小學數(shù)學教學中學生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)策略

福建省廈門市同安區(qū)官潯小學 高 晨

一、幾何直觀的含義

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確將幾何直觀歸屬于學生的核心素養(yǎng)，指出：“幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣。”幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維路徑。因此，加強對學生幾何直觀的培養(yǎng)有助于促進學生的深度學習以及素養(yǎng)的落地。那么，什么是幾何直觀？

（一）直觀

直觀包括感性直觀與理性直觀。感性直觀涉及知覺，與邏輯思維的聯(lián)系較少；理性直觀需要進行理性分析，因此與邏輯思維密切聯(lián)系。

在小學數(shù)學的教學中，既需要培養(yǎng)學生的感性直觀，也要培養(yǎng)學生的理性直觀，在感性直觀與理性直觀的相互作用下為學生幾何直觀的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

（二）數(shù)學直觀

數(shù)學直觀包括代數(shù)直觀、幾何直觀、統(tǒng)計直觀，但是只有幾何直觀好理解、看得見、摸得著。史寧中教授認為：數(shù)學的結(jié)論是“看”出來的，而不是“證”出來的。會看就是數(shù)學直觀，而會看不是教師教出來的，而是學生悟出來的，是思維經(jīng)驗的積累，因此在教學中應當重視學生的數(shù)學直觀。數(shù)學直觀是幾何直觀的基礎(chǔ)，培養(yǎng)學生的數(shù)學直觀需要為學生的經(jīng)驗積累創(chuàng)設一定的活動，讓學生在活動中積累思維經(jīng)驗，為幾何直觀的培養(yǎng)提供強有力的支撐。

（三）幾何直觀

幾何直觀是指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學的研究對象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進行直接感知、整體把握的能力。

幾何直觀除了包含一定的感性直觀和理性直觀外，還包括對于數(shù)學直觀應當具備的思維經(jīng)驗積累，在直觀與數(shù)學直觀的基礎(chǔ)上運用一定的圖表等進行分析和解決問題。

通過上述關(guān)于直觀、數(shù)學直觀與幾何直觀的辨析可得：直觀和數(shù)學直觀是幾何直觀素養(yǎng)的基礎(chǔ)；幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)需要建立在感性直觀與理性直觀的基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)學直觀中積累的思維經(jīng)驗，運用圖表等直觀方法進行分析和解決問題。

二、幾何直觀的價值

為什么要培養(yǎng)幾何直觀呢？史寧中教授認為：教育只需要關(guān)心三件重要事情，一是理解事物的本質(zhì)，二是啟發(fā)解決問題的思路，三是直接推斷問題的結(jié)論。幾何直觀能夠幫助學生更好地理解知識的本質(zhì)，解決了第一件事情；幾何直觀能夠幫助學生構(gòu)建一定的問題解決模型，解決了第二件事情；幾何直觀能幫助學生通過理解知識本質(zhì)，運用問題模型從而靈活選擇不同方法或多種方法來解決問題，解決了第三件事情。因此，可以說培養(yǎng)幾何直觀能從源頭上解決這三件重要的事情。

（一）有助于理解知識的本質(zhì)

數(shù)學知識存在著一定的抽象性，學生對于知識理解的困惑點往往不是在于知識本身，而是在于對知識產(chǎn)生過程的理解。借助幾何直觀能將抽象的數(shù)學知識以一種更直觀的方式進行呈現(xiàn)，學生能更好地理解知識的產(chǎn)生過程，更好地理解知識的本質(zhì)。

（二）有助于發(fā)展創(chuàng)新意識和思維

數(shù)學研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，數(shù)的學習往往離不開形。學生通過將數(shù)與形結(jié)合，能夠挖掘文字素材中所蘊含的數(shù)學信息，將復雜的文字信息轉(zhuǎn)化成直觀、明了的圖形信息，并且能夠借助這些信息進行深入探究，在探究過程中產(chǎn)生不同的思考，從而發(fā)展創(chuàng)新意識與思維。

（三）有助于構(gòu)建一定的問題解決模型

問題解決模型與策略需要學生經(jīng)歷一個不斷“積累—修正—運用”的過程。學生通過借助幾何直觀解決問題，在問題的“積累—修正—運用”過程中形成了一定基本活動經(jīng)驗和思維模型，當再次遇到類似問題，學生便能夠提取已有的問題解決模型來處理復雜問題，使得問題解決更得心應手。

三、幾何直觀的培養(yǎng)策略

數(shù)學是一門較為抽象的學科，小學生的年齡特點決定著其理解和分析問題的能力較低。因此，教師在教學過程中，應充分了解學生的認知發(fā)展水平以及年齡特點，借助幾何直觀幫助學生進行描述和分析問題，從而解決問題。如何培養(yǎng)學生的幾何直觀呢？本文將結(jié)合不同案例，在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率等問題解決中進行具體闡述。

