追本溯源 深度思維
——對一道中考模擬壓軸題的思考

朱佳煒 (江蘇省蘇州大學(xué)實驗學(xué)校 215131)

周正峰 (江蘇省蘇州相城區(qū)教育局教研室 215131)

壓軸題因為文字量大，需要耐心閱讀、認(rèn)真審題，撥開出題者設(shè)置的思維迷霧，厘清本題涉及的數(shù)學(xué)知識點和基本模型.在教學(xué)過程中我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生層層遞進，學(xué)會如何思考、解決問題，在此基礎(chǔ)上進行拓展研究，讓學(xué)生知道壓軸題是什么，該怎么想，怎么做，還可以怎么樣．

1 試題呈現(xiàn)

圖1

(1)當(dāng)t=1時，PQ=.

(2)連結(jié)AC，若點B′正好落在線段AC上，求t的值.

(3)點B′能否落在AD所在直線上，若能，求出AB′的長度；若不能，請說明理由．

2 題情分析

本題滿分12分，區(qū)均分2.85分，得分率為23.75%，其中問題(1)滿分2分，也就是說本題多數(shù)學(xué)生只能解答出問題(1)．出現(xiàn)這一情況的根本原因在于學(xué)生不會對“點P與Q分別沿著各自方向運動，沿PQ所在直線翻折，點B′正好落在線段AC上”所對應(yīng)的狀態(tài)進行準(zhǔn)確作圖，個別學(xué)生因在問題(2)中對“點Q沿B-A-D方向運動”進行了分類討論，耗費大量時間，影響了問題(3)的作答，導(dǎo)致本題得分率偏低．

3 解法探究

3.1 求證相似，追問溯源

從關(guān)鍵條件出發(fā)，證得相似三角形，再根據(jù)相似性質(zhì)列方程求解．

圖2 圖3

通過面積法或相似性質(zhì)求得BH：

追問：當(dāng)點Q在BA上運動時，B′可以落在AC上幾次？

溯源：因為∠B′BC=∠BCA，所以∠B′BC是定角，而且邊BC為定邊，點B′將在以點B為端點的定射線上運動，該射線與AC只有一個交點，該交點即為B′，所以問題(2)中的t只有一解．

3.2 構(gòu)建模型，靈活解答

抓住∠QB′P=90°，展開充分聯(lián)想，構(gòu)建基本模型“K”形圖．

圖4

追問：試探究AE與B′F、EB′與FC的數(shù)量關(guān)系.

3.3 建系化歸,數(shù)形結(jié)合

建立直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，將坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求值．

圖5 圖6

追問：點B′隨著點P與點Q的運動而運動，該點的運動軌跡是什么？

3.4 基于經(jīng)驗,思維突破

在問題(2)順利解答的基礎(chǔ)上,我們進一步探究問題(3)．問題(3)中點B′落在AD所在直線上，所對應(yīng)的點P、點Q所在位置需進行分類討論．

當(dāng)點Q在B-A運動時，通過作圖發(fā)現(xiàn)點B′只能在矩形內(nèi)部運動(圖7)，所以當(dāng)點B′落在AD所在直線上時，點Q在A-D運動(圖8)．

圖7 圖8

那么，點Q在A-D運動時，如何求AB′的長度呢？

圖9

追問：當(dāng)點Q在A-D運動時(圖10)，在翻折的過程中，點B′能否落在點Q左側(cè),即QA射線上？

圖10 圖11

溯源：因為vP

時，點Q將在水平方向上逐漸超過點P，沿著PQ翻折所得點B′將落在PQ的右下方(圖11)，所以點B′不可能落在QA射線上．

4 類題再探

例1解決了讓學(xué)生知道壓軸題“是什么、該怎么想、怎么做”等問題.與“翻折”有關(guān)的壓軸題還能以什么形式呈現(xiàn)？講解完例1后，進行了以下拓展研究．

例2如圖12，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，E是BC邊上一點，連結(jié)AE，將點B沿AE折疊得點B′ ．當(dāng)△CEB′ 為直角三角形時，求BE的長．

圖12

本題的關(guān)鍵條件是“△CEB′為直角三角形”，而直角三角形的定義是一個內(nèi)角為直角的三角形，本題必然要分三種情況進行討論．

若∠CEB′=90°，那么四邊形ABEB′中有三個角為直角:∠B,∠AB′E,∠BEB′，易證四邊形ABEB′為正方形.若∠CB′E=90°，那么∠CB′E+∠AB′E=180°，則A,B′,C三點共線，運用勾股定理求解即可；若∠ECB′=90°，那么B′在CD邊上，不合題意，舍去．

追問：為什么當(dāng)∠ECB′=90°時，不合題意？若將“AB=3，BC=4”改為“AB=4，BC=3”呢(圖13)？

圖13 圖14

溯源：翻折不改變AB長度，由“定點定長型隱形圓”可知，B′點在以A為圓心、AB長為半徑的圓上運動，該圓與CD相離，所以B′不可能落到CD邊上(圖14)，∠ECB′=90°不合題意．將“AB=3，BC=4”改為“AB=4，BC=3”，則⊙A將與CD相交，所以第三種情況符合題意(圖15)．

圖15

為進一步激發(fā)學(xué)生思維，可以追問：若“E是BC邊上一點”改為“E沿著射線BC運動”，是否還有其他情況符合題意？學(xué)生由圓與直線相交的定義可知⊙A與直線CD的交點有兩個，所以存在第四種情況．

5 結(jié)語

中考考試前如何組織高效的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)？首先，數(shù)學(xué)題目千千萬，不能依靠刷題提高數(shù)學(xué)解題能力，應(yīng)基于學(xué)生的知識基礎(chǔ)，在課前精選好題．什么是好題？好題的解題方法不唯一，題目雖新但似曾相識，它一定源于平時的學(xué)習(xí)，可將它與已有的解題經(jīng)驗建立聯(lián)系，進行合情推理．其次，壓軸題通常是綜合性較強的題目，已知條件多，特別是部分關(guān)鍵條件隱含在題目中，在教學(xué)過程中應(yīng)幫助學(xué)生分析題目已知，挖掘隱含條件，并由關(guān)鍵條件出發(fā)尋找解題策略．再次，要通過多角度研究，嘗試多種數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想．?dāng)?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)課堂的靈魂，若只講解法不談思想，那數(shù)學(xué)課堂必然是乏味的.數(shù)學(xué)題目的背后一定蘊藏著數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論思想、建模思想等．最后，要適度追問，挖掘思維深度，追本溯源，拓展思維．除了要讓學(xué)生知道中考壓軸題“是什么、該怎么想、怎么做”以外，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考這樣的題目“還可以怎么樣”，是否可以換一種形式呈現(xiàn)．也就是說，中考考前復(fù)習(xí)課不能滿足于一題的解決，還應(yīng)結(jié)合關(guān)鍵條件進行類題探究，以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識．

總之，在壓軸題的教學(xué)過程中，應(yīng)基于學(xué)生的知識經(jīng)驗、解題經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生整合、化歸，在聯(lián)想中合情推理，在追問中實現(xiàn)溯源，在拓展中獲得延伸，在感悟中走向深刻．讓中考復(fù)習(xí)課成為有靈魂、有創(chuàng)新、有深度的課堂．