩側(cè)高度變形的相關(guān)性。

（3）根據(jù)邊緣樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）擬合出邊緣分布的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)、，分別定義并做出這兩個(gè)變量經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的散點(diǎn)圖，初步判斷觀測站點(diǎn)左右兩側(cè)的樣本數(shù)據(jù)服從的分布函數(shù)并檢驗(yàn)。

（4）由（1）中的變量X 和Y 的正（負(fù)）相關(guān)性，根據(jù)表2選擇正（負(fù)）屬性的備選Copula 族cb，b=1，2，…。

表2 相關(guān)屬性對應(yīng)備選Copula 模型表

（5）采用極大似然估計(jì)法得到備選Copula 族中cb的參數(shù)向量的估計(jì)值［16］。

（6）基于各個(gè)Cb（u，v，）隨機(jī)生成理論的聯(lián)合估計(jì)樣本（ui，vi），i=1，2，…n，并做出散點(diǎn)圖。

（7）基于最小二乘誤差的原理，計(jì)算出各個(gè)Copula模型下的偏差距離，為：

選擇偏差距離最小的Copula 函數(shù)C0=｛b|min（db（ui，vi），b=1，2，…｝作為變量X 和Y 的相關(guān)結(jié)構(gòu)。

（8）根據(jù)AIC 準(zhǔn)則，即在熵的概念上提供一種權(quán)衡估計(jì)模型復(fù)雜度和擬合數(shù)據(jù)優(yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)，備選模型中AIC 最小的為最佳模型，對Copula C0做擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。

2.2 路基兩側(cè)的變形主導(dǎo)統(tǒng)計(jì)分析

2.2.1 相關(guān)性變形主導(dǎo)變量判斷理論基礎(chǔ)

借助偏度系數(shù)實(shí)現(xiàn)主導(dǎo)方向的判定［17］：對于線性回歸方程Y=β0+β1X+ε，通過數(shù)學(xué)期望及三階中心矩處理：

式中：ρXY——x與y 之間Pearson 相關(guān)系數(shù)，|ρXY|≤1時(shí)，則可推斷出≤|γX|。

2.2.2 線性回歸特征下主導(dǎo)變量判定算法

（1）建立兩個(gè)隨機(jī)樣本X 和Y 的線性回歸方程，存在如下兩種形式：

（2）對建立的線性回歸方程，基于被解釋變量Y使用最小二乘估計(jì)出回歸參數(shù)、。

（3）采用t 統(tǒng)計(jì)量的方法對方程的回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。

（4）由樣本數(shù)據(jù)（xi，yi），i=1，2，…，n，估計(jì)出變量X 和Y 的樣本偏度系數(shù)為：

3 路基變形相關(guān)性分析及主導(dǎo)方向判定工程實(shí)踐

本文的現(xiàn)場數(shù)據(jù)檢測時(shí)間從2010年1月-2019年10月，跨度長達(dá)118 個(gè)月。選取路基類型為碎石護(hù)坡、片石護(hù)道的K 1 425+350 觀測點(diǎn)，路基類型為一般路基的K 1 447+750 觀測點(diǎn)，路基類型為一般路基、骨架護(hù)坡的K 1 449+750 觀測點(diǎn)和路基類型為一般路基、骨架護(hù)坡、碎石護(hù)坡、護(hù)道的K 1 568+800 觀測點(diǎn)，左右兩側(cè)路基高程變化數(shù)據(jù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表3所示。

表3 不同測點(diǎn)路基兩側(cè)高度變化（mm）

3.1 路基兩側(cè)變形相關(guān)性分析

（1）對各組數(shù)據(jù)進(jìn)行異常值檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果為僅有K 1 449+750 處的樣本數(shù)據(jù)存在異常值，其余3 組樣本均無異常值。K 1 449+750 處異常值位置如圖1所示。

圖1 K1449+750 異常值檢驗(yàn)圖

使用邊界值替代異常值后，分別計(jì)算4 組數(shù)據(jù)的Spearman 相關(guān)系數(shù)指標(biāo)，結(jié)果如表4所示。