（一）在數(shù)與代數(shù)中培養(yǎng)幾何直觀

對于算理、數(shù)量關(guān)系和算式之間關(guān)系的理解是小學數(shù)與代數(shù)中的重要組成部分，但在實際教學中往往為了保證學生計算的熟練度而過多強調(diào)算法，弱化算理，對于數(shù)量關(guān)系的教學則過于抽象，造成學生對數(shù)量關(guān)系的學習存在障礙。那么，在課堂上該如何借助幾何直觀進行有效教學呢？

1.借助幾何直觀，理解計算道理

數(shù)學計算看似零散，實則是一張錯綜復雜的網(wǎng)，其本質(zhì)是要厘清計算的道理。通過幾何直觀，學生能在繁雜的數(shù)字中尋找道理，在“道理”的幫助下掌握算法，發(fā)展運算能力。

2.借助幾何直觀，厘清數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系是數(shù)與代數(shù)中難以理解的部分，通過數(shù)形結(jié)合的方式可以有效促進數(shù)量關(guān)系和圖形的轉(zhuǎn)化，幫助學生將抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化，有助于學生厘清數(shù)量關(guān)系，解決問題。

首先，在操作中感知數(shù)量關(guān)系。數(shù)學學科螺旋上升和學生漸進思維的特點告訴我們：教師在教學時應抓住“核心”，設計逐層遞進的實踐操作活動，夯實學生的數(shù)學思考，實現(xiàn)縱向數(shù)學化過程。在數(shù)學教學中，操作能有效連接數(shù)學知識，學生能在具體操作后感知數(shù)學。因此，教學中應合理引導學生借助操作，直觀感知數(shù)量關(guān)系。

其次，在畫圖中建立數(shù)量關(guān)系。借助畫圖能直觀地表示題意，幫助學生將復雜、抽象的問題表示出來，便于學生建立起清晰的數(shù)量關(guān)系，從而有效促進學生解決問題。

又如“乘加、乘減”一課，要解決“2名教師和30名學生能坐得下客車嗎？”這一問題。課本出示客車的座位圖，圖中前面每排4個座位，后面每排5個座位，由于座位不再是簡單的“每排幾列，有幾排”這一模型，學生無法直接列簡單的乘法算式進行解決，因此解決該題遇到了困難。教師可以巧妙借助課本中提供的直觀圖形，在畫圖中幫助學生理解解決該題的本質(zhì)也是“乘法”，這樣學生更能建立起客車座位之間的數(shù)量關(guān)系。

3.借助幾何直觀，發(fā)現(xiàn)算式關(guān)系

算式的理解本就抽象，算式間的關(guān)系就更難理解。借助幾何直觀教學計算能更好地幫助學生發(fā)現(xiàn)算式關(guān)系，為學生提供多樣的思路，提升學生的思維能力。

例如在教學“乘法分配律”時，教師出示圖1，要求學生用綜合算式列式解決。學生給出的答案有“2×5+4×5”和“（2+4）×5”兩種，并結(jié)合圖形進行了說明。第一種是將白色和黑色分開算，然后再加起來；第二種先求行數(shù)，再用行和列相乘得出總數(shù)。教師此時提問：“兩個結(jié)果相同嗎？為什么？”通過結(jié)合圖形說理，最終師生總結(jié)得到：兩個算式雖然表現(xiàn)不同，但意義一樣，都是表示6個5相加。在該課教學中，教師借助幾何直觀引導學生結(jié)合已有知識經(jīng)驗解決問題，并在解決問題過程中發(fā)現(xiàn)了算式之間的關(guān)系。

圖1

（二）在圖形與幾何中培養(yǎng)幾何直觀

幾何直觀和圖形與幾何領(lǐng)域聯(lián)系最為密切。圖形與幾何中除了要求學生能掌握計算圖形長度、面積、體積等內(nèi)容外，更重要的是讓學生知道這些計算公式的推導過程，讓學生知其然且知其所以然，并在推導過程中感悟思想、習得方法。

1.借助操作，助力推導過程

圖形面積、體積等的推導需要建立在學生理解的基礎(chǔ)上，該過程較為復雜，單從純數(shù)字方面來理解對于學生有一定的難度，需要借助直觀操作來進行。

圖2

又如在“三角形的內(nèi)角和”一課中，以復雜抽象的邏輯推理方式來探究三角形的內(nèi)角和對于小學生來說有一定的難度。在教學中教師引導學生將三角形的三個角進行拼、折、剪等活動，通過幾何直觀探究三角形的內(nèi)角和，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀的問題來解決，促進了學生對內(nèi)角和的理解與推導。

2.借助畫圖，呈現(xiàn)多樣方法

無論是數(shù)與代數(shù)或是圖形與幾何都十分重視方法的多樣化，借助幾何直觀能夠呈現(xiàn)多樣的方法，幫助學生拓寬思路，促進學生思維的發(fā)展。

例如，把一個正方體割成大小兩個長方體，其中小長方體的表面積比大長方體的表面積少20cm2，已知原來的正方體棱長是5cm，求小長方體的表面積。

該題若只通過題目而不結(jié)合幾何直觀來思考會十分抽象，并且會將思維局限在一定范圍內(nèi)。但當結(jié)合直觀圖形（圖3）思考，學生給出了以下兩種解法。