表4 不同路基觀測站點(diǎn)兩側(cè)高度變化Spearman 相關(guān)系數(shù)表

由表4可知，不同路基類型兩側(cè)高度的變形呈正相關(guān)且相關(guān)性極高，Spearman 相關(guān)系數(shù)在0.8 以上，極其顯著，說明青藏鐵路運(yùn)行期間，多年凍土區(qū)路基兩側(cè)高度變形基本滿足一致性。

（2）分別做4 個(gè)觀測站點(diǎn)左右兩側(cè)的樣本數(shù)據(jù)概率密度函數(shù)估計(jì)圖，初步判斷兩側(cè)路基樣本數(shù)據(jù)服從的分布函數(shù)，結(jié)果如圖2所示：

圖2 4 組樣本數(shù)據(jù)的邊緣概率密度函數(shù)估計(jì)圖

由圖2可知，4 組樣本數(shù)據(jù)的邊緣概率密度函數(shù) 呈現(xiàn)集中性、對稱性和均勻變動(dòng)性，初步判斷凍土各類型路基兩側(cè)高度的變形情況服從正態(tài)分布。利用K-S 檢驗(yàn)法對其分布進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如表5所示。

表5 K-S 正態(tài)性檢驗(yàn)P 值結(jié)果表

由于K-S 檢驗(yàn)的P 值均大于0.05，故可認(rèn)為樣本邊緣分布為正態(tài)分布。

（3）4 組不同路基類型的左右兩側(cè)路基變形趨勢為正相關(guān)，由表2可知，即從正屬性的備選Copula 族中選擇左右兩側(cè)路基變形的最優(yōu)相關(guān)性結(jié)構(gòu)。

（4）依次對不同路基類型的數(shù)據(jù)組進(jìn)行2.1 節(jié)中的（4）～（6）步驟，擬合出最優(yōu)相關(guān)性結(jié)構(gòu)，做4 組樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)（，）其中的散點(diǎn)圖和基于最小偏差距離求得的Copula 函數(shù)生成的理論聯(lián)合估計(jì)隨機(jī)樣本（ui，vi）散點(diǎn)圖，如圖3所示。

圖3 根據(jù)最小偏差距離選出的最優(yōu)Copula 模型

（5）基于AIC 準(zhǔn)則對每個(gè)正屬性備選Copula 族中的Copula 函數(shù)進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，結(jié)果如表6所示。

表6 最優(yōu)相關(guān)結(jié)構(gòu)表

由表6可知，4 組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)結(jié)構(gòu)中t-Copula 對應(yīng)的AIC 值最小，即路基兩側(cè)變形的最優(yōu)相關(guān)結(jié)構(gòu)為t-Copula 函數(shù)，這說明多年凍土區(qū)路基兩側(cè)變形具有對稱性且上、下尾部相關(guān)性較強(qiáng)的特點(diǎn)；不同觀測站點(diǎn)本身的地理因素和外界影響有所差異，t-Copula 的參數(shù)估計(jì)不同，導(dǎo)致尾部相關(guān)系數(shù)有差異；整體而言，兩側(cè)路基的變化量尾部顯著相關(guān)。

3.2 路基兩側(cè)變形主導(dǎo)性統(tǒng)計(jì)分析

根據(jù)2.2.2 節(jié)中所述在線性回歸特征下判斷主導(dǎo)變量的算法步驟，首先令多年凍土區(qū)左側(cè)路基的高度變化量為解釋變量，右側(cè)路基的高度變化量為響應(yīng)變量，得到4 組樣本數(shù)據(jù)都滿足線性回歸方程，其回歸系數(shù)都顯著不為0，且F 統(tǒng)計(jì)量顯著?；谏鲜鼋Y(jié)論，做出線性回歸效應(yīng)下路基兩側(cè)的主導(dǎo)方向相依的判斷，結(jié)果如表7所示。

從表7可以看出，多年凍土區(qū)路基兩側(cè)變形符合線性回歸方差的模型，由兩側(cè)樣本數(shù)據(jù)的偏度系數(shù)可看出，路基兩側(cè)的變形模式幾乎均等性相依，且不同的觀測站點(diǎn)由于內(nèi)部因素和外部影響的差異，變形主導(dǎo)的方向不同。整體而言，全線鐵路的變形主導(dǎo)方位占比接近1∶1。

表7 線性回歸效應(yīng)下變形主導(dǎo)方位的判斷結(jié)果表

4 路基養(yǎng)護(hù)措施建議

基于本文對4 個(gè)不同觀測站點(diǎn)的路基左、右兩側(cè)變形及主導(dǎo)方向判斷的工程實(shí)踐結(jié)果，給出以下路基養(yǎng)護(hù)措施建議：

（1）加強(qiáng)對于多年凍土區(qū)的勘測和研究，全面掌握青藏高原多年凍土區(qū)和季節(jié)性凍土的分布情況，進(jìn)行凍土現(xiàn)象的區(qū)域劃分工作，掌握可能出現(xiàn)地下冰、凍脹丘、熱融下沉等災(zāi)害的區(qū)域。

（2）修建凍土區(qū)路基時(shí)，應(yīng)該注意調(diào)整鐵路的弧度和路基的填充方式，避免路基沉降致因側(cè)承受過大的荷載，加速凍土的流變及融沉，導(dǎo)致路基下沉的問題出現(xiàn)。

（3）對于K 1 449+750 處觀測站點(diǎn)，從2010年1月-2019年10月左、右路基高度變化值中融沉凍脹異常點(diǎn)，即左側(cè)路基9 個(gè)、右側(cè)路基9 個(gè)異常值點(diǎn)處需要引起鐵路養(yǎng)護(hù)部門的重點(diǎn)監(jiān)測。

（4）青藏高原多年凍土區(qū)全線鐵路運(yùn)行時(shí)，鐵路養(yǎng)護(hù)部門要實(shí)時(shí)監(jiān)測多年凍土區(qū)路基的高度變化，尤其是主導(dǎo)方位的變形情況，避免因不及時(shí)的整治導(dǎo)致另一側(cè)也出現(xiàn)嚴(yán)重的地質(zhì)災(zāi)害。

5 結(jié)論

青藏高原獨(dú)特的地理環(huán)境導(dǎo)致多年凍土區(qū)沿線的路基都不同程度地出現(xiàn)了凍脹、融沉等地質(zhì)災(zāi)害，研究多年凍土區(qū)路基兩側(cè)變形的相關(guān)性和對其變形的主導(dǎo)方位進(jìn)行判斷十分有重要的意義。本文以青藏鐵路多年凍土區(qū)路基變形的數(shù)據(jù)為研究對象，利用箱線圖查找異常值的原理分別對其進(jìn)行異常值檢驗(yàn)，再基于Copula 理論給出了路基兩側(cè)變形相關(guān)性分析的建模步驟，確定路基兩側(cè)變形的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，并依據(jù)不同Copula 族特征對其進(jìn)行相關(guān)性分析，實(shí)現(xiàn)多年凍土區(qū)路基兩側(cè)變形的主側(cè)方向判定，得出的主要結(jié)論有：

（1）基于Copula 理論確定凍土區(qū)路基兩側(cè)變形的最優(yōu)相關(guān)性結(jié)構(gòu)為t-Copula，說明了多年凍土區(qū)路基兩側(cè)變形具有對稱性且上、下尾部相關(guān)性較強(qiáng)的特點(diǎn)，即若路基一側(cè)出現(xiàn)大幅沉降變形，則很容易導(dǎo)致另一側(cè)路基高程沉降幅度變大。

（2）通過相關(guān)性變形的變量主導(dǎo)方向判斷理論判別，實(shí)現(xiàn)了路基兩側(cè)主要沉降變形誘導(dǎo)側(cè)的確定，施工中應(yīng)以此作為主要養(yǎng)護(hù)施工對象側(cè)。

（3）路基變形主要致因側(cè)應(yīng)重點(diǎn)檢測力度，必要時(shí)采取加大熱棒、片石護(hù)道、片石路肩、土護(hù)道等防護(hù)措施，避免因不及時(shí)的整治而導(dǎo)致另一側(cè)也出現(xiàn)嚴(yán)重的地質(zhì)災(zāi)害。本文相關(guān)性統(tǒng)計(jì)分析對保護(hù)凍土路基、設(shè)計(jì)路基形式以及鐵路勘察和養(yǎng)護(hù)、維修都有重要意義，但針對溫度和路基類型對多年凍土區(qū)路基兩側(cè)變形的相關(guān)性結(jié)構(gòu)和影響的研究還需進(jìn)一步擴(kuò)展。