圖3

從兩種解法可以看出，方法一借助幾何直觀更快速地解決了問題，方法二則是在圖形的幫助下聯(lián)想到了“和差”，從而解決問題。可以看出，在借助幾何直觀的情況下，不但可以幫助學生快速解決問題，而且能夠呈現(xiàn)方法的多樣化，開放學生的思維，有效促進學生思維的發(fā)展。

（三）在統(tǒng)計與概率中培養(yǎng)幾何直觀

統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)，數(shù)形不分家，因此在統(tǒng)計與概率中培養(yǎng)幾何直觀也應當引起重視。

1.借助直觀，感悟數(shù)據(jù)意識

數(shù)據(jù)意識的培養(yǎng)除了借助單一的數(shù)據(jù)外，圖形的結(jié)合也是不錯的選擇。

例如在教學“折線統(tǒng)計圖”時，教師通過提供多組數(shù)據(jù)，讓學生將數(shù)據(jù)整理成表格和條形統(tǒng)計圖后，由此引出折線統(tǒng)計圖，引導學生在條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖的對比中感受二者之間的相同點和不同點，讓學生懂得根據(jù)實際情況選擇不同的統(tǒng)計圖。在這個過程中，結(jié)合數(shù)據(jù)和直觀的統(tǒng)計圖，學生能更清楚地了解到對應的數(shù)據(jù)，明確針對不同的要求可以選擇不同的統(tǒng)計圖這一想法，更好地感悟數(shù)據(jù)意識。

2.借助操作，體會統(tǒng)計思想

直觀的操作可以幫助學生將抽象的統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行直觀處理，幫助學生更好地理解統(tǒng)計思想。

例如在教學“平均數(shù)”一課時，教師通過一場比賽來進行教學，將學生分成兩支隊伍，其中5名男生一隊，4名女生一隊。此時教師提問：“哪一隊能贏呢？為什么？”學生認為男生隊人多不公平，教師再次追問：“有沒有更好的辦法判斷？”并引導學生借助直觀圖解決。學生通過擺圓形片感受到了“當人數(shù)不相同時，可以用平均數(shù)解決”以及用“移多補少”可以更好地理解平均數(shù)。在該過程中，教師引導學生結(jié)合直觀圖來理解“平均數(shù)”，從而幫助學生更好地體會統(tǒng)計思想。

（四）在問題解決中培養(yǎng)幾何直觀

在問題解決中，借助直觀圖能有效幫助學生分析問題，厘清數(shù)量間的對應關(guān)系，從而發(fā)散學生的思維，培養(yǎng)思考能力，促進解題策略多樣性。

1.借助畫圖，抽象問題模型

幾何直觀能幫助學生將煩瑣文字中的數(shù)學問題抽象出來，將問題簡單化，讓學生能針對抽象出的問題進行思考，降低問題解決的難度。

例如在“植樹問題”一課中，教師出示問題：“要在100m小路的一邊每隔5m栽一棵樹（兩端都栽），共需多少棵樹？”一開始，學生對問題的理解是抽象的，并不能準確用算式進行表示。而教師通過引導學生用畫圖的方式先研究20m、30m、50m時，學生能夠從圖中非常直觀地總結(jié)出“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”，緊接著學生同樣借助直觀圖探究兩端都不栽和一端栽的情況，并最終總結(jié)出規(guī)律。在該過程中，通過借助簡單的線段圖，幫助學生抽象出問題，使得問題清晰化、簡單化，學生能夠借助問題模型更好地解決問題。

2.借助畫圖，巧解實際問題

幾何直觀的運用除了能幫助學生快速解決問題，還能夠幫助學生提高問題解決的靈活性。

圖4

又如在“相遇問題”中，教師出示問題：“客車和貨車分別從甲乙兩地相向而行，客車走了1h后貨車才出發(fā)，又經(jīng)過5.5h兩車相遇。已知客車速度為55km/h，貨車速度為45km/h，求甲乙兩地間的距離。”在該題中，學生無法單純借助文字解決問題，而通過將文字中的信息用線段進行描述后，可以幫助學生將問題與實際生活進行聯(lián)系，避免理解偏差，從而抽象出問題模型，解決問題。

3.借助畫圖，構(gòu)建思維框架

問題解決需要一定的思維框架，借助幾何直觀能夠幫助學生更好地構(gòu)建思維框架，幫助學生有效、輕松地解決問題。

綜上所述，幾何直觀能夠幫助我們將抽象的文字轉(zhuǎn)化成直觀的問題進行呈現(xiàn)，可以促進問題可視化。而對于幾何直觀的運用和培養(yǎng)，不應該只局限于圖形與幾何，也應存在于數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計與概率、問題解決等。除此之外，幾何直觀的培養(yǎng)不該只是放在某個時刻，而應該貫穿于整個教學過程中，通過不斷地、反復地滲透和磨合，最終轉(zhuǎn)化為學生的核心素養(yǎng)，促進學生的深度學習。